2025年下学期高中数学IB课程标准试卷

2025年下学期高中数学IB课程标准试卷第一部分：数学分析与方法（AA）SLPaper1（非计算器卷）SectionA（简答题，共60分）数与代数已知等比数列${a_n}$的前三项为$a_1=2$，$a_2=4k$，$a_3=32$，其中$k\in\mathbb{R}$。（1）求$k$的可能取值；（2）若该数列的公比$q>0$，计算前10项和$S_{10}$，并将结果表示为$2^m-2$的形式，其中$m\in\mathbb{N}^*$。函数与方程函数$f(x)=\frac{2x-3}{x+1}$的定义域为$x\in\mathbb{R}$且$x\neq-1$。（1）求$f(x)$的反函数$f^{-1}(x)$，并写出其定义域；（2）解不等式$f(x)\leqf^{-1}(x)$，用集合表示解集。三角函数在$\triangleABC$中，角$A$、$B$、$C$所对的边分别为$a$、$b$、$c$，已知$\cosA=\frac{1}{3}$，$b=3$，$c=4$。（1）求边$a$的长度；（2）若$\sinB=\frac{\sqrt{2}}{3}$，判断$\triangleABC$是否为锐角三角形，并说明理由。微积分基础曲线$y=x^3-3x^2+2x$在点$P(1,0)$处的切线与$x$轴交于点$Q$。（1）求切线方程；（2）计算由曲线、切线及$x$轴围成的封闭图形面积。SectionB（解答题，共40分）概率与统计某学校为评估学生数学能力，随机抽取50名学生进行测试，成绩（单位：分）分布如下表：成绩区间[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频数37121585（1）计算成绩的中位数和平均数；（2）若成绩服从正态分布$N(\mu,\sigma^2)$，其中$\mu$为平均数，$\sigma^2$为方差，估计该校学生成绩超过85分的概率（精确到0.01）。几何与向量在空间直角坐标系中，点$A(1,2,3)$，$B(4,5,6)$，$C(2,4,5)$，$D$为线段$AB$的中点。（1）求向量$\overrightarrow{CD}$的坐标及模长；（2）证明：平面$ACD\perp$平面$BCD$。第二部分：数学应用与解释（AI）HLPaper2（计算器卷）SectionA（数据分析题，共70分）线性回归与建模某城市2018-2024年的居民人均可支配收入$x$（单位：万元）与汽车保有量$y$（单位：万辆）的数据如下：年份2018201920202021202220232024$x$3.23.53.84.24.65.05.5$y$8.59.210.111.312.513.815.2（1）绘制散点图并判断$x$与$y$是否存在线性相关关系（相关系数$r>0.95$视为强相关）；（2）建立$y$关于$x$的线性回归方程$\hat{y}=\hat{a}+\hat{b}x$，并预测2025年当$x=6.0$时的汽车保有量；（3）若该城市汽车保有量年增长率为$8%$，判断2025年预测值与实际值是否存在显著差异（取$\alpha=0.05$）。概率分布与决策某工厂生产的电子元件合格率为$90%$，采用新设备后，质检部门随机抽取100件产品进行测试，发现不合格品有5件。（1）以显著性水平$\alpha=0.01$检验新设备是否显著提高了合格率（用二项分布近似正态分布）；（2）若每件合格产品利润为50元，不合格品亏损20元，计算新设备下每件产品的期望利润，并与旧设备比较（旧设备期望利润为43元）。SectionB（建模与探究题，共30分）优化问题某农场计划围建一个矩形养殖区，一边利用现有的河流（无需围栏），其余三边用总长为100米的围栏围成。养殖区分为两个区域，中间用与河岸平行的围栏隔开（如图所示）。（1）设养殖区垂直于河岸的边长为$x$米，写出总面积$S(x)$的函数表达式，并求定义域；（2）当$x$为何值时，总面积$S(x)$最大？求出最大值；（3）若围栏材料成本为10元/米，中间隔栏成本为15元/米，重新设计方案使总成本最低（养殖区面积保持不变）。三角函数应用摩天轮的半径为20米，中心$O$距离地面30米，旋转一周需30分钟。某游客从最低点$A$处开始乘坐，记时间$t$（分钟）时的高度为$h(t)$米。（1）写出$h(t)$的函数解析式（以$t=0$为起始时刻）；（2）求游客在第5分钟至第15分钟内上升的平均速度；（3）若游客在高度超过40米时能看到远处的山脉，计算一次乘坐中能看到山脉的总时长。第三部分：跨学科项目式任务（占比20%）课题：气候变化与碳排放模型任务要求数据收集：从世界银行数据库获取某国家2000-2024年的年碳排放量（亿吨）与人均GDP（万美元）数据，至少包含15组数据。模型构建：（1）用指数函数$y=ae^{bx}$拟合碳排放量与时间的关系，其中$t=0$对应2000年；（2）用多元线性回归分析碳排放量与人均GDP、人口数量的相关性。预测与评估：（1）预测2030年该国碳排放量，并计算95%置信区间；（2）若该国承诺2030年碳排放较2020年减少20%，评估目标达成的可行性，提出至少两条政策建议。报告撰写：提交不超过2000字的报告，包含数据可视化图表（如折线图、散点图、残差图）和模型检验过程（如$R^2$值、$p$值）。第四部分：高阶数学（AAHL）附加题Paper3（75分钟，共50分）复数与多项式已知多项式$P(z)=z^4-4z^3+10z^2-12z+9$，其中$z\in\mathbb{C}$。（1）证明$z=1+i$是$P(z)$的根，并求其余根；（2）将$P(z)$分解为实系数二次因式的乘积。微分方程求解微分方程$\frac{dy}{dx}+2y=e^{-x}\sinx$，满足初始条件$y(0)=1$。离散数学某通信网络有5个节点，每个节点与其他节点最多连接一条线路，且不存在三角形回路（即任意三个节点不构成闭合回路）。（1）求该网络最多的线路数；（2）用数学归纳法证明：对于$n$个节点的无三角形网络，线路数不超过$\left\lfloor\frac{n^2}{4}\right\rfloor$。试卷说明考试时间：AASL与AIHL均为2小时，AAHL附加题75分钟。评分标准：客观题按步骤给分，主观题需写出完整推理过程，建模题需体现数据合理性与结论严谨性。计算器使用：仅AI卷和AAH