2025年上学期高二数学周测（第五周）

2025年上学期高二数学周测（第五周）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）已知等比数列${a_n}$中，$a_2=4$，$a_5=32$，则公比$q$的值为（）A.$\sqrt{2}$B.$2$C.$4$D.$8$在$\triangleABC$中，角$A$，$B$，$C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$，若$a=3$，$b=4$，$\cosC=\frac{1}{5}$，则$c=$（）A.$\sqrt{13}$B.$\sqrt{21}$C.$5$D.$\sqrt{33}$不等式$x^2-2x-3\leq0$的解集为（）A.$[-1,3]$B.$(-\infty,-1]\cup[3,+\infty)$C.$(-1,3)$D.$(-\infty,-1)\cup(3,+\infty)$已知等差数列${a_n}$的前$n$项和为$S_n$，若$a_1=1$，$d=2$，则$S_5=$（）A.$15$B.$20$C.$25$D.$30$若变量$x$，$y$满足约束条件$\begin{cases}x\geq0\y\geq0\x+y\leq2\end{cases}$，则$z=2x+y$的最大值为（）A.$0$B.$2$C.$3$D.$4$在$\triangleABC$中，若$\sinA:\sinB:\sinC=2:3:4$，则$\cosC=$（）A.$-\frac{1}{4}$B.$\frac{1}{4}$C.$-\frac{1}{2}$D.$\frac{1}{2}$已知等比数列${a_n}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_3=7$，$S_6=63$，则公比$q=$（）A.$2$B.$-2$C.$3$D.$-3$不等式$\frac{x-1}{x+2}>0$的解集为（）A.$(-2,1)$B.$(-\infty,-2)\cup(1,+\infty)$C.$(-\infty,-2]\cup[1,+\infty)$D.$(-2,1]$在$\triangleABC$中，角$A$，$B$，$C$成等差数列，且$b=2$，则$\triangleABC$外接圆的半径$R=$（）A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$B.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$C.$\sqrt{3}$D.$2\sqrt{3}$已知数列${a_n}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$，则$a_4=$（）A.$7$B.$15$C.$31$D.$63$若关于$x$的不等式$ax^2+bx+2>0$的解集为$(-\frac{1}{2},\frac{1}{3})$，则$a+b$的值为（）A.$-14$B.$14$C.$-10$D.$10$设$x>0$，则$y=x+\frac{4}{x}$的最小值为（）A.$2$B.$4$C.$6$D.$8$二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）在$\triangleABC$中，$a=5$，$b=12$，$c=13$，则$\triangleABC$的面积为________。已知数列${a_n}$的前$n$项和$S_n=n^2-n$，则$a_5=$________。若$x$，$y$为正实数，且$x+2y=1$，则$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值为________。已知不等式$x^2-(m+1)x+m<0$的解集为$(1,m)$，则实数$m$的取值范围是________。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（本小题满分10分）已知等差数列${a_n}$中，$a_3=7$，$a_7=15$。（1）求数列${a_n}$的通项公式；（2）求数列${a_n}$的前$n$项和$S_n$。（本小题满分12分）在$\triangleABC$中，角$A$，$B$，$C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$，且满足$a\cosB+b\cosA=2c\cosC$。（1）求角$C$的大小；（2）若$c=2\sqrt{3}$，$\triangleABC$的面积为$2\sqrt{3}$，求$a+b$的值。（本小题满分12分）已知等比数列${a_n}$中，$a_1=1$，$a_4=8$，数列${b_n}$满足$b_n=\log_2a_n$。（1）求数列${a_n}$的通项公式；（2）求数列${b_n}$的前$n$项和$T_n$。（本小题满分12分）某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产1件甲产品需消耗A原料3kg、B原料2kg，生产1件乙产品需消耗A原料1kg、B原料3kg，且该厂每天最多可消耗A原料12kg、B原料15kg。若生产1件甲产品可获利50元，生产1件乙产品可获利40元，问如何安排生产才能使每天的利润最大？最大利润是多少？（本小题满分12分）已知关于$x$的不等式$ax^2-3x+2>0$的解集为${x|x<1$或$x>b}$（$b>1$）。（1）求$a$，$b$的值；（2）解关于$x$的不等式$ax^2-(a+b)x+b<0$。（本小题满分12分）已知数列${a_n}$的前$n$项和为$S_n$，且满足$S_n=2a_n-1$（$n\in\mathbb{N}^*$）。（1）求数列${a_n}$的通项公式；（2）设$b_n=\frac{a_n}{S_nS_{n+1}}$，求数列${b_n}$的前$n$项和$T_n$。参考答案及评分标准一、选择题B2.D3.A4.C5.D6.A7.A8.B9.B10.B11.A12.B二、填空题3014.815.$3+2\sqrt{2}$16.$(1,+\infty)$三、解答题解：（1）设等差数列${a_n}$的公差为$d$，由题意得：$\begin{cases}a_1+2d=7\a_1+6d=15\end{cases}$，解得$\begin{cases}a_1=3\d=2\end{cases}$，$\thereforea_n=a_1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1$。（5分）（2）$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(3+2n+1)}{2}=n(n+2)=n^2+2n$。（10分）解：（1）由正弦定理得：$\sinA\cosB+\sinB\cosA=2\sinC\cosC$，即$\sin(A+B)=2\sinC\cosC$，$\becauseA+B=\pi-C$，$\therefore\sin(\pi-C)=2\sinC\cosC$，$\sinC=2\sinC\cosC$，$\because\sinC\neq0$，$\therefore\cosC=\frac{1}{2}$，又$0<C<\pi$，$\thereforeC=\frac{\pi}{3}$。（6分）（2）由面积公式得：$\frac{1}{2}ab\sinC=2\sqrt{3}$，即$\frac{1}{2}ab\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$，解得$ab=8$。由余弦定理得：$c^2=a^2+b^2-2ab\cosC$，即$(2\sqrt{3})^2=a^2+b^2-2\times8\times\frac{1}{2}$，$12=a^2+b^2-8$，$\thereforea^2+b^2=20$，$\therefore(a+b)^2=a^2+b^2+2ab=20+16=36$，$\thereforea+b=6$。（12分）解：（1）设等比数列${a_n}$的公比为$q$，由$a_4=a_1q^3$得$8=1\cdotq^3$，$\thereforeq=2$，$\thereforea_n=a_1q^{n-1}=2^{n-1}$。（6分）（2）$b_n=\log_2a_n=\log_22^{n-1}=n-1$，$\therefore{b_n}$是首项为$0$，公差为$1$的等差数列，$\thereforeT_n=\frac{n(b_1+b_n)}{2}=\frac{n(0+n-1)}{2}=\frac{n(n-1)}{2}$。（12分）解：设每天生产甲产品$x$件，乙产品$y$件，利润为$z$元，则：$\begin{cases}3x+y\leq12\2x+3y\leq15\x\geq0,y\geq0,x,y\in\mathbb{N}\end{cases}$，目标函数$z=50x+40y$。作出可行域，联立$\begin{cases}3x+y=12\2x+3y=15\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=3\y=3\end{cases}$，当$x=3$，$y=3$时，$z_{\text{max}}=50\times3+40\times3=270$元。答：每天生产甲产品3件、乙产品3件时利润最大，最大利润为270元。（12分）解：（1）由题意知$1$，$b$是方程$ax^2-3x+2=0$的两根，$\therefore\begin{cases}1+b=\frac{3}{a}\1\cdotb=\frac{2}{a}\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=1\b=2\end{cases}$。（6分）（2）不等式为$x^2-3x+2<0$，即$(x-1)(x-2)<0$，解集为$(1,2)$。（12分）解：（1）当$n=1$时，$S_1=2a_1-1$，即$a_1=1$；当$n\geq2$时，$S_n-S_{n-1}=2a_n-1-(2a_{n-1}-1)$，即$a_n=2a_{n-1}$，$\therefore{a_n}$是首项为$1$，公比为$2$的等比数列，$\thereforea_n=2^{n-1}$。（6分）（2）$S_n=2a_n-1=2^n-1$，$S_{n+1}=2^{n+1}-1$，$b_n=\frac{2^{n-1}}{(2^n-1)(2^{n+1}-1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2^n-1}-\frac{1}{2^{n+1}-1}\right)$，$\thereforeT_n=