2025年下学期高中数学陈景润试卷

2025年下学期高中数学陈景润试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）已知集合(A={x|\log_2(x-1)<2})，(B={x|x^2-4x+3\leq0})，则(A\capB=)（）A.([1,3])B.((1,3])C.([2,5))D.((1,5))函数(f(x)=\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right))在区间([0,\pi])上的单调递增区间是（）A.(\left[0,\frac{5\pi}{12}\right])B.(\left[\frac{5\pi}{12},\frac{11\pi}{12}\right])C.(\left[\frac{11\pi}{12},\pi\right])D.(\left[0,\frac{\pi}{6}\right]\cup\left[\frac{2\pi}{3},\pi\right])某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为（）（注：此处省略三视图，实际试卷中需配图：正视图和侧视图为直角三角形，俯视图为边长2的正方形）A.(\frac{8}{3})cm³B.(\frac{16}{3})cm³C.8cm³D.16cm³已知数列({a_n})满足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+3)，则(a_5=)（）A.31B.62C.63D.127在平面直角坐标系中，抛物线(y^2=4x)的焦点为(F)，过点(F)的直线交抛物线于(A,B)两点，若(|AF|=3)，则(|BF|=)（）A.(\frac{3}{2})B.2C.3D.4已知向量(\vec{a}=(1,2))，(\vec{b}=(m,-1))，若(\vec{a}\perp(\vec{a}-\vec{b}))，则(m=)（）A.-3B.-1C.1D.3为响应“东数西算”国家战略，某数据中心需对服务器进行升级。现有甲、乙、丙3台服务器，每台升级成功的概率分别为0.8，0.7，0.6，且相互独立。至少有2台升级成功的概率为（）A.0.806B.0.826C.0.846D.0.866已知函数(f(x)=x^3-3x^2+ax+b)在(x=1)处取得极值，且其图像在点((0,f(0)))处的切线方程为(y=2x+1)，则(a+b=)（）A.0B.1C.2D.3二、多选题（本大题共2小题，每小题5分，共10分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）关于复数(z=\frac{1+i}{1-i})，下列说法正确的是（）A.(z)的实部为0B.(|z|=1)C.(z^2=-1)D.(z)在复平面内对应的点位于第二象限已知双曲线(C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0))的离心率为2，左、右焦点分别为(F_1,F_2)，过(F_2)的直线与双曲线的右支交于(A,B)两点，若(\triangleAF_1B)的周长为12a，则下列说法正确的是（）A.双曲线的渐近线方程为(y=\pm\sqrt{3}x)B.直线(AB)的斜率为(\pm\sqrt{3})C.(|AB|=4a)D.(\triangleAF_1F_2)的面积为(2\sqrt{3}a^2)三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）若(\tan\alpha=2)，则(\frac{\sin2\alpha}{\cos^2\alpha}=)________。已知圆(C:(x-1)^2+(y+2)^2=4)，过点(P(3,0))的直线(l)与圆(C)相切，则直线(l)的方程为________。某学校为了解学生的数学学习情况，从高二年级随机抽取100名学生进行调查，得到如图所示的频率分布直方图（注：此处省略直方图，实际试卷中需配图：分组为[80,90)，[90,100)，…，[140,150]，其中[120,130)的频率为0.3）。则这100名学生数学成绩的中位数为________。已知函数(f(x)=\begin{cases}\log_2(x+1),&x\geq0\2^x-1,&x<0\end{cases})，若(f(a)=1)，则(a=)；若(f(x)\leq1)，则(x)的取值范围是。（本小题第一空2分，第二空3分）四、解答题（本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（本小题满分12分）在(\triangleABC)中，内角(A,B,C)所对的边分别为(a,b,c)，已知(\cosA=\frac{3}{5})，(\cosB=\frac{5}{13})，(b=3)。（1）求(\sinC)的值；（2）求(\triangleABC)的面积。（本小题满分12分）如图，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(D,E)分别为(BC,B_1C_1)的中点。（注：此处省略直观图，实际试卷中需配图：直三棱柱底面为等腰直角三角形，侧棱垂直于底面）（1）证明：(DE\parallel)平面(ABB_1A_1)；（2）求二面角(A-A_1D-B)的余弦值。（本小题满分14分）已知等差数列({a_n})的前(n)项和为(S_n)，且(a_2=5)，(S_5=35)。（1）求数列({a_n})的通项公式；（2）若数列({b_n})满足(b_1=1)，(b_{n+1}=b_n+a_n)，求数列(\left{\frac{1}{b_n}\right})的前(n)项和(T_n)；（3）设(c_n=\frac{a_n}{2^n})，求数列({c_n})的前(n)项和(R_n)。（本小题满分14分）为推动绿色低碳发展，某城市计划在2025年推广新能源汽车。根据市场调研，该城市新能源汽车的保有量(y)（单位：万辆）与时间(t)（单位：年，(t=0)对应2025年初）的关系满足模型(y=\frac{K}{1+e^{-kt}})（(K,k)为常数）。已知2025年初的保有量为10万辆，到2027年初保有量达到20万辆。（1）求(K)和(k)的值；（2）预测2030年初该城市新能源汽车的保有量（精确到0.1万辆）；（3）若保有量的增长率(v(t)=y'(t))，求(v(t))的最大值及对应的时间(t)。（本小题满分14分）已知椭圆(E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的离心率为(\frac{\sqrt{2}}{2})，且过点((2,\sqrt{2}))。（1）求椭圆(E)的标准方程；（2）设直线(l:y=kx+m)与椭圆(E)交于(A,B)两点，(O)为坐标原点，若(OA\perpOB)，且(|AB|=\frac{4\sqrt{3}}{3})，求(k)的值。（本小题满分14分）已知函数(f(x)=x\lnx-ax^2+(2a-1)x)