2025年下学期高中数学彭实戈金融数学试卷

2025年下学期高中数学彭实戈金融数学试卷一、选择题（每题3分，共30分）下列哪项不是金融数学中的核心随机变量？A.股票价格波动率B.国债收益率C.上市公司员工数量D.外汇汇率某债券票面金额1000元，票面利率5%，每年付息一次，期限3年，市场利率4%，其理论价格为（）A.972.73元B.1027.75元C.1000元D.952.38元连续复利计算中，若本金1000元，年利率6%，则3年后终值为（）A.(1000\times(1+0.06)^3)B.(1000\timese^{0.06\times3})C.(1000\times(1+0.06\times3))D.(1000\times(1+0.03)^6)投资组合理论中，当两项资产相关系数为-1时，下列说法正确的是（）A.组合风险为两项资产风险之和B.可构建无风险投资组合C.组合收益率为两项资产收益率的加权平均D.组合方差达到最大值下列属于金融衍生品的是（）A.普通股股票B.定期存款C.沪深300指数期货D.政府债券某投资者以50元买入股票，同时买入执行价格55元的看跌期权，期权费3元。若到期日股票价格为48元，该组合收益为（）A.-2元B.4元C.-5元D.3元资本资产定价模型（CAPM）的公式为(E(R_i)=R_f+\beta_i(E(R_m)-R_f))，其中(\beta_i)衡量的是（）A.系统性风险B.非系统性风险C.总风险D.流动性风险债券价格与市场利率的关系是（）A.正相关B.负相关C.无关D.先正后负某贷款采用等额本息还款法，本金10万元，年利率6%，期限5年，每月还款额计算公式为（）A.(\frac{100000\times0.005\times(1+0.005)^{60}}{(1+0.005)^{60}-1})B.(\frac{100000}{60}+100000\times0.005)C.(100000\times(1+0.06)^5/60)D.(100000\times0.005)下列关于Black-Scholes期权定价模型的假设，错误的是（）A.股票价格服从几何布朗运动B.无风险利率为常数C.允许卖空且无交易成本D.期权可以提前执行二、填空题（每题4分，共20分）某银行理财产品年化收益率为4.5%，按季度复利计息，则其有效年利率为________。投资组合中两项资产A和B的权重分别为0.6和0.4，预期收益率分别为8%和12%，则组合预期收益率为________。某股票当前价格80元，执行价格75元的看涨期权内在价值为________元。若年利率为5%，则10年后的10000元在当前的现值为________元（结果保留整数）。风险价值（VaR）度量的是在一定置信水平下，资产在未来________内可能遭受的最大损失。三、计算题（每题10分，共30分）某公司发行5年期债券，票面金额1000元，票面利率6%，每半年付息一次，市场利率4%。计算该债券的理论价格。投资者将10万元资金分配于A、B两只股票：A股票期望收益率10%，标准差15%；B股票期望收益率15%，标准差20%，两项资产相关系数0.3。（1）计算组合期望收益率；（2）计算组合标准差；（3）若无风险利率为3%，计算该组合的夏普比率。某股票当前价格50元，波动率30%，无风险利率5%，执行价格52元，期限1年的欧式看涨期权。运用Black-Scholes模型计算期权价格（已知(N(0.3)=0.6179)，(N(0.1)=0.5398)）。四、分析题（20分）某基金经理计划构建一个由股票、债券和黄金组成的三元投资组合，相关数据如下表：资产类型预期收益率标准差与股票相关性与债券相关性与黄金相关性股票12%20%10.2-0.1债券5%8%0.210.3黄金8%15%-0.10.31（1）若限定股票和债券的权重之和为0.8，黄金权重为0.2，如何分配股票和债券权重才能使组合风险最低？（2）结合彭实戈院士提出的"倒向随机微分方程"理论，分析在金融市场存在不确定性时，该投资组合的动态调整策略。五、证明题（10分）证明：在马可维茨投资组合理论中，对于任意两个有效前沿上的投资组合，其线性组合仍在有效前沿上。参考答案及解析一、选择题C（解析：员工数量属于公司运营数据，与金融市场随机波动无关）B（解析：债券价格=50×(P/A,4%,3)+1000×(P/F,4%,3)=50×2.7751+1000×0.8890=1027.75元）B（解析：连续复利终值公式为(Pe^{rt})）B（解析：相关系数-1时，可通过权重配比抵消全部非系统性风险）C（解析：期货合约属于标准化金融衍生品）B（解析：股票收益=48-50=-2元，期权收益=55-48-3=4元，总收益=2元）A（解析：β系数衡量资产对市场组合风险的敏感度，即系统性风险）B（解析：市场利率上升时，债券折现率提高，价格下降）A（解析：等额本息公式为(PMT=\frac{P\timesr\times(1+r)^n}{(1+r)^n-1})，月利率=6%/12=0.5%）D（解析：Black-Scholes模型假设期权为欧式期权，只能到期执行）二、填空题4.58%（解析：((1+0.045/4)^4-1=4.58%)）10.4%（解析：0.6×8%+0.4×12%=10.4%）5（解析：内在价值=max(80-75,0)=5元）6139（解析：现值=10000/(1+5%)^10≈6139元）特定持有期（如1天、1个月）三、计算题债券价格计算：每半年付息额=1000×6%/2=30元，市场利率半年2%，期数10期利息现值=30×(P/A,2%,10)=30×8.9826=269.48元本金现值=1000×(P/F,2%,10)=1000×0.8203=820.3元债券价格=269.48+820.3=1089.78元（1）组合期望收益率=0.6×10%+0.4×15%=12%（2）组合标准差=(\sqrt{0.6^2×0.15^2+0.4^2×0.2^2+2×0.6×0.4×0.3×0.15×0.2})=13.2%（3）夏普比率=(12%-3%)/13.2%≈0.68Black-Scholes计算：(d_1=\frac{ln(50/52)+(0.05+0.3^2/2)×1}{0.3×\sqrt{1}}≈0.3)(d_2=0.3-0.3×1=0.1)期权价格=50×0.6179-52×e^{-0.05×1}×0.5398≈5.23元四、分析题（1）设股票权重为w，债券权重为0.8-w，黄金权重0.2。通过最小化方差公式求导，解得w=0.32，即股票32%、债券48%、黄金20%时组合风险最低。（2）根据倒向随机微分方程理论，需通过动态规划方法，以终端财富目标为起点，反向推导各时点最优资产配置比例，尤其在市场波动率突变时，需及时调整黄金等避险资产权重。五、证明题设有效前沿上两点(P_1(w_1,\sigma_1,E_1))和(P_2(w_2,\sigma_2,E_2))，任意线性