2025年下学期高中数学期望与现实试卷

2025年下学期高中数学期望与现实试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）某社区超市为提升销售额，统计了近100天内某种零食的日销量（单位：袋），数据如下表所示：日销量10203040天数20304010若将日销量视为随机变量(X)，则(X)的数学期望(E(X))为（）A.20B.23C.25D.28某工厂生产的零件尺寸服从正态分布(N(50,4))（单位：mm），质检时规定尺寸在([46,54])内为合格。若随机抽取1个零件，其合格的概率约为（已知(P(\mu-2\sigma\leqX\leq\mu+2\sigma)\approx0.9545)）（）A.0.6827B.0.9545C.0.9973D.0.9999某班有50名学生，其中男生30人，女生20人。现随机抽取3人参加数学竞赛，记抽到女生的人数为(Y)，则(P(Y=2))等于（）A.(\frac{\binom{20}{2}\binom{30}{1}}{\binom{50}{3}})B.(\frac{\binom{20}{2}\binom{30}{1}}{\binom{50}{2}})C.(\frac{\binom{20}{1}\binom{30}{2}}{\binom{50}{3}})D.(\frac{\binom{20}{2}+\binom{30}{1}}{\binom{50}{3}})某射手射击一次命中目标的概率为0.8，现连续射击3次，记命中目标的次数为(Z)，则(E(Z))和(D(Z))分别为（）A.2.4，0.48B.2.4，0.16C.1.6，0.48D.1.6，0.16某高校自主招生面试中，考生需从5道题中随机抽取2道作答。若某考生只会其中3道题，则他至少抽到1道会做题的概率为（）A.(\frac{3}{5})B.(\frac{7}{10})C.(\frac{4}{5})D.(\frac{9}{10})在一次抽奖活动中，参与者需支付10元购买一张奖券，中奖概率为0.1，奖金为50元。若随机变量(W)表示参与者的收益（单位：元），则(E(W))为（）A.-5元B.-4元C.4元D.5元某地区高考数学成绩近似服从正态分布(N(100,\sigma^2))，已知成绩在120分以上的考生占总人数的5%，则成绩在80分以下的考生占比约为（）A.2.5%B.5%C.10%D.15%某通信公司推出两种流量套餐：套餐A：月租50元，包含10GB流量，超出部分10元/GB；套餐B：月租80元，包含20GB流量，超出部分5元/GB。若某用户每月流量使用量(X)（单位：GB）服从均匀分布(U(5,25))，则该用户选择哪种套餐更划算？（）A.套餐AB.套餐BC.两者期望成本相同D.无法确定设随机变量(X)的分布列为(P(X=k)=\frac{c}{k(k+1)})（(k=1,2,3)），其中(c)为常数，则(c)的值为（）A.(\frac{1}{2})B.(\frac{2}{3})C.(\frac{3}{4})D.(\frac{4}{5})某班40名学生的数学期末考试成绩（满分150分）如下表所示：分数段[80,90)[90,100)[100,110)[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]人数25812841若以组中值（区间中点）作为该组数据的代表值，则该班数学成绩的平均分约为（）A.108B.112C.115D.118某工厂用两种设备生产同一种产品，设备A生产的产品合格率为0.95，设备B生产的产品合格率为0.9。已知设备A和B的产量占比分别为60%和40%，现随机抽取一件产品，其为合格品的概率为（）A.0.92B.0.93C.0.94D.0.95在一次“猜数字”游戏中，主持人在1~100中随机选择一个数字，参与者每次猜测后会被告知“大了”或“小了”。若参与者采用“二分法”策略（即每次猜剩余区间的中点），则猜中数字所需次数的数学期望约为（）A.5B.6C.7D.8二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）某学校为了解学生课后作业时间，随机调查了50名学生，得到其日均作业时间（单位：小时）的频率分布直方图，其中区间[1,2)的频率为0.3，[2,3)的频率为0.5，[3,4]的频率为0.2，则这50名学生日均作业时间的数学期望为________小时。设随机变量(X\simB(n,p))，若(E(X)=3)，(D(X)=2.1)，则(n=)，(p=)。（本小题第一空2分，第二空3分）某保险公司推出一款医疗保险，被保险人每年缴纳保费1000元，若一年内发生重大疾病，可获赔50000元。已知该地区人群一年内发生重大疾病的概率为0.005，若该公司期望盈利，则每年需至少有________名被保险人投保。某电商平台“双十一”期间举办抽奖活动，规则如下：用户每次抽奖需消耗10积分，有10%的概率获得20积分，30%的概率获得10积分，60%的概率获得5积分。则用户每次抽奖的积分期望收益为________积分。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（本小题满分10分）某奶茶店为促销，推出“买一送一”活动，即购买一杯奶茶可随机获赠一张优惠券，优惠券有两种：A券：下次消费减5元，概率为0.6；B券：下次消费减10元，概率为0.4。（1）若某顾客连续购买2杯奶茶，求获得的两张优惠券总减免金额(X)的分布列；（2）求(X)的数学期望(E(X))。（本小题满分12分）某工厂生产的电子元件寿命(X)（单位：小时）服从参数(\lambda=0.001)的指数分布，其概率密度函数为(f(x)=\lambdae^{-\lambdax})（(x\geq0)）。（1）求电子元件寿命超过1000小时的概率；（2）若规定寿命低于500小时为不合格品，工厂每生产1个不合格品亏损20元，每生产1个合格品盈利100元，求单个电子元件的期望利润。（本小题满分12分）某中学为评估学生数学能力，组织了一次模拟考试，成绩(X)服从正态分布(N(85,100))（单位：分）。（1）求(P(75\leqX\leq95))；（2）若学校计划选拔成绩前10%的学生参加竞赛，求竞赛资格线的分数（精确到整数，参考数据：(\Phi(1.28)\approx0.9)，其中(\Phi(x))为标准正态分布的分布函数）。（本小题满分12分）某快递公司统计了近一年的快递延误情况，发现一件快递延误的概率为0.02，且各快递延误相互独立。该公司每天处理500件快递，记延误的快递数量为(Y)。（1）用二项分布近似计算(P(Y\leq2))；（2）利用泊松定理近似计算(P(Y\leq2))（已知(\lambda=np)，(P(Y=k)\approx\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!})，(e^{-10}\approx4.54\times10^{-5})）。（本小题满分12分）某农场种植两种水稻品种：A品种和B品种。根据往年数据，A品种的亩产量（单位：kg）服从(N(500,2500))，B品种的亩产量服从(N(550,4900))。（1）若种植A品种，求亩产量超过550kg的概率；（2）若农场有100亩地，计划全部种植一种品种，若A品种单价为3元/kg，B品种单价为2.8元/kg，从期望收益角度判断应选择哪种品种？（本小题满分12分）某在线教育平台推出“打卡返现”活动：用户购买199元课程后，需连续打卡30天，每天打卡成功可获得10积分，累计积分可兑换返现。规则如下：连续打卡第1~10天：每天返现5元（需50积分）；连续打卡第11~20天：每天返现10元（需100积分）；连续打卡第21~30天：每天返现15元（需150积分）。已知用户每天打卡成功的概率为0.8，且各天打卡相互独立，若中途断签则积分清零。设用户最终获得的返现金额为(Z)，求(Z)的数学期望（精确到整数）。参考答案及评分标准（仅为辅助说明，实际试卷中无需呈现）一、选择题C（解析：(E(X)=10\times0.2+20\times0.3+30\times0.4+40\times0.1=25)）B（解析：(\mu=50)，(\sigma=2)，([46,54]=[\mu-2\sigma,\mu+2\sigma])，概率约为0.9545）A（解析：超几何分布(P(Y=k)=\frac{\binom{M}{k}\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}})，其中(N=50)，(M=20)，(n=3)，(k=2)）A（解析：二项分布(E(Z)=np=3\times0.8=2.4)，(D(Z)=np(1-p)=3\times0.8\times0.2=0.48)）D（解析：对立事件“抽到2道都不会”的概率为(\frac{\binom{2}{2}}{\binom{5}{2}}=\frac{1}{10})，故至少1道会做的概率为(1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10})）A（解析：(W)的可能取值为40（中奖）和-10（未中奖），(E(W)=40\times0.1+(-10)\times0.9=-5)）B（解析：正态分布关于(\mu=100)对称，120分以上与80分以下概率相等，均为5%）B（解析：计算套餐A期望成本(E(A)=50+10\timesE(X-10|X>10))，套餐B期望成本(E(B)=80+5\timesE(X-20|X>20))，经计算(E(A)\approx65)元，(E(B)\approx62.5)元）B（解析：由分布列性质(\sumP(X=k)=1)，即(c\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)=1)，解得(c=\frac{4}{3}\times\frac{1}{2}=\frac{2}{3})）C（解析：组中值分别为85,95,105,115,125,135,145，加权平均得(85\times0.05+95\times0.125+\dots+145\times0.025\approx115)）B（解析：全概率公式(P(\text{合格})=0.6\times0.95+0.4\times0.9=0.93)）C（解析：区间[1,100]二分法最多需7次（(2^6=64<100<128=2^7)），期望次数约为7）二、填空题2.3（解析：(E(X)=1.5\times0.3+2.5\times0.5+3.5\times0.2=2.3)）10，0.3（解析：(E(X)=np=3)，(D(X)=np(1-p)=2.1)，解得(n=10)，(p=0.3)）1（解析：单个被保险人期望收益(1000-50000\times0.005=750>0)，故1人即可）1（解析：(E(\text{收益})=(20-10)\times0.1+(10-10)\times0.3+(5-10)\times0.6=1)）三、解答题（要点）（1）(X)可能取值为10（A+A）、15（A+B或B+A）、20（B+B），分布列为：|(X)|10|15|20||--------|----|----|----||(P)|0.36|0.48|0.16|（2）(E(X)=10\times0.36+15\times0.48+20\times0.16=14)（1）(P(X>1000)=e^{-0.001\times1000}=e^{-1}\approx0.3679)（2）(P(X<500)=1-e^{-0.5}\approx0.3935)，期望利润(100\times(1-0.3935)-20\times0.3935\approx52.39)元（1）(P(75\leqX\leq95)=\Phi\left(\frac{95-85}{10}\right)-\Phi\left(\frac{75-85}{10}\right)=2\Phi(1)-1\approx0.6827)（2）设资格线为(x)，则(P(X\geqx)=0.1)，(x=85+10\times1.28\approx98)分（1）二项分布(P(Y\leq2)=P(0)+P(1)+P(2)\approx0.000045+0.00045+0.00227\approx0.00277)（2）泊松分布(\lambda=500\times0.02=10)，(