以“计数单位”统领数与运算的整体性和一致性

以“计数单位”统领数与运算的整体性和一致性

[摘要]

整体性和一致性是《义务教育数学课程标准（2022年版）》的重要关键词，教师在教学过程中应凸显数学课程内容的这一特点。数与运算包括整数、小数和分数的认识及其四则运算，是学生数学学习的重要内容，教师以“计数单位“这一核心要素为统领，体现数与运算的整体性和一致性。教师对数与运算整体性和一致性的内涵进行了深入分析，且以“分数乘法”单元为例，聚焦“分数乘整数”“分数单位乘分数单位”和“分数乘分数”三个典型案例，以“计数单位”为主线设计学习活动，帮助学生理解数的概念和数的运算本质上的一致性，感悟数与运算的整体性和一致性，发展学生的数学核心素养。[关键词]

计数单位；数与运算；整体性；一致性；

新修订的《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“2022年版课标”）着重突出课程内容的整体性和一致性，教材编写与教学设计要突出数学的核心内容，呈现不同数学知识之间的实质性关联，展现内容与观念之间的融合。数与运算是义务教育阶段学生数学学习的重要主题学习之一，分成“数的认识”和“数的运算”两部分。在小学阶段，“数的认识”包括整数、小数和分数的认识；“数的运算”包括整数、小数和分数的四则运算。两者之间是密不可分的，它们相互依存，相互促进，数的认识是数的运算的前提和基础，数的运算是数的认识的体现和应用。因此，在该部分教学中，教师要以“计数单位为核心要素进行统领，沟通数的认识与数的运算之间的关联，突出“数”与“运算”的整体性和一致性。一、数与运算的整体性和一致性内涵分析（一）“数的认识”的整体性和一致性数的认识包括对所有整数、小数和分数的认识，具有整体性和一致性。一方面，整数、小数和分数本质上是一个整体，这三类数都是对数量以及数量关系的抽象。整数是对数量间相差关系和倍数关系的抽象；分数是对数量间倍数关系和比的关系的抽象。学生对数的认识基本上经历了具体到抽象再到具体的过程。以认识整数“3”为例，首先创设学生熟悉的文具店情境，学生认识3块橡皮、3支笔、3本书……教师再用对应的方法，借助圆片来表示相等的数量3，学生感受到具体情境中的数量；然后教师去掉量纲即数量的具体含义，抽象出数字符号3，实现具体到抽象的过程；最后教师转换新情境，提问“3”可以表示哪些事物，学生回答出“3”还可以表示3个苹果、3棵树、3只狗……达到抽象到具体的转变，实现对整数“3”的认识。另一方面，整数、小数和分数是基于计数单位建构的，都是对计数单位的个数多少的表达，具有一致性。整数的计数单位是个、十、百、千、万……在认识整数时，教师要多结合小棒、小正方体、计数器、方格纸等实物。比如认识整数“128”时，教师应先借助小正方体、方格纸，让学生数出1个百，2个十，8个一，再将所有这些结合起来，用数表示就是“128”，接着在计数器上表示这个数；小数的计数单位就是十分之一、百分之一、千分之一、万分之一……整数和小数的计数单位是通常所说的数位。认识小数时，要结合具体的量。比如认识小数“1.28”，先是结合现实生活中具体的量：1.28元，让学生认识到每个数字表达的意义不同，“1”表示1个一，“2”表示2个十分之一，“8”表示8个百分之一，再用数加计数单位的形式将各部分累加起来，组成“1.28”。分数的计数单位就是分数单位。比如认识分数3/8，教师应当借助方格纸，将其分割成8份，选其中的3份涂上颜色，学生认识到3/8是由3个1/8组成的。接着让学生自己选择方格纸或圆形纸片来表示，数出分数单位1/8的个数。不过这里的单位计数方式与整数和小数的“十进制计数法”不同，分数的进制由分数单位确定“满几进一”[1]。由此可见，整数、小数和分数的认识根本原理是一致的，都是基于“计数单位”累加出来的，教学时要用计数单位贯穿始终。（二）“数的运算”的整体性和一致性数的运算包括所有整数、小数和分数的四则运算，重点在于理解算理、掌握算法。数的运算本质上的一致性主要表现在两个方面：运算意义的一致性和运算算理、算法的一致性。其一，运算意义的一致性。人类首先明晰加法，然后在加法的基础上衍生出减法、乘法和除法。加法是所有运算的基础与核心[2]，减法是加法的逆运算，乘法是加法的简便运算，除法是乘法的逆运算。例如，计算“5+2”是在数轴上找到5然后向右移动2个格；计算“5-2”是找到5然后向相反的方向移动2个格；计算“5×2”就是从0开始2个2个地向右平移；计算“15÷2”就是2个2个地向相反的方向平移。因此，加减乘除四则运算融会贯通，构成一个整体。其二，运算算理、算法的一致性。数的运算算理是以计数单位、五个运算律和等式的基本性质为基础的，数的运算算法是以计数单位为基础，数的算理和算法的一致性表现为对计数单位的累加和细分。数的加减运算，是相同计数单位上的数字进行加减；例如计算“18+21”是先将18看成1个十与8个一的和，把21看成2个十与1个一的和；然后将1个十和2个十相加，8个一和1个一相加；最后合成3个十9个一，得到39。数的乘除运算，整数除法除外，是计数单位与计数单位，计数单位上的数字与计数单位上的数字进行乘除。例如计算“10×40”，首先把10看成1个十，把40看成4个十；然后根据乘法的交换律和结合律，将1和4相乘得到新的数字即新的计数单位的个数，将10和10相乘得到新的计数单位“百”；最后得到6个百即积为600。实际上，数的四则运算都可以归纳为计数单位个数与计数单位个数的运算和计数单位与计数单位的运算。二、以“分数乘法”单元为例理解数与运算的整体性和一致性分数乘法是六年级数学课程的一个重要内容，教师在教学过程中要引导学生认识分数的本质意义，理解分数乘法算式的意义，掌握分数乘法计算的算理、算法，进而理解数与运算的整体性和一致性。在分数乘法的学习中，教师要关注三个核心问题：一为什么用乘法计算？二怎么算？三为什么这么算？也就是说，教师要注重对分数乘法的意义、算法和算理的理解和教学，将这三大核心问题转化成学生学习的具体任务，通过几何直观和逻辑推理理解分数乘法的算理，探究算法，引导学生深入思考，提升运算能力和推理能力。

下面我将以苏教版的“分数乘整数，分数单位乘分数单位和分数乘分数”为例，说明数与运算的整体性和一致性。（一）分数乘整数教师出示“9个16是多少，12个15是多少”问题，学生能用乘法解决，这时教师要让学生去思考乘法的意义是什么，学生回忆出乘法是求相同加数和的简便运算，为本节课感悟分数乘法算式的意义的一致性奠定基础。接着学生根据情景图列出两道算式“3/10×3，3/10×5”，由于学生对于分数乘整数的计算方法大都学会，应关注其意义、算理和算法的教学。教师可以然后学生仔细观察这两道算式，并按照自己的感觉和理解表示出算式的意思，让他人也明白，学生能用方格纸、圆形纸片等方法表示，从而理解乘法算式的意义。而关于乘法运算的一致性，教师应通过计数单位的推理来引导学生理解，可以关联学生学过的整数和小数乘法，由“20×3=2×10×3=2×3×10=6×10=60；0.2×3=2×0.1×3=2×3×0.1=6×0.1=0.6……”联系到3/10是3个1/10，3/10×3=3×1/10×3=3×3×1/10=9×1/10=9/10，3/10×5=3×1/10×5=3×5×1/10=15×1/10=15/10=2/3……最后教师还可以让学生自主编制与分数乘整数的题目加深对知识的理解。教师通过联系学生学过的整数和小数乘法的算理、乘法的分配律和结合律知识，引导学生学习分数乘整数，掌握相关的算理、算法，感悟乘法运算的一致性。（二）分数单位乘分数单位教师出示情景图，学生分析题目得出解决该问题就是求1/2的1/4是多少，也就是求1/2的1/4倍，需要用乘法解答。由于例题中已经给出1/2的1/4的表示方法，学生只需要观察和分析示意图即可，涂色部分是整张纸的1/2，斜线部分就是所要求的，关键要找到这部分面积与整张纸的关系。在教师引导下，学生能讨论出，以1/2的1/4为标准，对这张纸的未涂色部分也细分，即细分分数单位，从而发现斜线部分与整张纸的关系是1:8，1/2×1/4=1/8。学生通过直观图初步感知了分数单位乘分数单位。紧接着教师可以出示类似的算式，让学生自己画图去表示来增强学生的感受。比如“3/1×1/5”，学生先找到一张纸，将其平均分成3份，将其中一份涂色表示出1/3，再将涂色部分平均分成5份，找到5份中的1份，该份就是所求的结果。学生通过观察直观图不难发现该份与整张纸的关系，是1:15。这时教师可加强学生对该类运算的学习，提示学生根据直观图和之前学的分数乘整数来计算，学生得出1/3×1/5=1×1/3×1×1/5=（1×1）×（1/3×1/5）=1×1/15=1/15，感悟分数单位乘分数单位得到新的分数单位。最后教师可以展示整数，小数中计数单位乘计数单位的例子，让学生将三类算式进行对比，理解数的运算的一致性，感悟计数单位在运算中的作用。（三）分数乘分数由于分数单位乘分数单位和分数乘分数的教学过程都是采用直观图的方法，所以学生在学了前者后再学后者就较为简单。教师出示书上例题，学生找到核心问题是表示出1/2的3/4是多少。学生通过观察所给的矩形图，先找到1/2，再找到1/2的3/4，得出这3份与整张纸的关系是3:8，结果是3/8。从运算角度来看1/2×3/4=1×1/2×3×1/4=（1×3）×（1/2×1/4）=3×1/8=3/8。通过直观图和运算推理，学生认识到分母乘分母得到新的分数单位，分子乘分子得到分数单位的个数。此时教师应当联系整数乘整数、小数乘小数的运算，如“10×30=1×10×3×10=（1×3）×（10×10）=3×10=30；0.1×0.3=1×0.1×3×0.1=（1×3）×（0.1×0.1）=3×0.01=0.03，发现三者的相通之处，加深学生对运算法则的理解。纵观整个分数乘法单元，数与运算关键是找到分数单位以及有几个这样的分数单位，即表现为计数单位个数的运算，这与整数