2025年下学期高中数学前瞻性试卷

2025年下学期高中数学前瞻性试卷一、选择题（本大题共10小题，满分50分。第1-8题为单选题，每题5分；第9-10题为多选题，每题5分，全部选对得5分，部分选对得3分，错选或不选得0分）1.已知集合(A={x|\log_2(x-1)\leq2})，(B={x|x^2-4x+3\leq0})，则(A\capB=)（）A.([1,3])B.((1,3])C.([2,5])D.((1,5])2.复数(z=\frac{2+i}{1-i})（(i)为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.函数(f(x)=e^{-x}(100-50x)+25)（(x\geq0)）的单调递减区间为（）A.([0,1))B.([1,+\infty))C.([0,2))D.([2,+\infty))4.某芯片散热效率模型显示，温度函数(T(t)=e^{-0.5t}(100-50t)+25)（(t)为时间，单位：小时），则该芯片在工作过程中的最低温度为（）A.25℃B.50℃C.75℃D.100℃5.在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所对的边分别为(a,b,c)，若(a=2)，(b=3)，(\cosC=-\frac{1}{4})，则(c=)（）A.4B.5C.6D.76.已知数列({a_n})满足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+3)，则(a_5=)（）A.31B.63C.127D.2557.某校园共享单车调度中心统计，每日需求量(x)（单位：辆）与投放量(y)（单位：辆）满足线性规划约束条件(\begin{cases}x+y\leq100\2x-y\geq20\x\geq0,y\geq0\end{cases})，目标函数为(z=2x+3y)，则(z)的最大值为（）A.180B.200C.240D.2608.球(O)的半径为(R)，其内接正四面体的棱长为(a)，则(R)与(a)的关系为（）A.(R=\frac{\sqrt{3}}{4}a)B.(R=\frac{\sqrt{6}}{4}a)C.(R=\frac{\sqrt{3}}{3}a)D.(R=\frac{\sqrt{6}}{3}a)9.下列关于函数(f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3}))的说法正确的有（）A.最小正周期为(\pi)B.图像关于点((\frac{\pi}{12},0))对称C.当(x\in[-\frac{\pi}{12},\frac{5\pi}{12}])时，函数单调递增D.将(y=\sin2x)的图像向左平移(\frac{\pi}{6})个单位可得到(f(x))的图像10.2025年“东数西算”工程中，某数据中心服务器的散热能耗(E)（单位：千瓦时）与工作温度(t)（单位：℃）的关系满足(E(t)=t^3-6t^2+15t+20)（(t\in[0,5])），则下列结论正确的有（）A.(E(t))在(t=1)处取得极小值B.(E(t))在(t=3)处取得极大值C.(E(t))的最大值为45D.(E(t))的最小值为30二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分。第14题为两空题，第一空3分，第二空2分）11.已知向量(\vec{a}=(2,1))，(\vec{b}=(m,-1))，若(\vec{a}\perp\vec{b})，则(m=)________。12.某地区2025年1月至6月的降雨量（单位：mm）分别为50,60,70,80,90,100，其方差为________。13.抛物线(y^2=4x)的焦点为(F)，过(F)的直线与抛物线交于(A,B)两点，若(|AB|=8)，则线段(AB)的中点到(y)轴的距离为________。14.在分形几何中，一个等边三角形的边长为1，每次将每条边三等分，以中间一段为边向外作等边三角形，得到新的图形（如图所示）。第1次操作后图形的周长为________；第(n)次操作后图形的周长为________。三、解答题（本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题满分12分）在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所对的边分别为(a,b,c)，已知(a=2)，(b=3)，(\sinA=\frac{1}{3})。（1）求(\cosB)的值；（2）求(\triangleABC)的面积。16.（本小题满分12分）已知数列({a_n})是等差数列，(a_1=2)，公差(d=2)，数列({b_n})满足(b_n=a_n\cdot2^n)。（1）求数列({a_n})的通项公式；（2）求数列({b_n})的前(n)项和(T_n)；（3）若存在(n\in\mathbb{N}^*)使得(T_n\leq\lambda)成立，求(\lambda)的最小值。17.（本小题满分14分）如图，在三棱锥(P-ABC)中，(PA\perp)平面(ABC)，(AB\perpAC)，(PA=AB=AC=2)，(M)为(BC)的中点。（1）求证：(PM\perpBC)；（2）求二面角(P-BC-A)的余弦值；（3）在线段(PC)上是否存在点(N)，使得(AN\parallel)平面(PBM)？若存在，求出(\frac{PN}{PC})的值；若不存在，说明理由。18.（本小题满分14分）已知椭圆(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的离心率为(\frac{\sqrt{3}}{2})，且过点((2,1))。（1）求椭圆(C)的标准方程；（2）过椭圆(C)的右焦点(F)作直线(l)交椭圆于(A,B)两点，若(\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB})，求直线(l)的方程。19.（本小题满分14分）为研究某新型疫苗的有效性，某医疗团队进行了临床试验，将1000名志愿者随机分为两组，实验组接种疫苗，对照组接种安慰剂。试验结果如下表：感染未感染总计实验组20480500对照组50450500总计709301000（1）根据表中数据，判断是否有99%的把握认为疫苗有效；（2）从感染的志愿者中随机抽取3人，求其中实验组人数(X)的分布列和数学期望。（参考公式：(K^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)})，其中(n=a+b+c+d)）（临界值表：(P(K^2\geq6.635)=0.01)）20.（本小题满分14分）已知函数(f(x)=x\lnx-ax^2+(2a-1)x)（(a\in\mathbb{R})）。（1）当(a=1)时，求函数(f(x))的单调区间；（2）若函数(f(x))在((0,+\infty))上有两个极值点，求(a)的取值范围；（3）证明：对任意(x>1)，(\lnx>\frac{2(x-1)}{x+1})。四、选考题（本大题共2小题，每题14分，考生任选一题作答，若两题均答，按第一题计分）21.[选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，曲线(C)的极坐标方程为(\rho=4\cos\theta)，以极点为原点，极轴为(x)轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线(l)的参数方程为(\begin{cases}x=1+t\cos\alpha\y=t\sin\alpha\end{cases})（(t)为参数，(\alpha\in[0,\pi))）。（1）求曲线(C)的直角坐标方程和直线(l)的普通方程；（2）若直线(l)与曲线(C