2025年下学期高中数学平面向量专题试卷

2025年下学期高中数学平面向量专题试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）已知向量$\vec{a}$，$\vec{b}$满足$|\vec{a}|=4$，$|\vec{b}|=10$，且$\vec{a}$在$\vec{b}$上的投影向量为$-\frac{1}{5}\vec{b}$，则向量$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角为（）A.$\frac{\pi}{6}$B.$\frac{\pi}{3}$C.$\frac{2\pi}{3}$D.$\frac{5\pi}{6}$设向量$\vec{a}=(3,4)$，$\vec{b}=(1,-1)$，则$\vec{a}$在$\vec{b}$方向上的投影向量为（）A.$(2,-2)$B.$(-2,2)$C.$\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$D.$\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)$在$\triangleABC$中，角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，已知$2\vec{AB}\cdot\vec{AC}=a^2-(b-c)^2$，则$\triangleABC$的形状是（）A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰三角形或直角三角形已知向量$\vec{a}=(1,1)$，$\vec{b}=(0,1)$，若$(\vec{a}+\lambda\vec{b})\perp\vec{b}$，则$\lambda=$（）A.$-1$B.$1$C.$2$D.$0$$\vec{e_1}$，$\vec{e_2}$是两个不共线的单位向量，$\vec{c}=\vec{e_1}+\vec{e_2}$，$\vec{d}=3\vec{e_1}-2\vec{e_2}$，$\vec{f}=2\vec{e_1}+\vec{e_2}$，下列正确的是（）A.$\vec{c}\cdot\vec{d}=2$B.$\vec{c}\cdot\vec{f}=4$C.$|\vec{d}+\vec{f}|\geq1$D.$0<|\vec{c}-\vec{d}|<1$在边长为2的正方形$ABCD$中，$E$为$CD$的中点，则$\vec{AE}\cdot\vec{BD}=$（）A.$1$B.$3$C.$4$D.$6$已知向量$\vec{a}=(x,1)$，$\vec{b}=(1,-2)$，若$\vec{a}\parallel\vec{b}$，则下列关系一定成立的是（）A.$x=-2$B.$x=-\frac{1}{2}$C.$|x|=2$D.$x^2=4$已知向量$\vec{a}$，$\vec{b}$满足$|\vec{a}|=2$，$|\vec{b}|=3$，且$\vec{a}\cdot\vec{b}=-3$，则$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角为（）A.$\frac{\pi}{6}$B.$\frac{\pi}{3}$C.$\frac{2\pi}{3}$D.$\frac{5\pi}{6}$二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）若$\vec{e_1}$，$\vec{e_2}$是平面内两个不共线的向量，则下列说法正确的是（）A.可以表示平面内的所有向量B.对于平面中的任一向量$\vec{a}$，使$\vec{a}=\lambda\vec{e_1}+\mu\vec{e_2}$的实数$\lambda$，$\mu$有无数多组C.若$\lambda_1\vec{e_1}+\mu_1\vec{e_2}=\lambda_2\vec{e_1}+\mu_2\vec{e_2}$，则$\lambda_1=\lambda_2$且$\mu_1=\mu_2$D.向量$\vec{e_1}+\vec{e_2}$与$\vec{e_1}-\vec{e_2}$可能共线“奔驰定理”是平面向量中的重要结论：已知$M$是$\triangleABC$内一点，$\triangleMBC$，$\triangleMCA$，$\triangleMAB$的面积分别为$S_A$，$S_B$，$S_C$，则$S_A\vec{MA}+S_B\vec{MB}+S_C\vec{MC}=\vec{0}$。以下命题正确的有（）A.若$S_A:S_B:S_C=1:1:1$，则$M$为$\triangleABC$的重心B.若$M$为$\triangleABC$的内心，则$S_A:S_B:S_C=a:b:c$（$a,b,c$为$\triangleABC$的内角对边）C.若$M$为$\triangleABC$的垂心，且$\vec{MA}\cdot\vec{MB}=\vec{MB}\cdot\vec{MC}=\vec{MC}\cdot\vec{MA}$，则$\triangleABC$为等边三角形D.若$|\vec{MA}|=|\vec{MB}|=|\vec{MC}|$，则$S_A\vec{MA}+S_B\vec{MB}+S_C\vec{MC}=\vec{0}$已知平面向量$\vec{a}$，$\vec{b}$，$\vec{c}$满足$|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$，$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$，$|\vec{c}-\vec{a}-\vec{b}|=1$，则（）A.点$C$的轨迹是圆B.$|\vec{c}|$的最大值是$3$C.$|\vec{c}|$的最小值是$1$D.$\vec{c}\cdot(\vec{a}+\vec{b})$的取值范围是$[1,3]$三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）设向量$\vec{a}=(-2,2)$，$\vec{b}=(5,k)$，若$|\vec{a}+\vec{b}|\leq5$，则$k$的取值范围是________。在直角坐标系$xOy$中，已知点$A(0,1)$和点$B(-3,4)$，若点$C$在$\angleAOB$的平分线上且$|\vec{OC}|=2$，则$\vec{OC}=$________。已知$\vec{a}$，$\vec{b}$是非零向量，$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角为$\frac{\pi}{3}$，$|\vec{a}|=1$，$|\vec{b}|=2$，$\vec{c}=2\vec{a}-\vec{b}$，则$|\vec{c}|=$；$\vec{a}$在$\vec{c}$方向上的投影为。（第一空3分，第二空2分）已知$\triangleABC$中，$AB=AC=2$，$\angleBAC=120^\circ$，$P$为边$BC$上任意一点，则$\vec{PA}\cdot(\vec{PB}+\vec{PC})$的最小值是________。四、解答题（本大题共6小题，共72分）（10分）已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(m,-1)$，且$\vec{a}\perp(\vec{a}+\vec{b})$。（1）求$m$的值；（2）若$\vec{c}=(2,n)$，且$\vec{b}\parallel\vec{c}$，求$|\vec{c}|$。（12分）在$\triangleABC$中，角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，已知$\vec{AB}\cdot\vec{AC}=bc\cosA$，且$a=2\sqrt{3}$，$b+c=4$。（1）求角$A$的大小；（2）求$\triangleABC$的面积。（12分）如图，在扇形$OAB$中，半径$OA=2$，弧长$AB=\pi$，点$P$是弧$AB$上的动点，点$M$，$N$分别是半径$OA$，$OB$上的动点。（1）若$M$，$N$分别为$OA$，$OB$的中点，求$\vec{PM}\cdot\vec{PN}$的最小值；（2）求$\trianglePMN$周长的最小值。（12分）已知向量$\vec{e_1}$，$\vec{e_2}$是互相垂直的单位向量，$\vec{a}=\vec{e_1}+2\vec{e_2}$，$\vec{b}=3\vec{e_1}-\vec{e_2}$。（1）求$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角的余弦值；（2）若$\vec{c}=2\vec{a}-\lambda\vec{b}$，且$\vec{c}\perp\vec{b}$，求$\lambda$的值及$|\vec{c}|$。（12分）我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”：以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积。即$S=\sqrt{\frac{1}{4}\left[c^2a^2-\left(\frac{c^2+a^2-b^2}{2}\right)^2\right]}$，其中$a$，$b$，$c$为三角形的三边长，$S$为面积。（1）若$\triangleABC$的三边长为$a=5$，$b=7$，$c=8$，用“三斜求积术”求$S$；（2）证明“三斜求积术”与海伦公式$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$（其中$p=\frac{a+b+c}{2}$）等价。（14分）已知抛物线$y^2=4x$的焦点为$F$，过点$F$的直线$l$与抛物线交于$A$，$B$两点，点$P$在抛物线的准线上，且$PF\perpl$。（1）证明：直线$PA$与抛物线相切；（2）设$\vec{FA}=\lambda\vec{FB}$，$\vec{PA}=\mu\vec{PB}$，求$\lambda+\mu$的值。试卷设计说明考点覆盖：全面覆盖平面向量的概念、线性运算、坐标表示、数量积、投影向