高中数学二元一次方程专题教案

二元一次方程与二元一次方程组一、课题名称二元一次方程与二元一次方程组二、授课年级高中一年级上学期三、课时安排2课时(每课时45分钟)四、教学目标1.知识与技能：*使学生理解二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念，并能判断一组数是否为某个二元一次方程组的解。*使学生掌握用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组，并能根据方程组的特点选择适当的解法。*初步体会“消元”思想，即把二元一次方程组转化为一元一次方程来求解的化归思想。*能运用二元一次方程组解决一些简单的实际问题（后续专题可深化，本专题侧重解法）。2.过程与方法：*通过类比一元一次方程的概念，引导学生自主探索二元一次方程及方程组的概念，培养学生的观察、比较、归纳能力。*在探究解二元一次方程组的过程中，让学生经历“问题情境—建立模型—求解—检验”的过程，体会“消元”策略的必要性和多样性。*通过例题和练习，培养学生的运算能力、逻辑思维能力和解决问题的能力。3.情感态度与价值观：*通过对二元一次方程组解法的探究，激发学生的学习兴趣和求知欲，感受数学的严谨性和逻辑性。*在解决问题的过程中，培养学生积极思考、勇于探索的精神，以及合作交流的意识。*体会数学来源于生活，并应用于生活，增强学生应用数学的意识。五、教学重难点1.教学重点：*二元一次方程（组）及其解的概念。*运用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组。2.教学难点：*理解“消元”思想，将二元转化为一元。*灵活选择合适的消元方法解二元一次方程组。*理解二元一次方程组解的三种情况（唯一解、无解、无穷多解）及其几何意义。六、教学方法讲授法、讨论法、启发式教学法、练习法。结合多媒体课件辅助教学，增强直观性和互动性。七、教学准备多媒体课件（PPT）、板书、直尺、练习本。八、教学过程第一课时：二元一次方程（组）的概念与代入消元法(一)创设情境，引入新课(约5分钟)教师活动：*提出问题：同学们，我们已经学习过一元一次方程，比如“某数的两倍加上三等于七，求这个数”，我们可以设这个数为x，列出方程2x+3=7来求解。但如果问题稍微复杂一点，比如“现有面值为拾元和伍元的人民币共若干张，总金额为若干元，问拾元和伍元的人民币各有多少张？”这样的问题，我们还能用一个未知数来表示吗？*引导学生思考：这个问题中涉及到几个未知量？（两个：拾元人民币的张数和伍元人民币的张数）。如果设拾元的有x张，伍元的有y张，那么根据总金额，我们可以列出一个什么样的关系式呢？（10x+5y=总金额）。*点明课题：像这样含有两个未知数的方程，就是我们今天要学习的新知识——二元一次方程。（板书课题：二元一次方程与二元一次方程组）学生活动：思考教师提出的问题，尝试用字母表示未知量，感受引入新方程的必要性。(二)新课讲授：二元一次方程的概念(约10分钟)教师活动：*引导学生观察上述问题中得到的方程10x+5y=总金额（假设总金额为一个具体数值，如100元，则方程为10x+5y=100）。*提问：这个方程与我们学过的一元一次方程有什么相同点和不同点？*相同点：都是整式方程，未知数的次数都是1。*不同点：这个方程含有两个未知数。*给出二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程。*强调：“含有两个未知数”、“未知项的次数是1”、“整式方程”。*概念辨析：判断下列方程是否为二元一次方程，并说明理由。*(1)x+y=5*(2)x²+y=3(未知项次数为2，不是)*(3)x+=1(不是整式方程，不是)*(4)2x+3y-z=0(含有三个未知数，不是)*(5)xy=6(未知项次数为2，不是)*二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。*例如，对于方程x+y=5，当x=2时，y=3，所以(x=2,y=3)是这个方程的一个解，记作。*提问：一个二元一次方程只有一个解吗？（引导学生发现，给x一个值，就能求出对应的y值，所以二元一次方程有无数个解。）*强调：二元一次方程的解通常写成的形式。学生活动：观察方程，对比一元一次方程，总结二元一次方程的特征；通过辨析题加深对概念的理解；思考并理解二元一次方程解的含义及个数。(三)新课讲授：二元一次方程组的概念(约10分钟)教师活动：*回到课前的问题：如果我们只知道“拾元和伍元的人民币共若干张，总金额为若干元”，能唯一确定拾元和伍元的张数吗？（不能，因为有无数组解）。*追问：如果再增加一个条件，比如“拾元和伍元的人民币共15张”，现在能确定了吗？*引导学生列出两个方程：设拾元x张，伍元y张。*根据总张数：x+y=15*根据总金额：10x+5y=100(假设总金额100元)*给出二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。*强调：“相同未知数”、“两个二元一次方程”（特殊情况下，也可能是多个，但高中阶段主要学习两个）。*二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。*也就是说，方程组的解必须同时满足方程组中的每一个方程。*引导学生尝试找出上述方程组的解。（可以通过列表尝试，或观察得出x=5,y=10是方程组的解）。*概念辨析：判断下列方程组是否为二元一次方程组。*(1)*(2)(第二个方程是一元一次方程，但整个方程组仍称为二元一次方程组)*(3)(含有三个未知数，不是)学生活动：思考问题，理解引入方程组的必要性；学习二元一次方程组及其解的概念；判断方程组类型。(四)新课讲授：代入消元法解二元一次方程组(约15分钟)教师活动：*提出问题：如何求解二元一次方程组呢？刚才我们是通过尝试得到了一组解，但对于复杂的方程组，尝试法就不方便了。我们能不能想办法把它转化为我们熟悉的一元一次方程呢？*引导学生思考：方程组中的两个方程都含有x和y，如果我们能从一个方程中用含一个未知数的式子表示出另一个未知数，然后代入另一个方程，不就可以消去一个未知数了吗？*介绍代入消元法：这种将方程组中的一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组的解的方法，叫做代入消元法，简称代入法。*例题讲解：解方程组*分析：这个方程组比较简单，我们可以选择其中一个方程，用一个未知数表示另一个未知数。观察方程①，x的系数是1，比较容易用y表示x，或者用x表示y。*解：由①，得y=15-x③(把y用含x的式子表示出来)把③代入②，得10x+5(15-x)=100(将y的表达式代入另一个方程，消去y)解这个一元一次方程：10x+75-5x=1005x=25x=5把x=5代入③，得y=15-5=10(将求得的x值代入③，求出y)所以，这个方程组的解是*检验：将x=5,y=10代入原方程组的两个方程，看左右两边是否相等。（口算检验）*解题步骤总结（板书）：1.变：选一个系数比较简单的方程进行变形，用含有一个未知数的式子表示另一个未知数。2.代：将变形后的方程代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。3.解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。4.回：将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值。5.写：用“”的形式写出方程组的解。6.验：检验（口算或笔算，确保解的正确性）。*练习：解方程组*引导学生思考：选择哪个方程变形？如何变形？*学生独立完成，教师巡视指导，选取学生板演，点评。学生活动：积极思考转化方法；认真听讲例题，学习代入法的步骤；通过练习巩固所学知识，掌握代入消元法。(五)课堂小结与作业布置(约5分钟)教师活动：*课堂小结：*今天我们学习了哪些主要概念？（二元一次方程、二元一次方程组、它们的解）*我们学习了用什么方法来解二元一次方程组？（代入消元法）其基本思想是什么？（消元，化二元为一元）*作业布置：*教材练习题：解下列方程组*(1)*(2)*思考：除了代入消元法，还有没有其他方法可以消元呢？学生活动：回顾本节课所学内容，明确作业要求，带着问题结束本节课。第二课时：加减消元法及方程组解的情况(一)复习回顾，引入新课(约5分钟)教师活动：*提问：什么是二元一次方程组？我们已经学过哪种方法来解二元一次方程组？（代入消元法）*快速口答：用代入法解方程组*（预计学生能较快说出思路：由②得x=3+y，代入①）*提出新问题：如果方程组是，用代入法可以解吗？（可以）但观察这个方程组，两个方程中y的系数有什么关系？（互为相反数）如果把这两个方程的左边和右边分别相加，会出现什么情况？（y被消去了）*引出新课：这就是我们今天要学习的另一种解二元一次方程组的方法——加减消元法。学生活动：回顾旧知，思考教师提出的新问题，初步感知加减消元的思路。(二)新课讲授：加减消元法解二元一次方程组(约15分钟)教师活动：*介绍加减消元法：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。*例题讲解1（直接加减）：解方程组*分析：方程组中y的系数分别是-1和1，互为相反数。将两个方程相加，可以消去y。*解：①+②，得(3x-y)+(x+y)=7+14x=8x=2把x=2代入②，得2+y=1y=-1所以，这个方程组的解是*提问：如果两个方程中某个未知数的系数相等，应该怎么办？（相减）*例题讲解2（需要先变形）：解方程组*分析：这个方程组中，x和y的系数既不相等也不互为相反数。我们需要想办法把它们变成相等或相反。观察x的系数：2和3，它们的最小公倍数是6。可以把方程①两边都乘以3，方程②两边都乘以2，使x的系数都变成6，然后相减消去x；或者观察y的系数：3和-2，最小公倍数是6，可以把方程①两边都乘以2，方程②两边都乘以3，使y的系数分别变成6和-6，然后相加消去y。这里我们选择消去y。*解：①×2，得4x+6y=24③②×3，得9x-6y=3④③+④，得13x=27x=把x=代入①，得2×()+3y=12+3y=123y=12-3y=y=所以，这个方程组的解是*强调：如果系数不具备直接加减消元的条件，需要先利用等式的性质，将方程两边都乘以同一个适当的数，使某一个未知数的系数的绝对值相等，然后再进行加减消元。*解题步骤总结（板书）：1.化：将方程组中某个未知数的系数化为相等或互为相反数（找最小公倍数）。2.加/减：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。3.解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。4.回：将求得的未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程，求出另一个未知数的值。5.写：写出方程组的解。6.验：检验。*方法比较与选择：*代入法：当方程组中一个方程的某个未知数的系数是1或-1时，用代入法比较简便。*加减法：当方程组中两个方程的某个未知数的系数相等或互为相反数，或者成倍数关系时，用加减法比较简便。*引导学生根据方程组的特点灵活选择合适的解法。*练习：解方程组*让学生自主选择方法求解，可以用代入法，也可以用加减法。*展示不同解法，比较优劣。学生活动：学习加减消元法的概念和步骤；通过例题学习如何直接加减和变形后加减；比较两种消元方法的特点，尝试选择合适方法解题。(三)探究：二元一次方程组解的情况(约10分钟)教师活动：*我们知道，一个一元一次方程ax+b=0(a≠0)有且只有一个解。那么，一个二元一次方程组的解是不是也只有一种情况呢？*引导学生解下列三个方程组，并观察结果：*方程组1：(唯一解)*方程组2：(无解)*解：①×2，得4x+6y=10③②-③，得0x+0y=-1，即0=