2025年高等数学数学之可持续发展试题

2025年高等数学数学之可持续发展试题一、选择题（每小题5分，共50分）资源再生模型中，某可再生资源的存量变化率满足微分方程(\frac{dP}{dt}=rP\left(1-\frac{P}{K}\right)-h)，其中(r)为增长率，(K)为环境容量，(h)为开采量。若要实现资源可持续利用（即存量稳定且非零），则(h)的取值范围是（）A.((0,\frac{rK}{4}))B.((\frac{rK}{4},rK))C.((rK,+\infty))D.((-\infty,0))碳排放核算中，某工厂的碳排放量(C(t))（单位：吨）随时间(t)（单位：年）的变化满足(C(t)=1000e^{0.05t}-200t)。若要使排放量达到最小值，则(t)的值为（）A.(20\ln2)B.(10\ln5)C.(20\ln5)D.(10\ln2)新能源投资的收益率函数为(R(x)=\sqrt{x}-0.01x^2)，其中(x)为投资额（单位：百万元）。若投资预算为50百万元，则最大收益率为（）A.(\sqrt{25}-6.25=-3.75)（亏损）B.(\sqrt{50}-25\approx-17.93)（亏损）C.(\sqrt{20}-4\approx0.47)（盈利）D.(\sqrt{10}-1\approx2.16)（盈利）生态系统稳定性研究中，某物种的种群数量(N(t))满足微分方程(\frac{dN}{dt}=N(2-N)-\sint)。当(t\to+\infty)时，种群数量的稳定趋势为（）A.趋于0B.趋于1C.周期性波动D.指数增长可再生能源替代模型中，太阳能板的发电效率(\eta(T)=0.2-0.001T^2)，其中(T)为环境温度（单位：℃）。若(T\simU(0,30))（均匀分布），则平均效率为（）A.(0.2-0.001\times\frac{30^3}{3}=-0.7)（无效）B.(0.2-0.001\times\frac{30^2}{2}=0.05)C.(0.2-0.001\times30^2=-0.7)（无效）D.(0.2-0.001\times\frac{30}{2}=0.185)绿色建筑设计中，某建筑的能源消耗函数为(E(x)=x^3-12x^2+36x+10)，其中(x)为保温材料厚度（单位：cm）。则最低能耗对应的厚度为（）A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm垃圾分类处理的成本函数为(C(n)=5000+100n+\frac{10000}{n})，其中(n)为分类站点数量。若要使平均成本最低，则(n)的值为（）A.10B.20C.30D.40森林碳汇模型中，树木的固碳量(Q(t)=100t-5t^2)（单位：kg），其中(t)为树龄（单位：年）。则树木的最佳砍伐期为（）A.5年B.10年C.15年D.20年水资源分配问题中，两城市的用水量(x,y)满足约束条件(x+y\leq100)，(x\geq0)，(y\geq0)，效益函数为(U(x,y)=xy-x^2-y^2)。则最大效益为（）A.0B.(\frac{2500}{3}\approx833.33)C.1250D.2500可持续发展评估的综合指数(S=\int_0^1(x^2+2x+3)dx)，其值为（）A.(\frac{1}{3}+1+3=\frac{13}{3}\approx4.33)B.(\frac{1}{3}+1+3=\frac{13}{3}\approx4.33)C.(\frac{1}{3}+1+3=\frac{13}{3}\approx4.33)D.以上均正确二、填空题（每小题5分，共50分）新能源汽车电池衰减模型中，电池容量(C(t)=C_0e^{-0.02t})（(t)为使用年数）。若容量衰减至初始值的80%时需更换电池，则更换周期为(t=)________年（精确到小数点后1位）。工业废水处理中，污染物浓度(c(t)=\frac{100}{1+t^2})（单位：mg/L），则前10分钟内的平均浓度为________mg/L。风电功率预测中，风速(v(t)=5+3\sin(\frac{\pit}{12}))（单位：m/s），功率(P=0.5v^3)（单位：kW）。则一天内的总发电量为________kWh。生态足迹计算中，某地区的人均资源消耗函数为(f(x)=x^2-10x+30)（(x)为人口密度，单位：百人/km²）。则最小人均生态足迹为________。碳税政策下，企业的减排成本(C(e)=0.5e^2-10e+100)（(e)为减排量，单位：吨），若碳税为20元/吨，则企业的最优减排量为________吨。绿色供应链的运输成本函数为(C(d)=2d+\frac{1000}{d})（(d)为运输距离，单位：km），则最低成本对应的距离为________km。光伏电站选址中，某地的太阳辐射强度(I(\theta)=1000\cos\theta)（(\theta)为太阳高度角，单位：弧度），一天内(\theta\in[0,\frac{\pi}{2}])，则日均辐射量为________kWh/m²。生物降解率模型为(R(t)=1-e^{-0.05t})（(t)为时间，单位：天），则降解50%所需时间为________天（精确到整数）。城市绿化覆盖率与温度的关系为(T(p)=30-0.1p)（(p)为覆盖率，单位：%），若温度每降低1℃可减少空调能耗2000万元，则覆盖率从30%提升至50%的节能效益为________万元。可持续发展目标（SDG）的达成度函数为(S(t)=\frac{100}{1+e^{-0.5t}})（(t)为年份，2020年对应(t=0)），则2030年（(t=10)）的达成度为________%（精确到整数）。三、计算题（每小题10分，共100分）21.可再生资源管理某渔业资源的种群数量满足逻辑斯谛方程：[\frac{dN}{dt}=0.2N\left(1-\frac{N}{1000}\right)-h]其中(h)为捕捞量（单位：吨/年）。（1）求种群数量稳定时的(N)与(h)的关系；（2）若要实现可持续捕捞（即稳定种群数量(N\geq500)），求最大允许捕捞量(h_{\text{max}})。解答：（1）令(\frac{dN}{dt}=0)，得(0.2N\left(1-\frac{N}{1000}\right)=h)，整理得：[h=0.2N-0.0002N^2]（2）当(N=500)时，(h=0.2\times500-0.0002\times500^2=100-50=50)吨/年。对(h(N))求导得(h'(N)=0.2-0.0004N)，令(h'(N)=0)得(N=500)，故(h_{\text{max}}=50)吨/年。22.碳排放峰值计算某地区的碳排放量(C(t)=1000e^{0.05t}-50t^2)（单位：万吨），(t\geq0)（(t=0)对应2025年）。（1）求排放量的极值点；（2）判断该极值点是否为峰值（即排放量从此下降）。解答：（1）求导得(C'(t)=50e^{0.05t}-100t)，令(C'(t)=0)，即(e^{0.05t}=2t)。通过数值解法（如二分法），解得(t\approx10)年（2035年）。（2）二阶导数(C''(t)=2.5e^{0.05t}-10)，当(t=10)时，(C''(10)=2.5e^{0.5}-10\approx2.5\times1.648-10\approx-5.88<0)，故为极大值点，即峰值。23.新能源投资组合某公司计划投资太阳能（(x)）和风能（(y)）项目，总预算为100百万元，收益函数为(R(x,y)=10\sqrt{x}+15\sqrt{y})。（1）求最大收益；（2）若政府对太阳能项目补贴50%（即实际成本为(0.5x)），求新的最大收益。解答：（1）约束条件(x+y=100)，拉格朗日函数(L=10\sqrt{x}+15\sqrt{y}+\lambda(x+y-100))。求导得(\frac{5}{\sqrt{x}}=\lambda)，(\frac{7.5}{\sqrt{y}}=\lambda)，故(\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}=\frac{7.5}{5}=1.5)，即(y=2.25x)。代入(x+y=100)，解得(x=32)，(y=68)，最大收益(R=10\sqrt{32}+15\sqrt{68}\approx56.56+124.23=180.79)百万元。（2）补贴后约束条件(0.5x+y=100)，同理解得(x=64)，(y=68)，收益(R=10\sqrt{64}+15\sqrt{68}\approx80+124.23=204.23)百万元。24.生态保护区规划某保护区的面积为(D:x^2+y^2\leq100)（单位：km²），核心区为(x^2+y^2\leq25)。若单位面积的生物多样性指数为(f(x,y)=x^2+y^2+10)，求整个保护区的平均生物多样性指数。解答：平均指数(\bar{f}=\frac{1}{\pi\times10^2}\iint_D(x^2+y^2+10)dxdy)。极坐标下(D:0\leqr\leq10)，(0\leq\theta\leq2\pi)，积分变为：[\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{10}(r^2+10)rdr=2\pi\int_0^{10}(r^3+10r)dr=2\pi\left[\frac{r^4}{4}+5r^2\right]_0^{10}=2\pi(2500+500)=6000\pi]平均指数(\bar{f}=\frac{6000\pi}{100\pi}=60)。25.碳捕捉技术某碳捕捉装置的效率函数为(\eta(x)=\frac{x}{1+x})（(x)为投入，单位：百万元），碳排放速率为(c(t)=10e^{0.02t})（单位：吨/年）。若装置运行10年，求总捕捉量。解答：总捕捉量(Q=\int_0^{10}\eta(x)c(t)dt=\int_0^{10}\frac{x}{1+x}\cdot10e^{0.02t}dt)。假设投入(x=1)（百万元），则(\eta=0.5)，故：[Q=0.5\times10\int_0^{10}e^{0.02t}dt=5\left[\frac{e^{0.02t}}{0.02}\right]_0^{10}=250(e^{0.2}-1)\approx250\times0.2214=55.35)吨。26.绿色金融某绿色债券的现值(P=\int_0^n100e^{-0.05t}dt+1000e^{-0.05n})（(n)为期限，单位：年）。若发行价为1000元，求债券的期限(n)。解答：令(P=1000)，则：[\int_0^n100e^{-0.05t}dt+1000e^{-0.05n}=1000]积分得(2000(1-e^{-0.05n})+1000e^{-0.05n}=1000)，化简：[2000-1000e^{-0.05n}=1000\Rightarrowe^{-0.05n}=1\Rightarrown=0]（矛盾，说明需提高票面利率）。若票面利率为10%，则(P=100\int_0^ne^{-0.05t}dt+1000e^{-0.05n}=2000(1-e^{-0.05n})+1000e^{-0.05n}=2000-1000e^{-0.05n})。令(P=1000)，解得(e^{-0.05n}=1\Rightarrown=0)（仍矛盾，需调整参数）。27.可持续农业某农田的产量函数为(Y(k)=100k-k^2)（(k)为化肥用量，单位：kg/亩），化肥的环境成本为(C(k)=0.1k^2)。求经济与环境协调的最佳化肥用量。解答：净收益函数(\pi(k)=Y(k)-C(k)=100k-k^2-0.1k^2=100k-1.1k^2)。求导得(\pi'(k)=100-2.2k=0\Rightarrowk=\frac{100}{2.2}\approx45.45)kg/亩。28.新能源汽车某电动车的电池容量(B(t)=100-5t)（单位：kWh），行驶功耗(p(v)=0.1v^2+2)（单位：kWh/km，(v)为速度km/h）。若要行驶最大距离，求最优速度(v)。解答：行驶时间(t=\frac{d}{v})，电池容量约束(B(t)=100-5\times\frac{d}{v}=0\Rightarrowd=20v)。功耗(p(v)d=(0.1v^2+2)d=(0.1v^2+2)\times20v=2v^3+40v)。最小功耗对应最大距离，求导得(6v^2+40=0)，无实根，故速度越小距离越大，但需考虑实际速度限制（如(v=10)km/h时，(d=200)km）。29.气候变化模型全球平均温度(T(t))满足微分方程(\frac{dT}{dt}=0.02-0.001T)（(t)为年，2025年(T=1.5℃)）。预测2100年（(t=75)）的温度。解答：方程为一阶线性微分方程，通解(T(t)=20+Ce^{-0.001t})。代入初始条件(T(0)=1.5=20+C\RightarrowC=-18.5)。2100年温度(T(75)=20-18.5e^{-0.075}\approx20-18.5\times0.9287=20-17.18=2.82℃)。30.可持续发展综合指数某地区的SDG指数由经济、环境、社会三个维度构成：经济指数(E(t)=0.3t)环境指数(V(t)=1-0.01t)社会指数(S(t)=0.5+0.02t)求2025-2035年（(t\in[0,10])）的平均综合指数（等权重）。解答：综合指数(I(t)=\frac{E(t)+V(t)+S(t)}{3}=\frac{0.3t+1-0.01t+0.5+0.02t}{3}=\frac{0.31t+1.5}{3})。平均指数(\bar{I}=\frac{1}{10}\int_0^{10}\frac{0.31t+1.5}{3}dt=\frac{1}{30}\left[0.155t^2+1.5t\right]_0^{10}=\frac{1}{30}(15.5+15)=\frac{30.5}{30}\approx1.02)。四、证明题（每小题10分，共20分）31.资源可持续利用的必要条件证明：对于逻辑斯谛增长模型(\frac{dN}{dt}=rN(1-\frac{N}{K})-h)，若(h>\frac{rK}{4})，则资源存量将趋于灭绝。证明：令(f(N)=rN(1-\frac{N}{K})-h)，二次函数开口向下，最大值(f_{\text{max}}=f(\frac{K}{2})=\frac{rK}{4}-h)。若(h>\frac{rK}{4})，则(f(N)<0)对所有(N)成立，故(\frac{dN}{dt}<0)，资源存量单调递减至0。32.碳排放与经济增长的脱钩设经济产出(Y(t)=Y_0e^{gt})，碳排放(C(t)=C_0e^{at})，证明：若(a<g)，则碳强度(\frac{C(t)}{Y(t)})随时间递减（即实现相对脱钩）。证明：碳强度(I(t)=\frac{C_0e^{at}}{Y_0e^{gt}}=\left(\frac{C_0}{Y_0}\right)e^{(a-g)t})。若(a<g)，则(a-g<0)，故(I(t))随(t)递减，实现相对脱钩。五、应用题（20分）33.可持续城市规划某城市的人口(P(t))（单位：万人）和绿地面积(G(t))（单位：km²）满足：[\frac{dP}{dt}=0.05P][\frac{dG}{dt}=0.1G+0.01P]初始条件(P(0)=100)，(G(0)=10)。（1）求(P(t))和(G(t))的表达式；（2）判断人均绿地面积(\frac{G(t)}{P(t)})是否趋于稳定值，若存在，求该值。解答：（1）人口(P(t)=100e^{0.05t})。绿地面积方程为线性非齐次方程(\frac{dG}{dt}-0.1G=0.01\times100e^{0.05t}=e^{0.05t})。通解(G(t)=e^{0.1t}\left(\inte^{-0.1t}e^{0.05t}dt+C\right)=e^{0.1t}\left(\inte^{-0.05t}dt+C\right)=e^{0.1t}\left(-20e^{-0.05t}+C\right)=-20e^{0.05t}+Ce^{0.1t})。初始条件(G(0)=10=-20+C\RightarrowC=30)，故(G(t)=30e^{0.1t}-20e^{0.05t})。（2）人均绿地面积(\frac{G(t)}{P(t)}=\frac{30e^{0.1t}-20e^{0.05t}}{