2025年下学期高中数学水下技术试卷

2025年下学期高中数学水下技术试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）水下声呐定位问题某潜水器在海平面下100米处发出声呐信号，信号经海底反射后返回潜水器，已知声波在海水中的传播速度为1500米/秒，从发射到接收信号的总时间为0.2秒，则海底与海平面的距离为（）A.50米B.150米C.200米D.250米潜水轨迹的函数模型潜水员从水面开始下潜，深度(h(t))（单位：米）与时间(t)（单位：秒）的关系满足(h(t)=t^2-10t)（(t\in[0,10])），则潜水员在(t=3)秒时的下潜速度为（）A.-4米/秒B.4米/秒C.-6米/秒D.6米/秒水下管道的几何计算某水下输油管道的横截面为圆形，直径为2米，管道内原油流速为1米/秒，则1小时内通过管道的原油体积为（）A.(3600\pi)立方米B.(1800\pi)立方米C.(900\pi)立方米D.(600\pi)立方米潜水器浮力与密度的关系已知海水密度随深度增加而线性增大，深度(d)（单位：米）处的密度(\rho(d)=1.025+0.001d)（单位：吨/立方米），潜水器体积为50立方米，则其在深度200米处受到的浮力为（）A.51.25吨B.102.5吨C.153.75吨D.205吨水下光源的照度分布水下点光源的照度(E)与距离(r)的平方成反比，与光线入射角(\theta)的余弦成正比，即(E=\frac{k\cos\theta}{r^2})（(k)为常数）。若光源在水深5米处，某点在光源正下方12米处，则该点的照度为（）A.(\frac{k}{169})B.(\frac{5k}{169})C.(\frac{12k}{169})D.(\frac{13k}{169})潜水运动的三角函数模型波浪引起的潜水器垂直位移(y(t)=A\sin(\omegat+\varphi))，已知周期为10秒，振幅为0.5米，当(t=0)时位移为0.5米，则(\varphi=)（）A.0B.(\frac{\pi}{2})C.(\pi)D.(\frac{3\pi}{2})水下声呐的信号衰减声呐信号强度(I)随传播距离(x)（单位：千米）衰减满足(I(x)=I_0e^{-0.2x})，当信号强度衰减为初始值的(\frac{1}{e})时，传播距离为（）A.0.2千米B.0.5千米C.2千米D.5千米海底地形的线性规划问题某海底区域的海拔高度(z=2x-3y+5)（单位：米，(x,y)为平面坐标），若潜水器需在(x\geq0)，(y\geq0)，(x+y\leq10)区域内作业，则该区域的最低海拔为（）A.-25米B.-15米C.5米D.25米水下传感器的概率误差某深度传感器的测量误差(\xi)服从正态分布(N(0,0.01))，则测量值落在([-0.2,0.2])内的概率约为（）A.0.6827B.0.9545C.0.9973D.0.9999潜水器推进系统的功率计算潜水器在水中匀速前进时，阻力(F=kv^2)（(k=0.5)），速度(v=2)米/秒，则推进系统的输出功率为（）A.2瓦B.4瓦C.8瓦D.16瓦水下三角形区域的面积计算海底三点(A(0,0,0))、(B(3,0,0))、(C(0,4,-12))（坐标单位：米），则三角形(ABC)的面积为（）A.15平方米B.20平方米C.25平方米D.30平方米潜水器的最优路径规划潜水器从点((0,0))出发，需到达点((10,0))，水流速度为((0,-1))米/秒，潜水器自身速度为2米/秒，若要使耗时最短，其航行方向与x轴正方向的夹角应为（）A.30°B.45°C.60°D.90°二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）水下物体的平抛运动潜水员在水下10米处以5米/秒的初速度水平抛出一个物体，物体在水中的运动可视为平抛运动，重力加速度取10米/秒²，水的阻力忽略不计，则物体落至水底的水平位移为________米。海水温度的导数应用某海域温度(T(d)=20-0.05d)（(d)为深度，单位：米），则在深度200米处温度随深度的变化率为________℃/米。水下圆柱的侧面积计算某水下探测设备的外壳为圆柱体，底面半径2米，高5米，若外壳表面需涂覆防腐涂层，每平方米涂层重0.5千克，则共需涂层________千克。声呐信号的傅里叶变换某声呐信号的时域函数为(f(t)=\sint+\sin3t)，则其傅里叶级数中频率为1Hz的分量振幅为________。三、解答题（共6小题，共70分）（10分）潜水器下潜的运动学分析潜水器从水面静止开始下潜，其加速度(a(t)=2-0.2t)（单位：米/秒²），(t\in[0,10])。（1）求潜水器在(t=5)秒时的速度；（2）求潜水器在前10秒内的下潜深度。（12分）水下声呐的双曲线定位两个声呐接收站(A)、(B)相距10千米，同步接收到某潜艇的声呐信号，(A)站比(B)站晚2秒收到信号，已知声波在海水中的传播速度为1.5千米/秒。（1）建立坐标系，求潜艇轨迹的方程；（2）若潜艇在直线(y=4)千米上，求其具体位置坐标。（12分）海水密度的积分应用某海域海水密度(\rho(h)=1.02+0.0005h)（(h)为深度，单位：米，(\rho)单位：吨/立方米），一圆柱形沉箱底面半径2米，高5米，竖直放置于海底，顶面与海平面齐平。（1）求沉箱顶面所受的海水压力；（2）求沉箱侧面所受的总压力。（12分）潜水器的能量消耗模型潜水器的能量消耗率(P(v)=0.1v^3+2v)（单位：千瓦，(v)为速度，单位：米/秒），若要完成1000米的直线航行任务，（1）求能耗(E(v))关于速度(v)的函数表达式；（2）求最小能耗对应的航行速度。（12分）水下光的折射问题光线从空气（折射率(n_1=1)）以入射角(60°)射入海水（折射率(n_2=1.33)），（1）求折射角的正弦值；（2）若光线在海水中传播10米后到达某物体，求该物体与入射点的水平距离。（12分）海底地形的多元函数分析某区域海底地形的高度函数为(z=x^2+y^2-2x-4y+5)（单位：米），（1）求该地形的最低点坐标；（2）若潜水器沿方向向量(\vec{l}=(1,1))从点((1,2))出发，求地形高度在该方向上的变化率。三、附加题（共2小题，每小题10分，共20分，不计入总分）水下机器人的路径优化机器人需从点((0,0,0))到达点((10,10,-20))，受到水流速度场(\vec{v}=(y,-x,0))的影响，机器人自身速度大小为5米/秒，建立数学模型并说明如何规划路径使总耗时最短。声呐阵列的信号处理由3个声呐传感器组成的等边三角形阵列，边长为100米，若某目标发出的信