2025年下学期高中数学判别式技术试卷

2025年下学期高中数学判别式技术试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）若关于x的一元二次方程x²+2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A.k<1B.k>1C.k≤1D.k≥1已知方程x²-3x+m=0的一个根为1，则m的值为（）A.2B.-2C.1D.-1若一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的判别式Δ=b²-4ac=0，则方程的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确定关于x的方程(m-1)x²+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是（）A.m≤2B.m<2C.m≤2且m≠1D.m<2且m≠1已知一元二次方程x²-4x+3=0的两根为x₁、x₂，则x₁+x₂的值为（）A.4B.-4C.3D.-3若方程x²+px+q=0的两根分别为2和-3，则p、q的值分别为（）A.1，-6B.-1，6C.1，6D.-1，-6二次函数y=x²-2x-3的图像与x轴的交点个数为（）A.0个B.1个C.2个D.3个若二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴只有一个交点，则判别式Δ满足（）A.Δ>0B.Δ=0C.Δ<0D.无法确定关于x的方程x²+2(k-1)x+k²=0有两个实数根，则k的最大整数值是（）A.0B.1C.2D.3已知方程x²+mx+1=0有两个相等的实数根，则m的值为（）A.2B.-2C.±2D.0若二次函数y=2x²-4x+c的图像与x轴没有交点，则c的取值范围是（）A.c>2B.c<2C.c≥2D.c≤2关于x的一元二次方程kx²-6x+9=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A.k<1且k≠0B.k>1C.k≤1且k≠0D.k≥1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）一元二次方程2x²-5x+3=0的判别式Δ=________。若关于x的方程x²+bx+1=0有两个相等的实数根，则b=________。已知二次函数y=x²-6x+m的图像与x轴有两个交点，则m的取值范围是________。若方程x²-(m+1)x+m=0有两个相等的实数根，则m的值为________。三、解答题（本大题共6小题，共70分）（10分）已知关于x的一元二次方程x²-4x+m-1=0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根。（12分）已知二次函数y=x²+bx+c的图像经过点(1,0)和(2,5)，求该二次函数的解析式，并判断其图像与x轴的交点个数。（12分）已知关于x的方程x²+2x+k-1=0。（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）若方程的一个根为0，求k的值及方程的另一个根。（12分）已知二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴交于点A(-1,0)和B(3,0)，与y轴交于点C(0,3)。（1）求该二次函数的解析式；（2）求该二次函数图像的顶点坐标。（12分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。（1）设每件衬衫降价x元时，商场每天销售这种衬衫的利润为y元，求y与x之间的函数关系式；（2）每件衬衫降价多少元时，商场每天盈利最多？最大盈利是多少元？（12分）已知关于x的一元二次方程x²-(2k+1)x+k²+k=0。（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的两根分别为x₁、x₂，且x₁²+x₂²=10，求k的值。参考答案及解析一、选择题A解析：方程有两个不相等的实数根，则Δ=4-4k>0，解得k<1。A解析：将x=1代入方程得1-3+m=0，解得m=2。B解析：判别式Δ=0时，方程有两个相等的实数根。A解析：当m=1时，方程为2x+1=0，有实数根；当m≠1时，Δ=4-4(m-1)≥0，解得m≤2。综上，m≤2。A解析：由韦达定理得x₁+x₂=3。A解析：由韦达定理得p=-(2-3)=1，q=2×(-3)=-6。C解析：Δ=4+12=16>0，所以有两个交点。B解析：二次函数与x轴只有一个交点，说明方程ax²+bx+c=0有两个相等的实数根，所以Δ=0。A解析：Δ=4(k-1)²-4k²≥0，解得k≤0.5，所以k的最大整数值是0。C解析：Δ=m²-4=0，解得m=±2。A解析：Δ=16-8c<0，解得c>2。A解析：Δ=36-36k>0且k≠0，解得k<1且k≠0。二、填空题1解析：Δ=25-24=1。±2解析：Δ=b²-4=0，解得b=±2。m<9解析：Δ=36-4m>0，解得m<9。1解析：Δ=(m+1)²-4m=0，解得m=1。三、解答题解：∵方程有两个相等的实数根，∴Δ=16-4(m-1)=0，解得m=5。此时方程为x²-4x+4=0，解得x₁=x₂=2。解：（1）将(1,0)和(2,5)代入函数得：1+b+c=04+2b+c=5解得b=4，c=-5，∴函数解析式为y=x²+4x-5。（2）Δ=16+20=36>0，∴图像与x轴有两个交点。解：（1）Δ=4-4(k-1)>0，解得k<2。（2）将x=0代入方程得k-1=0，解得k=1。此时方程为x²+2x=0，解得x₁=0，x₂=-2。解：（1）设函数解析式为y=a(x+1)(x-3)，将(0,3)代入得-3a=3，解得a=-1，∴函数解析式为y=-(x+1)(x-3)=-x²+2x+3。（2）y=-x²+2x+3=-(x-1)²+4，∴顶点坐标为(1,4)。解：（1）y=(40-x)(20+2x)=-2x²+60x+800。（2）y=-2(x-15)²+1250，∴当x=15时，y有最大值1250。即每件衬衫降价15元时，商场每天盈利最多，最大盈利是1250元。（1）证明