人教新版八上数学第十五章检测卷【新考向情景题阶段测试卷】（解析版）

【新考向情景题阶段测试卷】人教新版八上数学第十五章检测卷时间：90分钟满分：100分一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是符合题意的)1.(日常生活情境二十四节气)“二十四节气”是中国人通过观察太阳周年运动，认知一年中时令、气候、物候等方面变化规律所形成的知识体系和社会实践.下面四幅图分别代表二十四节气中的“立春”“雨水”“大雪”“冬至”，其中是轴对称图形的是()ABCD1.B2.蝴蝶标本可以近似地看作是轴对称图形，如图，将一只蝴蝶标本放在平面直角坐标系中，若图中点A的坐标为(－3，2)，则其关于y轴对称的点B的坐标为()A.(3，－2) B.(2，3) C.(－3，2) D.(3，2)第2题图2.D3.如图，在△ABC中，已知∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝4，P为BC上一动点(不与点B，C重合)，则AP长度的取值范围为()A.4＜AP＜8 B.4≤AP＜8 C.4＜AP≤8 D.4≤AP≤8第3题图3.A【解析】∵∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝4，∴AC＝8，∵P为BC上一动点且不与点B，C重合，∴AP长度的取值范围为4＜AP＜8.4.如图，已知直线l1∥l2，且l1，l2分别经过等边△ABC的顶点A，C，已知∠1＝32°，则∠2的度数为()A.28° B.32° C.60° D.92°第4题图4.D【解析】∵直线l1∥l2，∠1＝32°，∴∠1＋∠BAC＝∠2，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠2＝32°＋60°＝92°.5.如图，已知△ABD与△CDB关于直线l对称，AD，BC以及对称轴交于点E，若∠C＝32°，∠CDB＝110°，则∠ABE的度数为()A.72° B.75° C.80° D.85°第5题图5.A【解析】∵在△CDB中，∠C＝32°，∠CDB＝110°，∴∠CBD＝180°－32°－110°＝38°.∵△ABD与△CDB关于直线l对称，∴∠ABD＝∠CDB＝110°，∴∠ABE＝∠ABD－∠CBD＝110°－38°＝72°.6.如图，在△ABC中，ED是AB的垂直平分线，连接AD，若△ADC的周长为18，AC＝5，则BC的长为()A.5 B.13 C.18 D.23第6题图6.B【解析】∵△ADC的周长为18，∴AD＋CD＋AC＝18，∵ED是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴BD＋CD＋AC＝18，即BC＋AC＝18，∵AC＝5，∴BC＝18－5＝13.7.如图，已知AD所在直线是△ABC的对称轴，点E与点F，点M与点N分别关于直线AD对称，若AD＝BC＝12，则图中阴影部分的面积为()A.24 B.30 C.36 D.41第7题图7.C【解析】∵AD所在直线是△ABC的对称轴，∴AD⊥BC，BD＝CD，∵点E与点F，点M与点N分别关于直线AD对称，∴S△EDM＝S△FDN，则S阴影＝S△ABD，∵AD＝BC＝12，∴BD＝6，∴S△ABD＝12BD·AD＝18.如图，已知D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝6，BC＝4，则BD的长为()A.1 B.32 C.2 D.第8题图8.A【解析】如解图，延长BD交AC于点E，∵∠A＝∠ABD，∴BE＝AE，∵BD⊥CD，即BE⊥CD，∴∠BDC＝∠CDE＝90°，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ECD，∴∠EBC＝∠BEC，∴△BEC为等腰三角形，∴BC＝CE，∵BE⊥CD，∴BE＝BD＋DE＝2BD，∵AC＝6，BC＝4，∴CE＝4，∴AE＝AC－EC＝2，∴BE＝2，∴BD＝1.第8题解图9.如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，P是BC上一点，过点P分别作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，已知BD＝8，则PE＋PF的值为()A.2 B.4 C.8 D.16第9题图9.C【解析】如解图，连接AP.∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴S△ABP＝12AB·PE，S△ACP＝12AC·PF.∵△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，∴AB＝AC，BD⊥AC，∴S△ABC＝12AC·BD.∵S△ABC＝S△ABP＋S△ACP＝12AB·PE＋12AC·PF＝12AC·PE＋12AC·PF＝12AC·(PE＋PF)＝12AC第9题解图10.如图，在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC边上一动点(不与点B，C重合)，连接AD，作∠ADE＝∠B，交AC于点E，有以下结论：①∠BAD＝∠CDE；②当AD＝DE时，∠DAE＝65°；③当D为BC的中点时，DE垂直平分AC；④当∠BAD＝22.5°时，BD＝CE，其中正确的结论为()A.①③ B.①④ C.①③④ D.②③④第10题图10.C【解析】∵∠ADE＝∠B，∠ADE＋∠CDE＝∠B＋∠BAD，∴∠CDE＝∠BAD，故结论①正确；∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∴∠ADE＝45°，当AD＝DE时，∠DAE＝∠DEA＝12(180°－∠ADE)＝67.5°≠65°，故结论②错误；当D为BC的中点时，AD垂直平分BC，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝90°－∠C＝45°，∴△ADC是等腰直角三角形，∴∠ADE＝∠CDE＝45°，∴DE垂直平分AC，故结论③正确；当∠BAD＝22.5°时，∠CDE＝∠BAD＝22.5°，∠DAC＝90°－∠BAD＝67.5°，∵∠ADE＝∠B＝45°，∴∠ADC＝∠B＋∠BAD＝67.5°，∴∠ADC＝∠DAC，∴AC＝DC＝AB，在△ABD和△DCE中，∠B=∠C，AB=DC，∠BAD=∠CDE，∴△ABD≌△二、填空题(共5小题，每小题3分，共15分)11.(传统文化情境中国建筑)江苏苏州的重元寺拥有全国最高的水上观音阁，如图①为观音阁的俯瞰图，图②为其抽象出的示意图，已知该图形是轴对称图形，则它的对称轴一共有条.第11题图11.2【解析】如解图所示，共有2条对称轴．第11题解图如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD＝40，∠C＝15°，∠ADB＝30°，则AB的长为.第12题图12.20【解析】∵∠ADB＝30°，∠C＝15°，∠ADB＝∠C＋∠CAD，∴∠CAD＝∠ADB－∠C＝15°，∴∠C＝∠CAD，∴AD＝CD＝40，在Rt△ABD中，∠B＝90°，∠ADB＝30°，∴AB＝12AD13.若等腰三角形的一个内角为50°，则它的底角度数为.13.65°或50°【解析】分情况讨论如下：①当50°为顶角时，底角的度数为(180°－50°)÷2＝65°；②50°为底角．综上所述，这个等腰三角形的底角度数为65°或50°.14.(一题多解法)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，D是AC边的中点，连接BD，E是AB边上一点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，且CF＝CD，若DE＝2，则EF的长为.第14题图14.(一题多解法)解法一：6【解析】∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，∵CF＝CD，∴∠CDF＝∠F＝12∠ACB＝30°.∵△ABC是等边三角形，D是边AC的中点，∴BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝12∠ABC＝30°，∴∠CBD＝∠∴BD＝DF，∠BDE＝∠CBD＋∠F＝30°＋30°＝60°，∴∠BEF＝180°－∠EBD－∠EDB＝180°－30°－60°＝90°，∵DE＝2，∴在Rt△BED中，BD＝2DE＝4，∴DF＝BD＝4，∴EF＝DE＋DF＝6.解法二：6【解析】如解图，过点D作DG⊥BC于点G.∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°.∵CD＝CF，∴∠CDF＝∠F＝12∠ACB＝30°，∴∠ADE＝30°，∴∠AED＝180°－∠ADE－∠A＝180°－30°－60°＝90°，即EF⊥AB.∵△ABC是等边三角形，D是AC边的中点，∴BD平分∠ABC，∴DG＝DE＝2，在Rt△DFG中，DF＝2DG＝4，∴EF＝DE＋DF第14题解图15.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，AD是BC边上的高，已知BD＝3，AD＝4，E，F分别是AD，AB上的动点，连接BE，EF，则BE＋EF的最小值为.第15题图15.245【解析】如解图，过点C作CF′⊥AB于点F′，交AD于点E′，连接BE′，因为AB＝AC，AD⊥BC，所以AD垂直平分BC，所以BE′＝CE′，BC＝2BD＝6，所以BE′＋E′F′＝CE′＋E′F′＝CF′，根据垂线段最短可得，当点E位于点E′处，点F位于点F′处时，BE＋EF取得最小值，最小值即为CF′的长，因为S△ABC＝12BC·AD＝12AB·CF′，即6×4＝5CF′，解得CF′＝245，所以BE＋第15题解图三、解答题(共8小题，共55分.解答应写出过程)16.(6分)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，CE⊥AB于点E.证明：∠BCE＝∠CAD.第16题图16.证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴∠B＝∠ACB，AD⊥BC，∵CE⊥AB，∴∠CEB＝∠ADC＝90°，∴∠BCE＝90°－∠B，∠CAD＝90°－∠ACB，∴∠BCE＝∠CAD.(6分)17.(6分)写出下列命题的逆命题，并判断逆命题是否成立.(1)等腰三角形的两个底角相等；(2)全等的两个直角三角形的斜边相等；(3)如果a＝b，那么ac＝bc.17.解：(1)逆命题：如果一个三角形中有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形．(1分)根据等角对等边可以判断这个逆命题是成立的；(2分)(2)逆命题：如果两个直角三角形的斜边相等，那么这两个直角三角形全等．(3分)在两个直角三角形中，只知道一个直角对应相等，一条斜边对应相等，无法判定这两个直角三角形全等，故这个逆命题不一定成立；(4分)(3)逆命题：如果ac＝bc，那么a＝b.(5分)当c＝0时，a和b可以是任意数字，故这个逆命题不一定成立．(6分)18.(6分)(日常生活情境确定配送站位置)如图，AB，CD是两条街道，C，D是其中一条街道两端的两个小区，某物流公司计划修建一个配送站P，使配送站P到两条街道的距离相等且到C，D两个小区的距离也相等.请你画出配送站P的位置.(不写作法，保留作图痕迹)第18题图18.解：配送站P的位置如解图所示．(6分)第18题解图19.(6分)如图，△ABC为等边三角形，D为AB上一点，过点D作∠DCE＝60°，BE∥AC，连接DE.求证：△CDE为等边三角形.第19题图19.证明：∵△ABC为等边三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝∠CAD＝60°，∵BE∥AC，∴∠CBE＝∠ACB，∴∠CBE＝∠CAD，∵∠DCE＝60°，∴∠DCB＋∠BCE＝∠DCB＋∠ACD＝60°，∴∠BCE＝∠ACD，(3分)在△BCE和△ACD中，∠CBE=∠CAD∴△BCE≌△ACD(ASA)，∴CE＝CD，∵∠DCE＝60°，∴△CDE为等边三角形．(6分)20.(6分)如图，在单位长度为1的正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，点C的坐标为(3，－1).(1)请在图中的网格中画出以水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向的平面直角坐标系及△ABC关于x轴对称的图形△A'B'C'；(2)点A'的坐标为；(3)在x轴上是否存在一点P，使PB＋PC的值最小，若存在，请找出点Р的位置，并保留作图痕迹.第20题图20.解：(1)在图中的网格中画出平面直角坐标系及△A′B′C′如解图所示；(2分)(2)(－2，2)；(4分)(3)如解图，P即为所求作的点．(作法不唯一)(6分)第20题解图21.(7分)如图，在△ABC中，E是AC边上一点，连接BE，D，M分别是BC，BD的中点，连接AD，AM，分别与BE交于点F，G.已知AM，BE分别垂直平分BD，AD.(1)求∠AEF的度数；(2)连接DE，判断点E是否在线段BC的垂直平分线上？并说明理由.第21题图21.解：(1)∵AM，BE分别垂直平分BD，AD，∴AB＝AD＝BD，∠AFE＝90°，∴△ABD为等边三角形，∴∠ADB＝60°.∵D是边BC的中点，∴AD＝BD＝CD.∴∠CAD＝∠C＝30°，∴∠AEF＝180°－∠CAD－∠AFE＝180°－30°－90°＝60°；(3分)(2)点E在线段BC的垂直平分线上．(4分)理由如下：(关键点：要说明点E在线段BC的垂直平分线上，则要证明DE垂直平分BC，即DE⊥BC且BD＝CD)∵BE垂直平分AD，∴EB平分∠AED，由(1)可知∠AEF＝60°，∴∠DEF＝∠AEF＝60°.∴∠DEC＝180°－∠AEF－∠DEF＝180°－60°－60°＝60°，∴∠EDC＝180°－∠C－∠DEC＝90°，∴DE⊥BC.∵D是边BC的中点，∴BD＝CD，∴DE垂直平分BC，∴点E在线段BC的垂直平分线上．(7分)22.(8分)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是AC右侧的线段，且AD＝AC，连接BD交AC于点F，交∠CAD的平分线AE于点E，连接CE.(1)求证：∠BAC＝∠BEC；(2)若∠ABC＝60°，则线段AE，CE，BE之间存在怎样的数量关系，并说明理由.第22题图22.(1)证明：∵AE平分∠CAD，∴∠CAE＝∠DAE，在△ACE和△ADE中，AC=AD∴△ACE≌△ADE(SAS)，∴∠ACE＝∠D，又∵AB＝AC＝AD，∴∠ABD＝∠D＝∠ACE.在△ABF和△ECF中，∠BAF＝180°－∠ABF－∠AFB，∠CEF＝180°－∠ECF－∠CFE，∵∠AFB＝∠CFE，∴∠BAF＝∠CEF，即∠BAC＝∠BEC；(3分)(2)解：AE＋CE＝BE.(4分)理由如下：如解图，在BE上截取BG＝CE，连接AG，由(1)可知∠ABG＝∠ACE，∵AB＝AC，∴△ABG≌△ACE(SAS)，(5分)∴AG＝AE，∠BAG＝∠CAE，又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠EAG＝∠FAG＋∠CAE＝∠FAG＋∠BAG＝∠BAC＝60°，∴△AEG是等边三角形，∴AE＝EG，则AE＋CE＝EG＋BG＝BE.(8分)第22题解图23.(10分)如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，D是射线BC上一点(不与点B，C重合)，连接AD，以AD为腰，点A为顶点，在AD的左侧作等腰△ADE，使得∠DAE＝∠BAC，连接BE.(1)如图①，当点D在BC边上，且∠BAC＝90°时，求∠DBE的度数；(2)