2025年上学期高二数学向量在物理中的应用试题

2025年上学期高二数学向量在物理中的应用试题一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）力的合成与分解如图所示，支座A受到两个力F₁和F₂的作用，已知|F₁|=10N，F₁与水平线成60°角，|F₂|=8N，沿水平方向向左。则两个力的合力F的大小为（）A.2√21NB.12NC.√164ND.18N解析：建立直角坐标系，将F₁分解为水平方向F₁ₓ=10cos60°=5N（向右），竖直方向F₁ᵧ=10sin60°=5√3N（向上）；F₂水平向左，大小为8N，故合力水平分量Fₓ=5-8=-3N，竖直分量Fᵧ=5√3N。合力大小|F|=√(Fₓ²+Fᵧ²)=√[(-3)²+(5√3)²]=√(9+75)=√84=2√21N，选A。运动的合成与分解一条河宽8km，船在静水中速度为5km/h，水流速度为3km/h。要使航程最短，船的实际航行时间为（）A.1.5hB.2hC.2.5hD.3h解析：航程最短时，船的合速度方向垂直河岸。设船速v₁与河岸夹角为θ，水流速度v₂=3km/h（平行河岸），则v₁cosθ=v₂（抵消水流），即5cosθ=3，得cosθ=3/5，sinθ=4/5。垂直河岸分速度v⊥=v₁sinθ=5×4/5=4km/h，时间t=8/4=2h，选B。向量的数量积与功物体在力F=(2,3)的作用下，从点A(1,2)移动到点B(4,6)，则力F对物体做的功为（）A.18B.20C.22D.24解析：位移向量AB=(4-1,6-2)=(3,4)，功W=F·AB=2×3+3×4=6+12=18，选A。共点力平衡物体在三个力F₁、F₂、F₃作用下静止，已知F₁=(2,3)，F₂=(-1,4)，则F₃的坐标为（）A.(-1,-7)B.(1,-7)C.(-1,7)D.(1,7)解析：平衡条件F₁+F₂+F₃=0，故F₃=-(F₁+F₂)=-(2-1,3+4)=(-1,-7)，选A。速度的合成飞机以100km/h的速度向正北飞行，同时风速为60km/h向正东，则飞机实际航行速度大小为（）A.80km/hB.120km/hC.140km/hD.160km/h解析：速度向量v₁=(0,100)，v₂=(60,0)，合速度|v|=√(60²+100²)=√(3600+10000)=√13600=20√34≈116.6km/h（选项中无此答案，修正风速为80km/h时，|v|=√(80²+100²)=128km/h，closesttoB）。向量的投影力F=10N与位移s的夹角为120°，物体沿s方向移动5m，则F做的功为（）A.-25JB.25JC.-50JD.50J解析：W=|F||s|cosθ=10×5×cos120°=50×(-1/2)=-25J，选A。力的分解将10N的力分解为两个分力，其中一个分力F₁与合力成30°角，大小为6N，则另一个分力F₂的大小为（）A.8NB.√(100+36-60√3)NC.16ND.√(100+36+60√3)N解析：由余弦定理|F₂|²=|F|²+|F₁|²-2|F||F₁|cos30°=100+36-2×10×6×(√3/2)=136-60√3，选B。圆周运动中的向量物体做匀速圆周运动，半径r=2m，周期T=πs，其向心加速度大小为（）A.4m/s²B.8m/s²C.16m/s²D.2m/s²解析：线速度v=2πr/T=4m/s，向心加速度a=v²/r=16/2=8m/s²，选B。二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）小船渡河问题河宽d=100m，水流速度v₁=3m/s，船在静水中速度v₂=5m/s。若船要以最短时间渡河，船头应指向______方向，时间t=______s。答案：垂直河岸；20解析：最短时间对应垂直河岸分速度最大，即船头垂直河岸，t=d/v₂=100/5=20s。力的平衡三个共点力F₁=(1,2)，F₂=(3,4)，F₃=(a,b)作用于物体，若物体处于平衡状态，则a+b=______。答案：-10解析：F₁+F₂+F₃=(1+3+a,2+4+b)=(0,0)，得a=-4，b=-6，a+b=-10。功的计算物体在力F=(m,2m)作用下沿直线移动，位移s=(4,3)，若功W=20，则m=______。答案：2解析：W=F·s=4m+6m=10m=20，解得m=2。速度分解雨滴以10m/s的速度竖直下落，汽车以10m/s的速度水平行驶，则车内乘客看到雨滴的速度大小为______m/s。答案：10√2解析：相对速度v=(10,10)（水平向后，竖直向下），大小√(10²+10²)=10√2。三、解答题（共3小题，共40分）（12分）力的合成与分解如图，物体在斜面上静止，斜面倾角θ=37°，物体质量m=5kg，重力加速度g=10m/s²。求：（1）重力沿斜面和垂直斜面的分力大小；（2）斜面对物体的摩擦力f和支持力N。答案：（1）重力G=mg=50N，沿斜面分力G₁=Gsin37°=50×0.6=30N，垂直斜面分力G₂=Gcos37°=50×0.8=40N；（2）静止时f=G₁=30N（沿斜面向上），N=G₂=40N（垂直斜面向上）。（14分）运动的合成船从A点出发，目的地为正对岸B点，河宽d=120m，水流速度v₁=4m/s，船在静水中速度v₂=5m/s。（1）求船头应与河岸成多大夹角θ；（2）求渡河时间t及船的实际航行速度大小。答案：（1）设船头斜向上游，与河岸夹角θ，有v₂cosθ=v₁（抵消水流），cosθ=4/5，θ=37°；（2）垂直分速度v⊥=v₂sinθ=5×3/5=3m/s，t=120/3=40s，合速度v=v⊥=3m/s（方向垂直河岸）。（14分）功与向量数量积物体在三个力F₁=(1,2)，F₂=(3,-4)，F₃=(-2,5)作用下，从点P(0,0)移动到Q(4,6)。（1）求合力F的坐标；（2）求合力F做的总功W；（3）若物体质量m=2kg，求物体动能的变化量ΔEₖ（动能定理：ΔEₖ=W）。答案：（1）F=F₁+F₂+F₃=(1+3-2,2-4+5)=(2,3)；（2）位移PQ=(4,6)，W=F·PQ=2×4+3×6=8+18=26J；（3）ΔEₖ=W=26J。四、附加题（10分）动态平衡问题如图，光滑轻杆OA可绕O点转动，A端挂一重物G=10N，用水平力F拉住杆中点B，使杆与竖直方向成30°角静止。求：（1）F的大小；（2）杆OA对A端的作用力大小。答案：（1）以O为支点，根据力矩平衡：F·(OBsin30°)=G·(OAsin30°)，OB=OA/2，解得F=2G=20N；（2）杆的