2025年下学期高中数学背景引入试卷

2025年下学期高中数学背景引入试卷一、选择题（共12题，每题5分，共60分）智慧城市交通管理某城市路口采用智能红绿灯系统，通过传感器收集东西方向和南北方向的车流量数据。已知东西方向绿灯时长$t$（秒）与车流量$x$（辆/分钟）满足函数关系$t=15+0.8x$，南北方向绿灯时长$t'$（秒）与车流量$y$（辆/分钟）满足$t'=12+1.2y$。若早高峰时段东西方向车流量为30辆/分钟，南北方向车流量为25辆/分钟，且红绿灯周期（红+绿+黄灯总时长）为120秒，则该路口黄灯总时长为（）A.5秒B.8秒C.10秒D.12秒电商平台优惠券策略某购物平台推出“满300减$x$”优惠券，根据历史数据，当$x=30$时，优惠券使用率为60%；当$x=50$时，使用率为80%。假设使用率$p$与优惠金额$x$成线性关系，且平台希望优惠券实际补贴成本（即$x\timesp$）不超过15元，则$x$的最大值为（）A.35B.40C.45D.50新能源汽车续航模型某品牌电动车续航里程$S$（公里）与气温$T$（℃）的关系满足$S=200-1.5|T-25|$。若冬季某城市日均气温为$-5$℃~$10$℃，则该车型在当地的日均续航里程范围是（）A.155~180公里B.160~190公里C.165~195公里D.170~200公里人口结构统计某地区2025年人口普查数据显示，0-14岁人口占比为18%，15-64岁为66%，65岁及以上为16%。若该地区总人口为500万，且15-64岁人口中男性比女性多20万，则女性人口总数为（）A.230万B.240万C.250万D.260万建筑安全中的几何问题某工地要搭建高8米的脚手架，斜撑杆与地面成60°角，且底端距离立杆底部$d$米。为保证稳定性，要求斜撑杆长度不超过10米，则$d$的最小值为（）A.$3\sqrt{3}$B.$4\sqrt{3}$C.5D.$5\sqrt{3}$外卖配送路径优化外卖骑手从餐厅A出发，依次配送至B、C、D三点，再返回餐厅。若建立直角坐标系，A(0,0)，B(2,3)，C(5,1)，D(3,-2)，则骑手全程最短路径长度为（）A.$2\sqrt{13}+2\sqrt{5}$B.$\sqrt{13}+3\sqrt{5}$C.$4\sqrt{5}+2\sqrt{2}$D.$3\sqrt{13}+\sqrt{2}$疫情传播概率模型某种传染病的基本再生数$R_0$（一个感染者平均传染人数）与防控措施强度$k$（0≤k≤1）满足$R_0=3(1-k)$。当$R_0\leq1$时疫情可控，则防控强度$k$至少需要达到（）A.0.4B.0.5C.0.6D.0.7环保包装材料设计某饮料罐为圆柱体，底面半径$r$，高$h$，且表面积$S=2\pir^2+2\pirh$。若容积$V=\pir^2h=355mL$，则当使用材料最省时（即$S$最小），$h$与$r$的比值为（）A.1B.2C.3D.4股票价格波动分析某股票初始价格为100元，每日价格增长率$r$服从正态分布$N(0,0.0004)$。若单日跌幅超过5%时触发熔断，则该股票触发熔断的概率约为（）（参考数据：$P(|Z|>2.58)=0.01$，$Z$为标准正态变量）A.0.1%B.0.5%C.1%D.5%登山运动中的能量消耗某登山者海拔高度$H$（米）与攀登时间$t$（小时）的关系满足$H=500+300t-25t^2$。则登山者达到最大高度的时间及最大高度分别为（）A.4小时，1700米B.5小时，1800米C.6小时，1900米D.8小时，2100米虚拟现实（VR）视角转换在VR游戏中，某物体的三维坐标为$(2,3,4)$，若将其绕$y$轴旋转90°，再沿$x$轴平移-1个单位，则新坐标为（）A.$(-4,3,1)$B.$(-3,3,2)$C.$(-4,3,3)$D.$(-5,3,2)$量子通信加密某量子密钥生成系统每秒钟产生$n$个随机比特，其中0和1的概率均为0.5。若生成1024个比特作为一组密钥，则该组密钥中0的个数介于490~534之间的概率为（）（用二项分布近似正态分布，$\mu=np$，$\sigma=\sqrt{np(1-p)}$）A.0.6826B.0.9544C.0.9974D.0.9999二、填空题（共4题，每题5分，共20分）智能仓储机器人调度某仓库有A、B两台机器人，A的速度为1.2m/s，B的速度为0.8m/s。若A从原点出发沿x轴正方向行驶，B从点(0,8)出发沿y轴负方向行驶，t秒后两机器人距离为10米，则$t=$______秒。碳中和目标下的能源结构某地区2025年总能耗为5000万吨标准煤，其中化石能源占比70%。若计划2030年将化石能源占比降至50%，且总能耗年增长率控制在2%，则2030年非化石能源需达到______万吨标准煤（精确到整数）。3D打印模型体积计算某零件的三视图如图所示（单位：cm），其中正视图和侧视图均为半径2cm的半圆，俯视图为正方形，则该零件的体积为______$cm^3$。舆情传播的微分方程模型某社交平台上一条热点话题的传播人数$N(t)$满足$\frac{dN}{dt}=0.02N(1-\frac{N}{10000})$，其中$t$为小时。若初始时有100人关注，则当$N=5000$时，$t=$______（精确到0.1）。三、解答题（共6题，共70分）（10分）共享单车调度问题某区域有A、B两个共享单车停放点，早高峰时段A点有120辆单车，B点有80辆。根据需求预测，A点需补充至150辆，B点需减少至50辆。已知每辆单车从A调往B的成本为2元，从B调往A的成本为3元，设从A调往B的单车数量为$x$辆。（1）写出总成本$C$（元）关于$x$的函数关系式，并求定义域；（2）当$x$为何值时，总成本最低？最低成本是多少？（12分）短视频平台用户增长模型某APP用户数$y$（万）与上线时间$t$（月）的关系满足$y=100\timese^{kt}$，其中$k$为常数。（1）若上线3个月后用户数达到200万，求$k$的值（精确到0.01）；（2）根据模型预测，用户数何时达到1000万？（精确到1个月）（3）若用户数的增长率$\frac{dy}{dt}$与用户数$y$成正比，比例系数为$k$，证明：当$t=6$时，增长率为初始增长率的4倍。（12分）建筑抗震设计中的三角函数应用某高层建筑在地震中产生左右摇摆，其顶部水平位移$x(t)$（米）与时间$t$（秒）满足$x(t)=0.8\sin(0.5\pit+\frac{\pi}{3})$。（1）求该建筑摇摆的周期和最大位移；（2）求$t=2$秒时的位移和速度（速度$v(t)=x'(t)$）；（3）若建筑规范要求最大加速度$a(t)=|x''(t)|\leq0.5g$（$g=9.8m/s^2$），判断该建筑是否符合要求。（12分）疫苗接种的概率统计分析某社区有1000人需接种疫苗，分两批进行：第一批500人，其中20%为老年人；第二批500人，其中30%为老年人。（1）若从两批中各随机抽取1人，求两人均为老年人的概率；（2）若随机抽取1人发现为老年人，求其来自第二批的概率；（3）设$X$为抽取100人中老年人的人数，求$X$的数学期望和方差。（12分）无人机物流配送路径规划无人机从基地O(0,0)出发，依次配送至A(3,4)、B(8,12)、C(15,0)三点，最后返回O点。（1）求OA、AB、BC、CO四段的距离之和；（2）若无人机最大续航里程为40公里，判断该配送任务能否完成；（3）为缩短路径，可在BC之间增设中转站D(x,0)，求$x$为何值时OD+DC距离最短，并求最短距离。（12分）金融衍生品的期权定价模型某股票当前价格为50元，执行价格为52元的看涨期权价格$C$满足$C=S\timesN(d_1)-Ke^{-rT}\timesN(d_2)$，其中：$d_1=\frac{\ln(S/K)+(r+\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}$，$d_2=d_1-\sigma\sqrt{T}$已知$r=0.05$（无风险利率），$T=0.25$（年），$\s