2025年下学期高中数学前瞻性评估试卷

2025年下学期高中数学前瞻性评估试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）已知集合A={x|log₂(x-1)≤2}，B={x|x²-4x+3≤0}，则A∩B=（）A.[1,3]B.(1,3]C.[2,4]D.(1,4]复数z满足z·(1+i)=2i（i为虚数单位），则|z|=（）A.1B.√2C.2D.2√2某病毒传播模型显示，在无干预情况下，感染人数N(t)满足N(t)=N₀e^(kt)，其中t为天数，N₀为初始感染人数，k为传播系数。若经过3天感染人数翻倍，则k=（）A.ln2/3B.ln3/2C.3ln2D.2ln3已知向量a=(1,2)，b=(m,1)，且a⊥(a-b)，则m=（）A.3B.5C.7D.9某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为（）A.12πB.16πC.20πD.24π函数f(x)=x³-3x²+2的单调递减区间是（）A.(-∞,0)B.(0,2)C.(2,+∞)D.(-∞,0)∪(2,+∞)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若a=2，b=3，cosC=1/3，则c=（）A.√3B.√7C.√10D.√13已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π/2)的部分图像如图所示，则f(x)=（）A.sin(2x+π/3)B.sin(2x-π/3)C.sin(x+π/6)D.sin(x-π/6)某电商平台根据用户消费数据，建立商品推荐模型。已知某用户对A类商品的点击概率为0.6，对B类商品的点击概率为0.4，且对两类商品的点击相互独立。若向该用户推荐3个A类商品和2个B类商品，则用户至少点击一个商品的概率为（）A.0.952B.0.968C.0.974D.0.982已知双曲线C:x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)的离心率为√3，且过点(2,√3)，则双曲线C的标准方程为（）A.x²/3-y²/6=1B.x²/2-y²/4=1C.x²/1-y²/2=1D.x²/4-y²/8=1已知函数f(x)=|lnx|，若存在x₁<x₂<x₃，使得f(x₁)=f(x₂)=f(x₃)，则x₁x₂x₃的取值范围是（）A.(0,1)B.(1,e)C.(e,e²)D.(e²,+∞)古希腊数学家阿基米德在《论螺线》中研究了“阿基米德螺线”。在极坐标系中，该螺线的方程为ρ=θ（θ≥0）。若以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，则该螺线在θ=π/2处的切线方程为（）A.2x+πy=π²/4B.2x-πy=π²/4C.πx+2y=π²/2D.πx-2y=π²/2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）若tanα=2，则sin2α=______。某工厂生产A、B两种产品，已知生产1件A产品需消耗甲材料3kg、乙材料2kg，生产1件B产品需消耗甲材料1kg、乙材料3kg。现有甲材料120kg、乙材料100kg，则该工厂可生产的两种产品总件数的最大值为______。在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC=2，∠BAC=120°，PA=3，则该三棱锥外接球的表面积为______。已知数列{aₙ}满足a₁=1，aₙ₊₁=2aₙ+2ⁿ（n∈N*），则数列{aₙ}的通项公式为aₙ=______。三、解答题（本大题共6小题，共70分）（10分）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且2bcosA=ccosA+acosC。（1）求角A的大小；（2）若a=√3，△ABC的面积为3√3/4，求b+c的值。（12分）某学校为了解学生的体育锻炼情况，随机抽取了100名学生进行调查，得到如下列联表：性别经常锻炼不经常锻炼合计男351550女252550合计6040100（1）根据列联表，判断是否有95%的把握认为“性别与体育锻炼情况有关”；（2）从经常锻炼的学生中按性别分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加体育知识竞赛，求至少有1名女生的概率。参考公式：K²=n(ad-bc)²/[(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]，其中n=a+b+c+d。参考数据：P(K²≥k₀)0.100.050.01k₀2.7063.8416.635（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AB=2，AD=4，PA=4，E为PD的中点。（1）求证：AE⊥平面PCD；（2）求二面角E-AC-D的余弦值。（12分）已知椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的离心率为√2/2，且过点(1,√2/2)。（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P(0,1)的直线l与椭圆C交于A,B两点，若以AB为直径的圆过原点O，求直线l的方程。（12分）已知函数f(x)=xlnx-ax²+(2a-1)x（a∈R）。（1）当a=1时，求函数f(x)的极值；（2）若函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递减，求a的取值范围。（12分）某科技公司研发了一款新型节能设备，每台设备的生产成本为2000元，售价为3000元。为推广该设备，公司决定对购买量超过10台的客户给予优惠，每多购买1台，单价降低50元，但单价不低于2500元。（1）写出客户购买x台设备时，公司的利润y（元）与x（台）之间的函数关系式；（2）客户购买多少台设备时，公司可获得最大利润？最大利润是多少？四、附加题（本大题共2小题，共20分，选考内容）（10分）在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为{x=1+tcosα,y=tsinα（t为参数，α为直线l的倾斜角）。（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于A,B两点，若|AB|=2√3，求α的值。（10分）已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|。（1）求不等式f(x)≤5的解集；（2）若关于x的不等式f(x)≥a²-2a对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围。本试卷严格依据2025年高中数学课程标准命制，全面考查基础知识与核心素养，体现以下特色：情境化命题：融入病毒传播模型、节能设备销售等真实情境，考查数学建模能力。如第3题病毒传播、第22题设备销售问题，要求学生从实际问题中抽象数学关系。反套路设计：避免机械刷题模式，注重思维灵活性。如第11题函数零点问题需结合对数性质与不等式放缩，第12题阿基米德螺线切线问题考查知识迁移能力。核心素养导向：六大数学核心素养全覆盖。逻辑推理（如立体几何证明）、数学运算（如导数应用）、数学建模（如概率统计问题）等能力在各题型中均有体现。跨学科融合：如病毒传播模型（生物+数学）、