2025年高等数学数学之无私无畏试题

2025年高等数学数学之无私无畏试题一、选择题（共5小题，每小题5分，共25分）设函数$f(x)=\frac{\sinx}{x}$在$x=0$处连续，则补充定义$f(0)=$（）A.$0$B.$1$C.$-1$D.不存在解答过程：由重要极限$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$，且函数在$x=0$处连续需满足$f(0)=\lim_{x\to0}f(x)$，故$f(0)=1$，选B。曲线$y=x^3-3x^2+2$的拐点坐标为（）A.$(1,-0)$B.$(1,-1)$C.$(2,-2)$D.$(0,2)$解答过程：$y'=3x^2-6x$，$y''=6x-6$。令$y''=0$得$x=1$，此时$y=1-3+2=0$。当$x<1$时$y''<0$，$x>1$时$y''>0$，故拐点为$(1,0)$，选A。反常积分$\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx$收敛的充要条件是（）A.$p>1$B.$p\geq1$C.$p<1$D.$p\leq1$解答过程：当$p=1$时，$\int_1^{+\infty}\frac{1}{x}dx=\lim_{b\to+\infty}\lnb$发散；当$p\neq1$时，$\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx=\frac{1}{p-1}\lim_{b\to+\infty}(1-b^{1-p})$。若$p>1$，则$1-p<0$，$b^{1-p}\to0$，积分收敛；若$p<1$，积分发散。选A。设向量$\boldsymbol{a}=(1,2,3)$，$\boldsymbol{b}=(2,k,6)$，若$\boldsymbol{a}\parallel\boldsymbol{b}$，则$k=$（）A.$3$B.$4$C.$5$D.$6$解答过程：向量平行的充要条件是对应分量成比例，即$\frac{1}{2}=\frac{2}{k}=\frac{3}{6}$，解得$k=4$，选B。微分方程$y''+2y'+y=0$的通解为（）A.$y=(C_1+C_2x)e^{-x}$B.$y=C_1e^{-x}+C_2e^{x}$C.$y=C_1\cosx+C_2\sinx$D.$y=(C_1+C_2x)e^{x}$解答过程：特征方程为$r^2+2r+1=0$，即$(r+1)^2=0$，根为$r_1=r_2=-1$（二重根），通解为$y=(C_1+C_2x)e^{-x}$，选A。二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）设$f(x)=\begin{cases}x^2,&x\leq1\ax+b,&x>1\end{cases}$在$x=1$处可导，则$a=$，$b=$。解答过程：连续性：$1^2=a\cdot1+b\Rightarrowa+b=1$；可导性：左导数$f'-(1)=2$，右导数$f'+(1)=a$，故$a=2$，代入得$b=-1$。答案：$2$，$-1$。设$z=x^y$，则$\frac{\partialz}{\partialx}\bigg|{(2,1)}=$，$\frac{\partialz}{\partialy}\bigg|{(2,1)}=$__。解答过程：$\frac{\partialz}{\partialx}=yx^{y-1}$，$\frac{\partialz}{\partialy}=x^y\lnx$。代入$(2,1)$得$\frac{\partialz}{\partialx}=1\cdot2^{0}=1$，$\frac{\partialz}{\partialy}=2^1\ln2=2\ln2$。答案：$1$，$2\ln2$。交换二次积分次序：$\int_0^1dx\int_x^1f(x,y)dy=$______。解答过程：原积分区域为$0\leqx\leq1$，$x\leqy\leq1$，交换后为$0\leqy\leq1$，$0\leqx\leqy$，故积分变为$\int_0^1dy\int_0^yf(x,y)dx$。答案：$\int_0^1dy\int_0^yf(x,y)dx$。幂级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-2)^n}{n\cdot3^n}$的收敛半径为______。解答过程：令$t=x-2$，级数为$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{t^n}{n\cdot3^n}$，收敛半径$R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)\cdot3^{n+1}}{n\cdot3^n}=3$。答案：$3$。设$L$为从点$(0,0)$到$(1,1)$的直线段，则曲线积分$\int_L(x+y)ds=$______。解答过程：$L$的参数方程为$x=t$，$y=t$（$t:0\to1$），$ds=\sqrt{(1)^2+(1)^2}dt=\sqrt{2}dt$，积分$=\int_0^1(t+t)\sqrt{2}dt=\sqrt{2}\int_0^12tdt=\sqrt{2}\cdot[t^2]_0^1=\sqrt{2}$。答案：$\sqrt{2}$。三、解答题（共7小题，共100分）11.（10分）计算极限$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x-\frac{x^2}{2}}{x^3}$。解答过程：由泰勒公式$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3)$，代入得：原式$=\lim_{x\to0}\frac{(1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3))-1-x-\frac{x^2}{2}}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{x^3}{6}+o(x^3)}{x^3}=\frac{1}{6}$。12.（15分）设函数$y=y(x)$由方程$x^2+y^2-xy=1$确定，求$\frac{dy}{dx}$及函数的极值。解答过程：（1）隐函数求导：两边对$x$求导，$2x+2y\cdoty'-(y+xy')=0$，整理得$(2y-x)y'=y-2x$，故$\frac{dy}{dx}=\frac{y-2x}{2y-x}$。（2）求极值：令$y'=0$，即$y-2x=0\Rightarrowy=2x$，代入原方程$x^2+(2x)^2-x(2x)=1\Rightarrow3x^2=1\Rightarrowx=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$，对应$y=\pm\frac{2\sqrt{3}}{3}$。当$x=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$y=\frac{2\sqrt{3}}{3}$时，二阶导数$y''<0$，为极大值点，极大值$y=\frac{2\sqrt{3}}{3}$；当$x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$，$y=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$时，二阶导数$y''>0$，为极小值点，极小值$y=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$。13.（15分）计算不定积分$\int\frac{xe^x}{(1+x)^2}dx$。解答过程：分部积分法：设$u=xe^x$，$dv=\frac{1}{(1+x)^2}dx$，则$du=(e^x+xe^x)dx=e^x(1+x)dx$，$v=-\frac{1}{1+x}$。原式$=-\frac{xe^x}{1+x}+\int\frac{e^x(1+x)}{1+x}dx=-\frac{xe^x}{1+x}+\inte^xdx=-\frac{xe^x}{1+x}+e^x+C=\frac{e^x}{1+x}+C$。14.（15分）计算定积分$\int_0^{\pi}\sqrt{1+\cos2x}dx$。解答过程：利用三角恒等式$1+\cos2x=2\cos^2x$，则$\sqrt{1+\cos2x}=\sqrt{2}|\cosx|$。积分区间$[0,\pi]$内，$\cosx$在$[0,\frac{\pi}{2}]$非负，$[\frac{\pi}{2},\pi]$非正，故：原式$=\sqrt{2}\left(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cosxdx+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}(-\cosx)dx\right)=\sqrt{2}\left([\sinx]0^{\frac{\pi}{2}}-[\sinx]{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\right)=\sqrt{2}\left(1-(0-1)\right)=2\sqrt{2}$。15.（15分）求曲面$z=x^2+y^2$与平面$z=4$所围立体的体积。解答过程：立体在$xOy$面投影为圆域$D:x^2+y^2\leq4$（极坐标下$0\leq\theta\leq2\pi$，$0\leqr\leq2$）。体积$V=\iint_D(4-(x^2+y^2))dxdy$，极坐标转换：$x^2+y^2=r^2$，$dxdy=rdrd\theta$，$V=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^2(4-r^2)rdr=2\pi\int_0^2(4r-r^3)dr=2\pi\left[2r^2-\frac{r^4}{4}\right]_0^2=2\pi\left(8-4\right)=8\pi$。16.（15分）求微分方程$y''-3y'+2y=e^x$的通解。解答过程：（1）齐次方程$y''-3y'+2y=0$，特征方程$r^2-3r+2=0$，根$r_1=1$，$r_2=2$，齐次通解$Y=C_1e^x+C_2e^{2x}$。（2）非齐次特解：$f(x)=e^x$，$\lambda=1$是单特征根，设特解$y^=x\cdotAe^x$，则$y^'=Ae^x(1+x)$，$y^''=Ae^x(2+x)$，代入方程：$Ae^x(2+x)-3Ae^x(1+x)+2Ae^x\cdotx=e^x\Rightarrow(-A)e^x=e^x\RightarrowA=-1$，故$y^=-xe^x$。（3）通解$y=Y+y^*=C_1e^x+C_2e^{2x}-xe^x$。17.（15分）设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，且$\int_0^1f(x)dx=A$，计算$I=\int_0^1dx\int_x^1f(x)f(y)dy$。解答过程：积分区域为$D:0\leqx\leq1$，$x\leqy\leq1$，交换积分次序得$I=\int_0^1dy\int_0^yf(x)f(y)dx$。令$F(x)=\int_0^xf(t)dt$，则$F'(x)=f(x)$，且$F(0)=0$，$F(1)=A$。$I=\int_0^1f(y)\left(\int_0^yf(x)dx\right)dy=\int_0^1f(y)F(y)dy=\int_0^1F(y)dF(y)=\frac{1}{2}F^2(y)\bigg|_0^1=\frac{1}{2}A^2$。18.（10分）证明：当$x>0$时，$\ln(1+x)>\frac{x}{1+x}$。解答过程：设$f(x)=\ln(1+x)-\frac{x}{1+x}$，$x>0$。$f'(x)=\frac{1}{1+x}-\frac{(1+x)-x}{(1+x)^2}=\frac{1}{1+x}-\frac{1}{(1+x)^2}=\frac{x}{(1+x)^2}>0$（$x>0$），故$f(x)$在$(0,+\infty)$单调递增。又$f(0)=\ln1-0=0$，因此当$x>0$时，$f(x)>f(0)=0$，即$\ln(1+x)>\frac{x}{1+x}$。四、附加题（共20分）19.（20分）设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内二阶可导，且$f(a)=f(b)=0$，$f\left(\frac{a+b}{2}\right)=1$，证明：存在$\xi\in(a,b)$，使得$f''(\xi)\leq-\frac{8}{(b-a)^2}$。解答过程：将$f(x)$在$x=\frac{a+b}{2}$处泰勒展开（二阶）：$f(x)=f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f'\left(\frac{a+b}{2}\right)\left(x-\frac{a+b}{2}\right)+\frac{f''(\