2025年下学期高中数学抛物线应用试卷

2025年下学期高中数学抛物线应用试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）抛物线(y=2x^2)的焦点坐标是（）A.((\frac{1}{2},0))B.((0,\frac{1}{2}))C.((\frac{1}{8},0))D.((0,\frac{1}{8}))已知抛物线(y^2=8x)上一点(P)到焦点的距离为6，则点(P)的横坐标是（）A.3B.4C.5D.6抛物线(x^2=-4y)的准线方程是（）A.(y=1)B.(y=-1)C.(x=1)D.(x=-1)以抛物线(y^2=4x)的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（）A.((x-1)^2+y^2=1)B.((x+1)^2+y^2=1)C.((x-1)^2+y^2=4)D.((x+1)^2+y^2=4)抛物线有这样的光学性质：与对称轴平行的光线经抛物线反射后，反射光线经过焦点。已知雷达接收器的截面曲线为抛物线(y^2=4x)，光信号沿直线(y=2)入射到抛物线上的点(A)，经反射后与(x)轴交于焦点(F)，则反射光线所在直线的方程为（）A.(x-y-1=0)B.(x+y-1=0)C.(2x-y-2=0)D.(2x+y-2=0)抛物线形拱桥当水面宽度为6米时，拱顶离水面3米。若水面上升1米，则此时水面宽度为（）A.(2\sqrt{6})米B.(4)米C.(2\sqrt{3})米D.(3\sqrt{2})米已知抛物线(C:y^2=4x)，过点(P(1,1))作(C)的两条切线，切点分别为(A)、(B)，则线段(AB)的长度为（）A.(\sqrt{2})B.(2\sqrt{2})C.(3\sqrt{2})D.(4\sqrt{2})跃鲤桥为单孔石拱桥，内侧曲线呈抛物线型。以拱顶为坐标原点，桥面为(x)轴，竖直向上为(y)轴正方向建立坐标系，已知水面宽度24米时拱顶离水面12米，则该抛物线的焦点坐标是（）A.((0,-3))B.((0,3))C.((-3,0))D.((3,0))二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。全部选对得5分，部分选对得3分，错选得0分）已知抛物线(C:y^2=4x)，焦点为(F)，直线(l)过(F)且与(C)交于(A)、(B)两点，(O)为坐标原点，则下列说法正确的有（）A.(|AB|\geq4)B.当(l\perpx)轴时，(\triangleAOB)的面积为2C.(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=-3)D.(\triangleAOB)周长的最小值是(2\sqrt{2}+2)抛物线(C:y^2=4x)绕顶点逆时针旋转90°得到抛物线(C_1)，则下列说法正确的有（）A.(C_1)的方程为(x^2=-4y)B.四条抛物线（旋转90°、180°、270°）围成的阴影区域面积为64C.第一、四象限交点(A)、(B)满足(OA\perpOB)D.图案上任意两点距离的最大值为(8\sqrt{2})已知椭圆(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1)的右焦点与抛物线(C)的焦点重合，则关于抛物线(C)的结论正确的有（）A.抛物线(C)的方程为(y^2=4x)B.动点(P)在(C)上，到直线(x=-1)和(x=2)的距离之和最小值为3C.过焦点的弦长最小值为4D.若点(Q)是(C)上异于原点的点，(I)是(\triangleQOF)（(O)为原点，(F)为焦点）的内心，则(\triangleQIF)面积的取值范围是((0,1))直线族(y=kx+\frac{1}{k}(k\neq0))的包络曲线定义为：直线族中每条直线都是该曲线上某点处的切线，且曲线上每点处的切线都属于该直线族。则关于该直线族的包络曲线(E)的结论正确的有（）A.(E)是抛物线B.(E)的方程为(y^2=4x)C.点((-1,0))到(E)上点的距离最小值为2D.过(E)上动点(M)向圆(x^2+y^2=1)作切线，切点为(A)、(B)，则四边形(OAMB)面积的最小值为(\sqrt{3})三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）清代青花瓷盖碗的碗盖内部轴截面近似抛物线，碗盖深3cm，口直径8cm，碗体深6.25cm，口直径10cm。盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为________cm。抛物线(C:y^2=4x)的焦点为(F)，点(M)在(C)上，且(|MF|=5)，则点(M)的坐标为________。已知(O)为坐标原点，抛物线(C:y^2=4x)的焦点为(F)，直线(l)过(F)交(C)于(A)、(B)两点，若(\triangleAOB)的面积为(2\sqrt{2})，则直线(l)的斜率为________。抛物线(C:y^2=4x)上的点(P)到定点(Q(2,2))的距离与到准线距离之和的最小值为________。四、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（10分）已知抛物线的顶点在原点，焦点在(x)轴上，且过点((2,-4))。（1）求抛物线的标准方程；（2）若直线(y=2x+m)与抛物线交于(A)、(B)两点，且(|AB|=3\sqrt{5})，求(m)的值。18.（12分）抛物线(C:y^2=2px(p>0))的焦点为(F)，准线与(x)轴交于点(D)，过(F)的直线(l)与(C)交于(A)、(B)两点，且(\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB})。（1）若(|AB|=9)，求抛物线(C)的方程；（2）在（1）的条件下，求(\triangleABD)的面积。19.（12分）隧道截面由长方形和抛物线构成，为保证安全，车辆顶部与隧道顶部的铅垂距离至少0.5米。已知隧道跨度8米（即长方形宽8米），拱高4米（抛物线最高点到长方形上底面的距离），长方形高2米。若车辆在隧道中间行驶，车宽2.2米，求卡车的限高（精确到0.1米）。20.（12分）已知抛物线(E:x^2=4y)，点(M(0,2))，过(M)作直线(l_1)、(l_2)分别交(E)于(A)、(B)两点，且(l_1)、(l_2)的斜率之积为(-\frac{1}{4})。（1）证明：直线(AB)过定点；（2）求(\triangleAOB)（(O)为原点）面积的最大值。21.（12分）抛物线(C:y^2=4x)的焦点为(F)，过(F)的直线(l)与(C)交于(P)、(Q)两点，线段(PQ)的垂直平分线交(x)轴于点(R)。（1）若(l)的斜率为1，求(|PR|)；（2）证明：(|PQ|=2|FR|)；（3）若(|PQ|=8)，求(\trianglePQR)的面积。22.（12分）已知抛物线(C:y^2=4x)，点(A(-1,0))，直线(l)与(C)交于(M)、(N)两点（异于原点），且(\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AN}=0)。（1）证明：直线(l)过定点；（2）设(O)为原点，(T)为直线(x=-1)上一点，且(\overrightarrow{OT}\cdot\overrightarrow{MN}=0)，求(\triangleTMN)面积的最小值。试卷