2025年下学期高中数学普通学校达标试卷

2025年下学期高中数学普通学校达标试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）已知集合(A={x|x^2-5x+6=0})，(B={x|\log_2(x-1)=1})，则(A\cupB=)（）A.({2,3})B.({2,3,4})C.({3,4})D.({2,4})函数(f(x)=\sqrt{4-x^2}+\ln(x+1))的定义域是（）A.([-2,2])B.((-1,2])C.([-1,2))D.((-1,2))若复数(z=(1+2i)(a-i))（(a\in\mathbb{R})）为纯虚数，则(a=)（）A.(-2)B.(-1)C.(1)D.(2)已知等差数列({a_n})的前(n)项和为(S_n)，若(a_3=5)，(S_5=25)，则(a_7=)（）A.(10)B.(11)C.(12)D.(13)函数(f(x)=\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right))的图像可由函数(g(x)=\sin2x)的图像（）A.向左平移(\frac{\pi}{6})个单位B.向右平移(\frac{\pi}{6})个单位C.向左平移(\frac{\pi}{3})个单位D.向右平移(\frac{\pi}{3})个单位曲线(y=x^3-2x+1)在点((1,0))处的切线方程为（）A.(y=x-1)B.(y=-x+1)C.(y=2x-2)D.(y=-2x+2)某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为（）（注：此处应配三视图，实际考试中需提供图形，本文以文字描述：正视图和侧视图均为边长为2的正方形，俯视图为边长为2的正方形中间有一个直径为2的圆）A.(8-\pi)B.(8-2\pi)C.(16-\pi)D.(16-2\pi)从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取2张，则抽取的2张卡片上的数字之和为偶数的概率为（）A.(\frac{1}{5})B.(\frac{2}{5})C.(\frac{3}{5})D.(\frac{4}{5})已知双曲线(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>0,b>0)）的离心率为(\sqrt{3})，则其渐近线方程为（）A.(y=\pm\sqrt{2}x)B.(y=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}x)C.(y=\pm2x)D.(y=\pm\frac{1}{2}x)已知函数(f(x)=x^3-3x^2+2)，则函数(f(x))的极大值点为（）A.(x=0)B.(x=1)C.(x=2)D.(x=3)已知数列({a_n})满足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+1)，则数列({a_n})的前(n)项和(S_n=)（）A.(2^{n+1}-n-2)B.(2^{n+1}-n)C.(2^n-n-1)D.(2^n-n)若对任意(x\in[1,2])，不等式(x^2-ax+3\geq0)恒成立，则实数(a)的取值范围是（）A.((-\infty,4])B.((-\infty,2\sqrt{3}])C.([4,+\infty))D.([2\sqrt{3},+\infty))二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）已知向量(\vec{a}=(2,1))，(\vec{b}=(m,3))，若(\vec{a}\perp\vec{b})，则(m=)__________．((x-\frac{1}{x})^6)的展开式中常数项为__________（用数字作答）．在三棱锥(P-ABC)中，(PA\perp)平面(ABC)，(AB\perpBC)，(PA=AB=BC=2)，则直线(PC)与平面(PAB)所成角的正弦值为__________．已知函数(f(x)=\begin{cases}\log_2x,&x>0,\2^x,&x\leq0,\end{cases})若(f(a)=f(b)=f(c))（(a<b<c)），则(a+b+c)的取值范围是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（本小题满分10分）已知(\triangleABC)的内角(A,B,C)的对边分别为(a,b,c)，且(a\cosB+b\cosA=2c\cosC)．（1）求角(C)的大小；（2）若(c=2\sqrt{3})，(\triangleABC)的面积为(2\sqrt{3})，求(a+b)的值．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(D)为(BC)的中点．（1）求证：(A_1B\parallel)平面(ADC_1)；（2）求异面直线(A_1D)与(AC_1)所成角的余弦值．（本小题满分12分）某学校为了解学生的数学学习情况，随机抽取了100名高一学生进行数学成绩调查，将成绩整理后得到如下频率分布直方图：（注：此处应配频率分布直方图，实际考试中需提供图形，本文以文字描述：分组为[40,50)、[50,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100]，对应的频率分别为0.05、0.10、0.20、0.30、0.25、0.10）（1）求图中(a)的值（若有）及这100名学生数学成绩的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；（2）若从成绩在[80,100]的学生中随机抽取2人，求至少有1人成绩在[90,100]的概率．（本小题满分12分）已知椭圆(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的离心率为(\frac{\sqrt{3}}{2})，且过点((2,1))．（1）求椭圆(C)的标准方程；（2）设直线(l:y=kx+m)与椭圆(C)交于(A,B)两点，(O)为坐标原点，若(OA\perpOB)，求(\triangleAOB)面积的最大值．（本小题满分12分）已知函数(f(x)=\lnx+ax^2-(2a+1)x)（(a\in\mathbb{R})）．（1）讨论函数(f(x))的单调性；（2）若(a>0)，且(f(x)\geq-1)在(x\in(0,+\infty))上恒成立，求(a)的取值范围．（本小题满分12分）已知数列({a_n})的前(n)项和为(S_n)，且(S_n=2a_n-n)（(n\in\mathbb{N}^*)）．（1）证明：数列({a_n+1})是等比数列；（2）设(b_n=\frac{a_n+1}{a_na_{n+1}})，求数列({b_n})的前(n)项和(T_n)；（3）若不等式((-1)^n\lambda<S_n+n-2^n)对任意(n\in\mathbb{N}^*)恒成立，求实数(\lambda)的取值范围．（注：本试卷共22题，满分150分，考试时间120分钟）参考答案及解析（供阅卷参考）一、选择题B2.B3.A4.D5.B6.A7.A8.B9.A10.A11.A12.A二、填空题(-\frac{3}{2})14.(-20)15.(\frac{\sqrt{3}}{3})16.((1,2))三、解答题（1）由正弦定理得(\sinA\cosB+\sinB\cosA=2\sinC\cosC)，即(\sin(A+B)=2\sinC\cosC)，因为(A+B=\pi-C)，所以(\sinC=2\sinC\cosC)，解得(\cosC=\frac{1}{2})，故(C=\frac{\pi}{3})．（2）由面积公式(\frac{1}{2}ab\sinC=2\sqrt{3})得(ab=8)，再由余弦定理(c^2=a^2+b^2-ab)得(a^2+b^2=20)，则((a+b)^2=a^2+b^2+2ab=36)，故(a+b=6)．（1）连接(A_1C)交(AC_1)于点(O)，连接(OD)，则(O)为(A_1C)中点，(D)为(BC)中点，故(OD\parallelA_1B)，又(OD\subset)平面(ADC_1)，(A_1B\not\subset)平面(ADC_1)，所以(A_1B\parallel)平面(ADC_1)．（2）以(A)为原点建立空间直角坐标系，得(A_1(0,0,2))，(D(1,1,0))，(A(0,0,0))，(C_1(0,2,2))，向量(\overrightarrow{A_1D}=(1,1,-2))，(\overrightarrow{AC_1}=(0,2,2))，夹角余弦值为(\frac{\overrightarrow{A_1D}\cdot\overrightarrow{AC_1}}{|\overrightarrow{A_1D}||\overrightarrow{AC_1}|}=\frac{0+2-4}{\sqrt{6}\cdot\sqrt{8}}=-\frac{\sqrt{3}}{6})，故异面直线所成角的余弦值为(\frac{\sqrt{3}}{6})．（1）平均数为(45\times0.05+55\times0.10+65\times0.20+75\times0.30+85\times0.25+95\times0.10=74.5)．（2）[80,90)有25人，[90,100]有10人，总取法(\text{C}{35}^2)，至少1人在[90,100]的概率为(1-\frac{\text{C}{25}^2}{\text{C}_{35}^2}=\frac{11}{23})．（1）由离心率(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2})得(c=\frac{\sqrt{3}}{2}a)，(b^2=a^2-c^2=\frac{1}{4}a^2)，代入点((2,1))得(\frac{4}{a^2}+\frac{1}{\frac{1}{4}a^2}=1)，解得(a^2=8)，(b^2=2)，故椭圆方程为(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1)．（2）联立直线与椭圆方程，由(OA\perpOB)得(x_1x_2+y_1y_2=0)，化简得(4m^2=8k^2+2)，即(m^2=2k^2+\frac{1}{2})，面积(S=\frac{1}{2}|m|\cdot|x_1-x_2|=\sqrt{2k^2+\frac{1}{2}}\cdot\sqrt{\frac{8(8k^2+2-4m^2)}{1+4k^2}})，代入(m^2)得(S=\sqrt{2})，故最大值为(\sqrt{2})．（1）(f'(x)=\frac{1}{x}+2ax-(2a+1)=\frac{(2ax-1)(x-1)}{x})，当(a\leq0)时，(f(x))在((0,1))上单调递增，在((1,+\infty))上单调递减；当(0<a<\frac{1}{2})时，(f(x))在((0,1))和((\frac{1}{2a},+\infty))上单调递增，在((1,\frac{1}{2a}))上单调递减；当(a=\frac{1}{2})时，(f(x))在((0,+\infty))上单调递增；当(a>\frac{1}{2})时，(f(x))在((0,\frac{1}{2a}))和((1,+\infty))上单调递增，在((\frac{1}{2a},1))上单调递减．（2）由（1）知当(a>0)时，(f(x))的最小值为(f(1)=-a-1)，令(-a-1\geq-1)得(a\leq0)，与(a>0)矛盾，故无解（注：此处需重新检查