2025年上学期高二数学逻辑用语及不等式试题

2025年上学期高二数学逻辑用语及不等式试题一、单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）已知命题(p:\forallx\in\mathbf{R},x^2+1>0)，则(\negp)为（）A.(\existsx\in\mathbf{R},x^2+1\leq0)B.(\forallx\in\mathbf{R},x^2+1\leq0)C.(\existsx\in\mathbf{R},x^2+1<0)D.(\forallx\in\mathbf{R},x^2+1<0)“(x>2)”是“(x^2-3x+2>0)”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件若不等式(ax^2+bx+2>0)的解集为(\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{3}\right))，则(a+b)的值为（）A.(-10)B.(-14)C.(10)D.(14)已知命题(p:)“若(x^2-3x+2=0)，则(x=1)”，命题(q:)“(\existsx\in\mathbf{R},x^2+x+1<0)”，则下列命题为真命题的是（）A.(p\landq)B.(p\lorq)C.(\negp\landq)D.(\negp\lorq)不等式(\frac{x-1}{x+2}\leq0)的解集为（）A.([-2,1])B.((-2,1])C.((-\infty,-2)\cup[1,+\infty))D.((-\infty,-2]\cup[1,+\infty))设(p:)函数(f(x)=\lg(ax^2-x+a))的定义域为(\mathbf{R})，(q:)不等式(\sqrt{2x+1}<1+ax)对一切正实数(x)恒成立，则“(p\landq)”为真命题时，实数(a)的取值范围是（）A.((\frac{1}{2},+\infty))B.([1,+\infty))C.((-\infty,\frac{1}{2}])D.((\frac{1}{2},1])若关于(x)的不等式(x^2-4x-m\geq0)对任意(x\in[0,1])恒成立，则实数(m)的最大值为（）A.(-3)B.(-4)C.(0)D.(1)已知集合(A={x|x^2-5x+6\leq0})，(B={x||x-a|<1})，若(A\capB=\varnothing)，则实数(a)的取值范围是（）A.((-\infty,2]\cup[5,+\infty))B.((-\infty,1]\cup[6,+\infty))C.([1,6])D.([2,5])命题“对任意(x\in[1,2])，(x^2-a\leq0)”为真命题的一个充分不必要条件是（）A.(a\geq4)B.(a\leq4)C.(a\geq5)D.(a\leq5)若关于(x)的不等式(x^2-(m+1)x+m<0)的解集为((1,m))，则实数(m)的取值范围是（）A.(m>1)B.(m<1)C.(m>0)D.(m<0)设(a>0)，(b>0)，若(a+b=1)，则(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})的最小值为（）A.(2)B.(4)C.(6)D.(8)已知命题(p:\existsx\in\mathbf{R},x^2+2ax+a\leq0)，若命题(p)是假命题，则实数(a)的取值范围是（）A.((0,1))B.((-\infty,0)\cup(1,+\infty))C.([0,1])D.((-\infty,0]\cup[1,+\infty))二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）不等式(|2x-1|<3)的解集为__________。若“(x>a)”是“(x>2)”的必要不充分条件，则实数(a)的取值范围是__________。已知(x>0)，(y>0)，且(2x+y=4)，则(xy)的最大值为__________。给出下列四个命题：①命题“若(x\neq1)，则(x^2-3x+2\neq0)”的逆否命题是真命题；②若(p\lorq)为真命题，则(p\landq)为真命题；③若(p:\forallx\in\mathbf{R},x^2+x+1>0)，则(\negp:\existsx\in\mathbf{R},x^2+x+1\leq0)；④“(a>b)”是“(ac^2>bc^2)”的充分不必要条件。其中真命题的序号是__________。（写出所有真命题的序号）三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（10分）已知命题(p:)不等式(|x-1|>m-1)的解集为(\mathbf{R})，命题(q:f(x)=-(5-2m)^x)是减函数。若(p\lorq)为真命题，(p\landq)为假命题，求实数(m)的取值范围。（12分）解关于(x)的不等式：(ax^2-(a+1)x+1<0)，其中(a\in\mathbf{R})。（12分）已知集合(A={x|x^2-3x-10\leq0})，(B={x|m+1\leqx\leq2m-1})。（1）若(A\cupB=A)，求实数(m)的取值范围；（2）若(A\capB=\varnothing)，求实数(m)的取值范围。（12分）某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量(x)（吨）与每吨产品的价格(p)（元/吨）之间的关系为(p=24200-\frac{1}{5}x^2)，且生产(x)吨的成本为(C=50000+200x)元。问：该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入-成本）（12分）已知函数(f(x)=x^2+ax+b)，集合(A={x|f(x)=0})，集合(B={x|f(f(x))=0})。（1）若(A={1,2})，求集合(B)；（2）若(A=\varnothing)，求证：(B=\varnothing)。（12分）已知(a>0)，(b>0)，且(a+b=1)。（1）求证：(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{ab}\geq8)；（2）若对任意的(a,b\in(0,+\infty))，不等式(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{ab}\geq|2x-1|-|x+1|)恒成立，求实数(x)的取值范围。参考答案一、单项选择题AABDBBAACABA二、填空题((-1,2))(a<2)2①③三、解答题解：若(p)为真命题，则(m-1<0)，即(m<1)；若(q)为真命题，则(5-2m>1)，即(m<2)。由(p\lorq)为真，(p\landq)为假，知(p)与(q)一真一假。若(p)真(q)假，则(\begin{cases}m<1\m\geq2\end{cases})，无解；若(p)假(q)真，则(\begin{cases}m\geq1\m<2\end{cases})，即(1\leqm<2)。综上，(m)的取值范围是([1,2))。解：原不等式可化为((ax-1)(x-1)<0)。当(a=0)时，不等式为(-(x-1)<0)，解集为((1,+\infty))；当(a>0)时，方程((ax-1)(x-1)=0)的根为(x_1=\frac{1}{a})，(x_2=1)：若(a=1)，不等式为((x-1)^2<0)，解集为(\varnothing)；若(a>1)，(\frac{1}{a}<1)，解集为(\left(\frac{1}{a},1\right))；若(0<a<1)，(\frac{1}{a}>1)，解集为(\left(1,\frac{1}{a}\right))；当(a<0)时，(\frac{1}{a}<1)，不等式解集为((-\infty,\frac{1}{a})\cup(1,+\infty))。解：(A=[-2,5])。（1）(A\cupB=A\LeftrightarrowB\subseteqA)：若(B=\varnothing)，则(m+1>2m-1)，即(m<2)；若(B\neq\varnothing)，则(\begin{cases}m+1\leq2m-1\m+1\geq-2\2m-1\leq5\end{cases})，解得(2\leqm\leq3)。综上，(m\leq3)。（2）(A\capB=\varnothing)：若(B=\varnothing)，则(m<2)；若(B\neq\varnothing)，则(2m-1<-2)或(m+1>5)，解得(m>4)。综上，(m<2)或(m>4)。解：利润(L=x\cdotp-C=x\left(24200-\frac{1}{5}x^2\right)-(50000+200x)=-\frac{1}{5}x^3+24000x-50000)。求导得(L'=-\frac{3}{5}x^2+24000)，令(L'=0)，解得(x=200)（吨）。当(x=200)时，(L_{\text{max}}=3150000)元。（1）解：由(A={1,2})，得(f(x)=(x-1)(x-2)=x^2-3x+2)。则(f(f(x))=(f(x)-1)(f(x)-2)=0)，解得(f(x)=1)或(f(x)=2)。即(x^2-3x+2=1)或(x^2-3x+2=2)，解得(x=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2})或(x=0)或(x=3)。故(B=\left{0,3,\frac{3+\sqrt{5}}{2},\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right})。（2）证明：若(A=\varnothing)，则(f(x)>0)对(\forallx\in\mathbf{R})恒成立，故(f(f(x))>0)，即(B=\varnothing)。（1）证明：(\frac{1}{a