2025年下学期高中数学潜力挖掘试卷

2025年下学期高中数学潜力挖掘试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）已知集合(A={x|x^2-3x+2\leq0})，(B={x|\log_2(x-1)\leq1})，则(A\capB=)（）A.([1,2])B.((1,2])C.([2,3])D.((1,3])函数(f(x)=\frac{\sqrt{4-x^2}}{\ln(x+1)})的定义域是（）A.((-1,2])B.([-2,2])C.((-1,0)\cup(0,2])D.((-1,1)\cup(1,2])已知命题(p:\existsx_0\in\mathbb{R},x_0^2+2x_0+3\leq0)，则(\negp)是（）A.(\forallx\in\mathbb{R},x^2+2x+3>0)B.(\forallx\in\mathbb{R},x^2+2x+3\leq0)C.(\existsx_0\in\mathbb{R},x_0^2+2x_0+3>0)D.(\existsx_0\in\mathbb{R},x_0^2+2x_0+3\geq0)函数(f(x)=x^3-3x^2+2)在区间([-1,3])上的最大值是（）A.2B.0C.-4D.-6已知向量(\vec{a}=(2,m))，(\vec{b}=(1,-2))，若(\vec{a}\perp(\vec{a}-2\vec{b}))，则(m=)（）A.2B.-2C.±2D.4已知等差数列({a_n})的前(n)项和为(S_n)，若(a_3+a_7=10)，则(S_9=)（）A.45B.50C.90D.100函数(f(x)=\sin(2x-\frac{\pi}{3}))的图象向左平移(\frac{\pi}{6})个单位后，所得图象对应的函数解析式是（）A.(y=\sin2x)B.(y=\cos2x)C.(y=\sin(2x+\frac{\pi}{6}))D.(y=\sin(2x-\frac{\pi}{6}))已知直线(l:ax+by-1=0)与圆(C:x^2+y^2-2x-4y+1=0)相切，且(a,b>0)，则(\frac{1}{a}+\frac{2}{b})的最小值是（）A.4B.(4+2\sqrt{2})C.8D.(8+4\sqrt{2})某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A.(12\pi)B.(18\pi)C.(24\pi)D.(36\pi)（注：此处应配三视图，暂以文字描述：俯视图为半径3的圆，主视图和侧视图为高4的等腰三角形）在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所对的边分别为(a,b,c)，若(a=2)，(b=3)，(\cosC=\frac{1}{3})，则(c=)（）A.(\sqrt{3})B.(\sqrt{7})C.3D.4已知双曲线(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0))的离心率为(\sqrt{3})，且过点((2,\sqrt{6}))，则双曲线的标准方程是（）A.(\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{4}=1)B.(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1)C.(\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{6}=1)D.(\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{3}=1)已知函数(f(x)=\begin{cases}x^2-2x,&x\leq0,\\ln(x+1),&x>0,\end{cases})若(f(a)=f(b)=f(c))，且(a<b<c)，则(a+b+c)的取值范围是（）A.((-1,2))B.((-1,1+e))C.((2,1+e))D.((2,+\infty))二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）若((1-2x)^5=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_5x^5)，则(a_1+a_3+a_5=)__________．已知(\alpha\in(0,\frac{\pi}{2}))，(\tan\alpha=2)，则(\sin(2\alpha+\frac{\pi}{4})=)__________．某公司为了解员工对新制度的满意度，随机抽取了100名员工进行调查，得到如下列联表：|满意|不满意|总计||---|---|---||男|40|10|50||女|30|20|50||总计|70|30|100|则(\chi^2)的观测值为__________（精确到0.01）．已知球(O)的表面积为(16\pi)，三棱锥(P-ABC)的四个顶点都在球(O)上，且(PA\perp)平面(ABC)，(PA=2)，(AB=BC=AC=2\sqrt{3})，则球心(O)到平面(ABC)的距离为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分）（10分）已知数列({a_n})满足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+1)．（1）证明：数列({a_n+1})是等比数列；（2）求数列({a_n})的前(n)项和(S_n)．（12分）在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所对的边分别为(a,b,c)，且(2\cosA(b\cosC+c\cosB)=a)．（1）求角(A)的大小；（2）若(a=\sqrt{7})，(b+c=4)，求(\triangleABC)的面积．（12分）如图，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(D,E)分别是(BC,B_1C_1)的中点．（1）求证：(DE\parallel)平面(ABB_1A_1)；（2）求三棱锥(A_1-ADE)的体积．（12分）已知函数(f(x)=x^3-3ax^2+3x+1)．（1）若(a=1)，求函数(f(x))的单调区间；（2）若函数(f(x))在区间((2,+\infty))上是增函数，求实数(a)的取值范围．（12分）已知椭圆(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的离心率为(\frac{\sqrt{3}}{2})，且过点((2,1))．（1）求椭圆(C)的标准方程；（2）设直线(l:y=kx+m)与椭圆(C)交于(A,B)两点，(O)为坐标原点，若(k_{OA}\cdotk_{OB}=-\frac{1}{4})，求证：(\triangleAOB)的面积为定值．（12分）为了提高学生的数学应用能力，某学校开展“数学建模”活动，需购买(A,B)两种型号的计算器．已知购买1台(A)型计算器和2台(B)型计算器共需120元，购买2台(A)型计算器和3台(B)型计算器共需200元．（1）求(A,B)两种型号计算器的单价；（2）学校准备购买这两种型号的计算器共100台，要求(A)型计算器的数量不少于(B)型计算器数量的(\frac{1}{3})，且购买总费用不超过3200元，问有多少种购买方案？哪种方案最省钱？参考答案及评分标准（部分）一、选择题B2.C3.A4.A5.C6.A7.A8.C9.B10.D11.A12.C二、填空题-12114.(\frac{7\sqrt{2}}{10})15.4.7616.1三、解答题（1）证明：由(a_{n+1}=2a_n+1)，得(a_{n+1}+1=2(a_n+1))，又(a_1+1=2)，故数列({a_n+1})是以2为首项，2为公比的等比数列．（2）解：由（1）知(a_n+1=2^n)，则(a_n=2^n-1)，故(S_n=(2^1+2^2+\cdots+2^n)-n=2^{n+1}-n-2)．（1）解：由正弦定理得(2\cosA(\sinB\cosC+\sinC\cosB)=\sinA)，即(2\cosA\sinA=\sinA)，又(\sinA\neq0)，故(\cosA=\frac{1}{2})，(A=\frac{\pi}{3})．（2）解：由余弦定理得(a^2=b^2+c^2-2bc\cosA)，即(7=(b+c)^2-3bc)，又(b+c=4)，解得(bc=3)，故(S_{\triangleABC}=\frac{1}