2025年下学期高中数学潜力发展测评试卷

2025年下学期高中数学潜力发展测评试卷一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分）已知集合(A={x\mid\log_2(x-1)<2})，(B={x\midx^2-4x+3\leq0})，则(A\capB=)（）A.([1,3])B.((1,3])C.([2,5))D.((1,5))函数(f(x)=\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right))在区间([0,\pi])上的单调递增区间是（）A.(\left[0,\frac{5\pi}{12}\right])B.(\left[\frac{5\pi}{12},\frac{11\pi}{12}\right])C.(\left[\frac{11\pi}{12},\pi\right])D.(\left[0,\frac{\pi}{6}\right]\cup\left[\frac{2\pi}{3},\pi\right])某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为（）（注：三视图描述为：正视图和侧视图均为直角三角形，俯视图为边长为2的正方形）A.(\frac{4}{3})B.(\frac{8}{3})C.4D.8在等比数列({a_n})中，(a_1=2)，前(n)项和为(S_n)，若(S_3=14)，则公比(q=)（）A.2B.-3C.2或-3D.-2或3已知向量(\vec{a}=(m,2))，(\vec{b}=(1,m+1))，若(\vec{a}\perp\vec{b})，则实数(m=)（）A.(-\frac{2}{3})B.(\frac{2}{3})C.-2D.2若抛物线(y^2=2px(p>0))的焦点与双曲线(\frac{x^2}{3}-y^2=1)的右焦点重合，则(p=)（）A.2B.4C.(\sqrt{2})D.(2\sqrt{2})为庆祝校庆，某校安排6名学生参加演讲比赛，其中高一年级2人、高二年级2人、高三年级2人，若要求同年级学生不相邻，则不同的排法种数为（）A.48B.72C.96D.120已知函数(f(x)=\begin{cases}x^2-2x,&x\leq0,\\ln(x+1),&x>0,\end{cases})若(f(a)=f(b)=f(c))，且(a<b<c)，则(a+b+c)的取值范围是（）A.((-1,2))B.((-1,1+e))C.((2,1+e))D.((1,1+e))二、多选题（本大题共2小题，每题6分，共12分。全部选对得6分，部分选对得3分，错选或不选得0分）下列说法正确的是（）A.命题“(\forallx\in\mathbf{R},x^2>0)”的否定是“(\existsx\in\mathbf{R},x^2\leq0)”B.若(a>b)，则(ac^2>bc^2)C.函数(y=\frac{x^2+3}{\sqrt{x^2+2}})的最小值为2D.若随机变量(X\simN(1,\sigma^2))，且(P(X<0)=0.2)，则(P(1<X<2)=0.3)已知圆(C:(x-2)^2+(y-1)^2=4)，直线(l:kx-y+1-2k=0)，则下列结论正确的是（）A.直线(l)恒过定点((2,1))B.圆(C)被直线(l)截得的弦长的最小值为(2\sqrt{3})C.若(k=1)，则圆(C)与直线(l)相交D.若(k=\frac{3}{4})，则直线(l)与圆(C)相切三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）复数(z=\frac{2-i}{1+i})的共轭复数(\overline{z}=)________。曲线(y=x^3-3x^2+2)在点((1,0))处的切线方程为________。已知(\triangleABC)中，角(A,B,C)所对的边分别为(a,b,c)，若(a=2)，(b=3)，(\cosC=\frac{1}{3})，则(c=)________。某公司为了解员工对新制度的满意度，随机抽取100名员工进行调查，得到如下列联表：满意度青年员工中年员工满意4020不满意1030则在犯错误的概率不超过________的前提下，可以认为“员工满意度与年龄有关”。（参考公式：(K^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)})，其中(n=a+b+c+d)；临界值：(P(K^2\geq3.841)=0.05)，(P(K^2\geq6.635)=0.01)）四、解答题（本大题共6小题，共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（本小题满分12分）已知数列({a_n})是等差数列，且(a_2=5)，(a_5=14)。（1）求数列({a_n})的通项公式；（2）设(b_n=2^{a_n})，求数列({b_n})的前(n)项和(T_n)。（本小题满分13分）在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所对的边分别为(a,b,c)，且(2\sinA\cosB=\sinC)。（1）证明：(A=B)；（2）若(c=3)，(\cosC=\frac{3}{5})，求(\triangleABC)的面积。（本小题满分13分）如图，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(D)为(BC)的中点。（1）求证：(A_1B\parallel)平面(ADC_1)；（2）求二面角(A-DC_1-C)的余弦值。（本小题满分14分）为响应“绿色出行”号召，某城市推行共享单车服务。某公司为研究单车使用时长与费用的关系，随机抽取100名用户，得到如下数据：使用时长（分钟）[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60]人数1020302515（1）求这100名用户使用时长的平均数（同一组数据用该组区间的中点值代替）；（2）若该公司规定：使用时长不超过30分钟收费2元，超过30分钟的部分按每分钟0.1元收费（不足1分钟按1分钟计算）。以频率估计概率，求某用户一次使用费用超过3元的概率。（本小题满分14分）已知椭圆(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的离心率为(\frac{\sqrt{3}}{2})，且过点((2,1))。（1）求椭圆(C)的标准方程；（2）设直线(l:y=kx+m)与椭圆(C)交于(A,B)两点，(O)为坐标原点，若(OA\perpOB)，求证：