2025年下学期高中数学王元试卷

2025年下学期高中数学王元试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）已知集合(A={x|x^2-3x+2<0})，(B={x|\log_2(x-1)\leq1})，则(A\capB=)（）A.((1,2))B.((1,3])C.((2,3])D.([2,3])复数(z=\frac{2+i}{1-i})（(i)为虚数单位）的共轭复数(\overline{z})在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限已知向量(\vec{a}=(2,m))，(\vec{b}=(m,8))，若(\vec{a}\parallel\vec{b})，则实数(m=)（）A.-4B.4C.±4D.16函数(f(x)=\frac{\sinx\cdot\cosx}{1+\sinx+\cosx})的定义域为（）A.({x|x\neq2k\pi-\frac{\pi}{2},k\in\mathbb{Z}})B.({x|x\neq2k\pi-\pi,k\in\mathbb{Z}})C.({x|x\neq2k\pi-\frac{\pi}{2})且(x\neq2k\pi-\pi,k\in\mathbb{Z}})D.(\mathbb{R})已知(\alpha\in(0,\frac{\pi}{2}))，(\tan\alpha=2)，则(\sin2\alpha+\cos^2\alpha=)（）A.(\frac{3}{5})B.(\frac{4}{5})C.1D.(\frac{6}{5})某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为（）（注：此处假设三视图为一个底面半径为1、高为3的圆柱挖去一个同底等高的圆锥）A.(\pi,\text{cm}^3)B.(2\pi,\text{cm}^3)C.(3\pi,\text{cm}^3)D.(4\pi,\text{cm}^3)已知等比数列({a_n})的前(n)项和为(S_n)，若(S_3=7)，(S_6=63)，则公比(q=)（）A.2B.-2C.3D.-3执行如图所示的程序框图（注：假设框图功能为计算(1+2+4+\dots+2^{n-1})的值），若输入(n=5)，则输出的(S=)（）A.15B.31C.63D.127已知抛物线(y^2=4x)的焦点为(F)，点(P)在抛物线上，且(|PF|=3)，则点(P)的横坐标为（）A.1B.2C.3D.4函数(f(x)=x^3-3x^2+2)在区间([-1,3])上的最大值为（）A.2B.0C.-2D.4在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所对的边分别为(a,b,c)，若(a=2)，(b=3)，(C=60^\circ)，则(c=)（）A.(\sqrt{7})B.(\sqrt{19})C.7D.19已知函数(f(x)=\begin{cases}\log_2x,&x>0,\2^x,&x\leq0,\end{cases})则(f(f(-1))=)（）A.-1B.0C.1D.2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）已知(f(x)=x^3-ax^2+bx+c)在(x=1)处有极值，且(f(1)=0)，则(a+b=)________。若(x,y)满足约束条件(\begin{cases}x+y\geq2,\x-y\leq2,\y\leq2,\end{cases})则(z=x+2y)的最小值为________。已知直线(l:y=kx+1)与圆(C:x^2+y^2-2x-3=0)相交于(A,B)两点，若(|AB|=2\sqrt{3})，则(k=)________。已知数列({a_n})满足(a_1=1)，(a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n})，则其前10项和(S_{10}=)________。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知等差数列({a_n})的前(n)项和为(S_n)，且(a_3=5)，(S_5=25)。（1）求数列({a_n})的通项公式；（2）设(b_n=2^{a_n})，求数列({b_n})的前(n)项和(T_n)。18.（本小题满分12分）在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所对的边分别为(a,b,c)，且(2\cos^2\frac{B}{2}=\sqrt{3}\sinB)。（1）求角(B)的大小；（2）若(b=2)，(a+c=4)，求(\triangleABC)的面积。19.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(D)为(BC)的中点。（1）求证：(A_1B\parallel)平面(ADC_1)；（2）求三棱锥(A_1-ADC_1)的体积。20.（本小题满分12分）已知函数(f(x)=x^3-3x^2+2x+1)。（1）求函数(f(x))的单调区间；（2）求函数(f(x))在区间([0,2])上的最大值和最小值。21.（本小题满分12分）已知椭圆(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的离心率为(\frac{\sqrt{3}}{2})，且过点((2,1))。（1）求椭圆(C)的标准方程；（2）设直线(l:y=kx+m)与椭圆(C)交于(A,B)两点，(O)为坐标原点，若(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0)，求(m^2)的取值范围。22.（本小题满分12分）已知函数(f(x)=e^x-ax-1)（(e)为自然对数的底数，(a\in\mathbb{R})）。（1）讨论函数(f(x))的单调性；（2）若(f(x)\geq0)对任意(x\in\mathbb{R})恒成立，求实数(a)的值；（3）在（2）的条件下，证明：(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{n}>\ln(n+1))（(n\in\mathbb{N}^*)）。参考答案及评分标准（仅供阅卷参考）一、选择题A2.D3.C4.C5.D6.B7.A8.B9.B10.A11.A12.B二、填空题314.215.0或(\pm\frac{\sqrt{3}}{3})16.(\frac{10}{11})三、解答题（1）设等差数列({a_n})的公差为(d)，由(a_3=5)，(S_5=25)，得(\begin{cases}a_1+2d=5,\5a_1+10d=25,\end{cases})解得(a_1=1)，(d=2)，故(a_n=2n-1)。（5分）（2）(b_n=2^{2n-1}=\frac{1}{2}\cdot4^n)，则(T_n=\frac{1}{2}(4+4^2+\dots+4^n)=\frac{2(4^n-1)}{3})。（10分）（1）由(2\cos^2\frac{B}{2}=\sqrt{3}\sinB)，得(1+\cosB=\sqrt{3}\sinB)，即(\sqrt{3}\sinB-\cosB=1)，(2\sin(B-\frac{\pi}{6})=1)，(\sin(B-\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2})。又(B\in(0,\pi))，故(B=\frac{\pi}{3})。（6分）（2）由余弦定理(b^2=a^2+c^2-2ac\cosB)，得(4=(a+c)^2-3ac)，即(4=16-3ac)，解得(ac=4)，故(S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}ac\sinB=\sqrt{3})。（12分）（1）连接(A_1C)交(AC_1)于点(O)，连接(OD)，则(O)为(A_1C)中点，又(D)为(BC)中点，故(OD\parallelA_1B)，又(OD\subset)平面(ADC_1)，(A_1B\not\subset)平面(ADC_1)，因此(A_1B\parallel)平面(ADC_1)。（6分）（2）(V_{A_1-ADC_1}=V_{C_1-ADA_1}=\frac{1}{3}\timesS_{\triangleADA_1}\timesC_1D_1)（此处需结合直三棱柱性质计算，最终结果为(\frac{2}{3})）。（12分）（1）(f'(x)=3x^2-6x+2)，令(f'(x)=0)，得(x=1\pm\frac{\sqrt{3}}{3})。当(x<1-\frac{\sqrt{3}}{3})或(x>1+\frac{\sqrt{3}}{3})时，(f'(x)>0)；当(1-\frac{\sqrt{3}}{3}<x<1+\frac{\sqrt{3}}{3})时，(f'(x)<0)。故单调递增区间为((-\infty,1-\frac{\sqrt{3}}{3}))，((1+\frac{\sqrt{3}}{3},+\infty))，单调递减区间为((1-\frac{\sqrt{3}}{3},1+\frac{\sqrt{3}}{3}))。（6分）（2）在区间([0,2])上，(f(0)=1)，(f(2)=1)，(f(1-\frac{\sqrt{3}}{3})=\frac{2\sqrt{3}}{9}+1)，(f(1+\frac{\sqrt{3}}{3})=-\frac{2\sqrt{3}}{9}+1)，故最大值为(\frac{2\sqrt{3}}{9}+1)，最小值为(-\frac{2\sqrt{3}}{9}+1)。（12分）（1）由离心率(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2})，得(c=\frac{\sqrt{3}}{2}a)，(b^2=a^2-c^2=\frac{a^2}{4})。将点((2,1))代入椭圆方程，得(\frac{4}{a^2}+\frac{1}{\frac{a^2}{4}}=1)，解得(a^2=8)，(b^2=2)，故椭圆方程为(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1)。（6分）（2）联立直线与椭圆方程，得((1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-8=0)，由(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0)，得(x_1x_2+y_1y_2=0)，即((1+k^2)x_1x_2+km(x_1+x_2)+m^2=0)，代入韦达定理化简得(5m^2=8(1+k^2))，故(m^2\geq\frac{8}{5})。（12