2025年下学期高中数学谱方法技术试卷

2025年下学期高中数学谱方法技术试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）已知集合(A={x|x^2-3x+2\leq0})，(B={x|\log_2(x-1)\leq1})，则(A\capB=)（）A.([1,2])B.((1,2])C.([2,3])D.((1,3])函数(f(x)=\frac{\sinx+\cosx}{\sinx-\cosx})的最小正周期为（）A.(\frac{\pi}{2})B.(\pi)C.(2\pi)D.(4\pi)已知数列({a_n})满足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+1)，则其通项公式(a_n=)（）A.(2^n-1)B.(2^{n+1}-1)C.(2^n+1)D.(2^{n-1}+1)若向量(\vec{a}=(1,2))，(\vec{b}=(m,1))，且(\vec{a}\perp(\vec{a}-\vec{b}))，则(m=)（）A.3B.5C.7D.9不等式(x^2-2x+3\leq0)的解集为（）A.(\varnothing)B.(\mathbb{R})C.([1,3])D.((-\infty,1]\cup[3,+\infty))直线(l:2x-y+3=0)与圆(C:x^2+y^2-4x+2y-4=0)的位置关系是（）A.相离B.相切C.相交且过圆心D.相交但不过圆心已知双曲线(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>0,b>0)）的离心率为(\sqrt{3})，则其渐近线方程为（）A.(y=\pm\sqrt{2}x)B.(y=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}x)C.(y=\pm2x)D.(y=\pm\frac{1}{2}x)某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为（）A.(8\pi)B.(12\pi)C.(16\pi)D.(24\pi)从3名男生和2名女生中随机抽取2人参加活动，则至少有1名女生的概率为（）A.(\frac{1}{5})B.(\frac{2}{5})C.(\frac{3}{5})D.(\frac{4}{5})函数(f(x)=x^3-3x^2+2)的极大值点为（）A.(x=0)B.(x=1)C.(x=2)D.(x=3)已知复数(z=\frac{2+i}{1-i})，则(|z|=)（）A.(\frac{\sqrt{5}}{2})B.(\sqrt{5})C.(\frac{5}{2})D.5参数方程(\begin{cases}x=2\cos\theta\y=\sin\theta\end{cases})（(\theta)为参数）表示的曲线是（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）函数(f(x)=\sqrt{x-1}+\ln(3-x))的定义域为________。若等比数列({a_n})的前(n)项和(S_n=2^n+t)，则(t=)________。已知直线(l)过点((1,2))，且与直线(2x+y-1=0)垂直，则直线(l)的方程为________。如图，在正方体(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中，(E)为(DD_1)的中点，则异面直线(AE)与(B_1C)所成角的余弦值为________。三、解答题（本大题共6小题，共70分）（10分）已知(\triangleABC)的内角(A,B,C)的对边分别为(a,b,c)，且(a=2)，(\cosB=\frac{3}{5})。（1）若(b=4)，求(\sinA)；（2）若(\triangleABC)的面积为4，求(b)的值。（12分）已知数列({a_n})是等差数列，(a_1=1)，公差(d\neq0)，且(a_1,a_2,a_5)成等比数列。（1）求数列({a_n})的通项公式；（2）设(b_n=2^{a_n})，求数列({b_n})的前(n)项和(T_n)。（12分）如图，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(D)为(BC)的中点。（1）求证：(A_1B\parallel)平面(ADC_1)；（2）求三棱锥(A_1-ADC_1)的体积。（12分）已知函数(f(x)=x^3-3x^2+2x)。（1）求函数(f(x))的单调区间；（2）求函数(f(x))在区间([-1,2])上的最大值和最小值。（12分）已知椭圆(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的离心率为(\frac{\sqrt{2}}{2})，且过点((1,\frac{\sqrt{2}}{2}))。（1）求椭圆(C)的标准方程；（2）设直线(l:y=kx+m)与椭圆(C)交于(A,B)两点，且(OA\perpOB)（(O)为坐标原点），求证：直线(l)过定点。（12分）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到如下列联表：满意不满意总计男顾客401050女顾客302050总计7030100（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：(K^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)})(P(K^2\geqk))0.0500.0100.001(k)3.8416.63510.828参考答案及评分标准（部分）一、选择题B2.B3.A4.C5.A6.D7.A8.B9.C10.A11.C12.B二、填空题([1,3))14.(-1)15.(x-2y+3=0)16.(\frac{\sqrt{10}}{10})三、解答题（以17题为例）解：（1）在(\triangleABC)中，(\cosB=\frac{3}{5})，则(\sinB=\sqrt{1-\cos^2B}=\frac{4}{5})。由正弦定理(\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB})，得(\sinA=\frac{a\sinB}{b}=\frac{2\times\frac{4}{5}}{4}=\frac{2}{5})。（5分）（2）(\triangleABC)的面积(S=\frac{1}{2}ac\sinB=4)，即(\frac{1}{2}\times2\timesc\times\frac{4}{5}=4)，解得(c=5)。由余弦定理(b^2=a^2+c^2-2ac\cosB=4+25-2\times2\times5\times\fra