教学复习课实录及评课记录

高中数学复习课《函数的单调性与最值》教学实录及评课记录一、背景介绍*课题：函数的单调性与最值（高三一轮复习）*授课教师：李老师（高三数学组骨干教师）*授课班级：高三（2）班*授课时间：45分钟*评课主持人：王老师（数学教研组组长）*参与评课人员：高三数学组全体教师二、课堂实录(一)复习导入与知识梳理(约8分钟)师：同学们，我们已经系统学习了函数的基本概念。今天我们来复习一个非常重要的性质——函数的单调性与最值。大家先回忆一下，什么是函数的单调性？谁能用自己的话结合一个具体函数图像给大家描述一下？（稍作停顿，目光扫视全班，鼓励学生举手）生1：函数的单调性就是函数图像是上升还是下降的。比如，一次函数y=x，图像从左到右一直上升，它就是单调递增的。师：嗯，生1用直观的图像特征来描述，很不错。有没有同学能从代数定义的角度来阐述？生2：对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2，如果当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在这个区间上是增函数。如果是f(x1)>f(x2)，就是减函数。师：非常准确！这就是函数单调性的定义。（板书：一、函数的单调性1.定义）大家要注意定义中的关键词：“定义域内的某个区间”、“任意”、“都有”。这个“任意”二字非常关键，它强调了在整个区间上的一致性。（PPT展示函数单调性的严格定义，并强调易错点）师：那么，我们判断函数单调性有哪些方法呢？生3：可以根据图像看上升下降。生4：可以用定义法证明，就是作差比较f(x1)-f(x2)的符号。生5：还有导数法！如果函数在某个区间上的导数大于0，函数就单调递增；导数小于0，就单调递减。师：同学们总结得很全面。（板书：2.判断方法：①图像法；②定义法（作差/作商）；③导数法）这些方法各有其适用场景，图像法直观，定义法严谨，导数法是我们高中阶段处理复杂函数单调性的利器。(二)典例精析与方法提炼(约20分钟)师：接下来，我们通过几个例题来巩固这些知识，并看看在具体问题中如何灵活运用。例1(PPT展示)：判断函数f(x)=x+1/x在区间(0,1)和[1,+∞)上的单调性，并证明你的结论。师：请大家先独立思考，选择你认为合适的方法来判断。（给学生3分钟思考时间）师：好，时间到。哪位同学愿意分享一下你的思路？生6：我用导数法。f'(x)=1-1/x²。令f'(x)>0，解得x>1或x<-1。因为定义域是(0,1)和[1,+∞)，所以在(0,1)上f'(x)<0，函数单调递减；在[1,+∞)上f'(x)≥0，函数单调递增。师：思路清晰，计算准确。导数法对于这种可导函数确实高效。那如果我们用定义法来证明在(0,1)上的单调性，该如何操作呢？（引导学生回顾定义法步骤）生7：设0<x1<x2<1，然后计算f(x1)-f(x2)=(x1+1/x1)-(x2+1/x2)=(x1-x2)+(x2-x1)/(x1x2)=(x1-x2)(1-1/(x1x2))。因为0<x1<x2<1，所以x1-x2<0，x1x2<1，所以1/(x1x2)>1，1-1/(x1x2)<0。因此，f(x1)-f(x2)=(负)*(负)=正，即f(x1)>f(x2)，所以函数在(0,1)上单调递减。师：非常好！生7完整地展示了定义法证明单调性的步骤：取值、作差、变形、定号、下结论。变形是关键，这里通过通分和因式分解，成功判断了差的符号。大家要体会这种代数变形的技巧。例2(PPT展示)：已知函数f(x)=x²-2ax+3在区间[-1,2]上的最小值为1，求实数a的值。师：这是一个含参数的二次函数在给定区间上求最值的问题，是我们复习的重点和难点。大家思考一下，解决这类问题的关键是什么？生8：对称轴！二次函数的对称轴是x=a，它的位置会影响函数在区间[-1,2]上的单调性，从而影响最小值的位置。师：说得非常到位！这就是我们常说的“轴动区间定”问题。那么，我们应该如何分类讨论呢？（引导学生画出函数草图，结合图像分析）生9：可以分三种情况：1.对称轴在区间左侧，即a≤-1时，函数在[-1,2]上单调递增，最小值在x=-1处取得。2.对称轴在区间内，即-1<a<2时，函数在顶点处取得最小值，即x=a时。3.对称轴在区间右侧，即a≥2时，函数在[-1,2]上单调递减，最小值在x=2处取得。师：思路非常清晰！分类讨论的标准就是对称轴与给定区间的相对位置。那我们就按照这个思路来求解。（师生共同完成解题过程，教师板书关键步骤）解：f(x)=(x-a)²+3-a²，对称轴x=a。1.当a≤-1时，f(x)在[-1,2]上单调递增，f(x)min=f(-1)=1+2a+3=4+2a=1⇒a=-3/2。∵-3/2≤-1，∴符合题意。2.当-1<a<2时，f(x)min=f(a)=3-a²=1⇒a²=2⇒a=±√2。∵-1<a<2，∴a=√2。3.当a≥2时，f(x)在[-1,2]上单调递减，f(x)min=f(2)=4-4a+3=7-4a=1⇒a=6/4=3/2。∵3/2<2，∴不符合题意，舍去。综上，a的值为-3/2或√2。师：通过这个例题，我们要总结一下：处理含参数的函数最值问题，首先要明确函数的单调性（往往与对称轴、定义域有关），然后根据参数的不同取值范围导致的单调性变化或最值点位置变化进行分类讨论，最后要检验所求参数是否在讨论的范围内。(三)巩固练习与能力提升(约12分钟)师：下面请大家独立完成两道练习题，检验一下复习效果。练习1：求函数f(x)=lnx-x在(0,e]上的最大值。（考查利用导数求最值）练习2：已知函数f(x)=x|x-a|(a>0)，试讨论其单调性，并求出函数的最小值。（考查分段函数的单调性、分类讨论思想）（学生独立完成，教师巡视，对个别学生进行指导。5分钟后，邀请两位学生上黑板板演，并请其他学生点评。）师：（针对练习2）这位同学将函数写成分段形式：当x≥a时，f(x)=x²-ax；当x<a时，f(x)=-x²+ax。然后分别求出两段的对称轴，再结合a>0的条件，分析了不同区间上的单调性，最后找到了最小值点。思路是正确的。大家在处理绝对值函数时，首先想到的就是去绝对值符号，化为分段函数。(四)课堂小结与作业布置(约5分钟)师：今天我们复习了函数的单调性与最值。谁能简要回顾一下本节课的主要内容和方法？生10：主要复习了单调性的定义、判断方法（定义法、导数法），以及如何利用单调性求函数的最值。重点是分类讨论思想的应用，特别是含参数的问题。师：总结得很好。单调性是函数的核心性质之一，它不仅本身是考点，也是研究函数其他性质（如最值、零点）的重要工具。希望大家在课后能进一步巩固，灵活运用。作业布置：1.整理本节课笔记，梳理单调性与最值的常用方法和易错点。2.完成教材对应复习题A组（基础巩固）和B组第1、3题（能力提升）。3.思考题：若函数f(x)在定义域I上满足对任意x1,x2∈I，且x1<x2，都有f(x1)≤f(x2)，则称f(x)为I上的非减函数。试举例说明非减函数与单调递增函数的区别，并探讨其最值存在性。（拓展延伸）师：好，今天的课就到这里，下课！三、评课记录主持人（王老师）：各位老师，刚才我们一起观摩了李老师的《函数的单调性与最值》复习课。下面，我们进行评课交流。首先请李老师谈谈自己的教学设计思路和课后反思。授课教师（李老师）：各位同仁，大家好。这节复习课，我主要想达到两个目标：一是帮助学生系统梳理函数单调性与最值的核心知识，构建知识网络；二是通过典型例题和练习，提升学生运用知识解决问题的能力，特别是分类讨论、数形结合等数学思想方法的渗透。从课堂实施来看，学生对基础知识掌握比较扎实，能够积极参与互动。在典例精析环节，我侧重引导学生多角度思考，比如例1同时用了导数法和定义法，并强调了定义法的规范性。例2是含参二次函数最值，这是学生的难点，我通过引导学生画图、找分类标准，逐步突破。巩固练习部分，练习题的设置有梯度，能兼顾不同层次学生。反思不足：可能在时间分配上，例2的讨论可以更紧凑一些，给学生独立思考和板演的时间还可以再多一点。另外，对于作业中的思考题，或许可以在课堂上稍作铺垫，激发学生的探究兴趣。整体感觉课堂容量适中，但对尖子生的拔高力度还可以再加强一些。评课教师（张老师）：李老师这节课准备充分，教学目标明确，重点突出。我特别欣赏以下几点：1.知识梳理到位：不是简单罗列知识点，而是通过设问引导学生主动回忆和建构，比如单调性定义的两种表述，判断方法的归纳，都做得很好。2.例题选择典型：例1涵盖了两种重要的判断方法，例2直击“含参二次函数最值”这一高频考点和难点，具有代表性。解题过程规范，板书清晰，对学生起到了很好的示范作用。3.注重数学思想方法的渗透：在讲解例2时，强调了分类讨论的标准和依据，引导学生“为什么分类”、“如何分类”，这对于学生逻辑思维能力的培养非常重要。数形结合思想也贯穿始终，帮助学生直观理解。建议：在学生板演练习2之后，除了点评思路，还可以引导学生反思解题过程中容易出错的地方，比如分类不完整、忽略定义域等，这样针对性更强。评课教师（刘老师）：我同意张老师的看法。李老师的课堂驾驭能力很强，语言简洁准确，师生互动自然流畅。课堂节奏把握得也比较好，从基础回顾到能力提升，层层递进。我补充一点，李老师在课堂小结环节，不是自己包办，而是让学生来总结，这能有效检验学生的听课效果和知识掌握程度，值得学习。作业布置也体现了分层思想，既有基础巩固，又有能力提升和拓展延伸，考虑周全。一点不成熟的想法：对于“定义法证明单调性”，虽然例1有所涉及，但如果能专门设置一个小的辨析题，让学生判断一些不严谨的证明过程，可能更能加深学生对定义中“任意”二字的理解。比如，“若f(1)<f(2)，则函数f(x)在[1,2]上单调递增”，这种说法对吗？评课教师（陈老师）：李老师这节课整体上是一节高质量的复习课。复习课很容易上成“炒冷饭”或者“习题讲评课”，但李老师这节课通过问题驱动，引导学生主动参与知识的梳理和方法的提炼，避免了这一点。导数法求单调性和最值是高考的重点，李老师在例题和练习中都有所体现，并且强调了导数与函数单调性的关系。在处理练习1时，学生做得很快，李老师可以追问一句“函数在(0,e]上有最大值，那么有最小值吗？”，引导学生进一步思考函数在开区间端点处的极限情况，这样对函数最值的理解会更深刻。主持人（王老师）：感谢各位老师的精彩点评和中肯建议。李老师的这节课，优点突出，教学设计科学合理，教学实施流畅高效，充分体现了以学生为主体的教学理念。知识点回顾扎实，例题选择典型且有梯度，数学思想方法渗透自然，课堂练习及时有效。各位老师提出的建议也非常有价值，比如加强易错点辨析、适当拓展学生思维的深度和广度、对学生板演的反馈可以更细致等，这些都是我们今后在复习课教学中需要共同关注和改进的方面。希望李老师能结合大家的建议，进一步完善教学设计。也希望各位老师能从这节课中汲取有益经验，共同提升我们数学组的复习课教学质量。今天的评课到此结束，谢谢大家！四、总体评价与反思李老师的这节《函数的单调性与最值》复习课，展现了扎实的教学功底和良好的教学素养。整堂课教学目标明确，重点突出，难点突破有方。通过“知识梳理—典例精析—巩固提升—总结反思”的教学流程，帮助学生有效回顾和深化了对函数单调性与最值核心内容