北京首都医科大学附属中学初中部九年级上册压轴题数学模拟试卷含详细答案

北京首都医科大学附属中学初中部九年级上册压轴题数学模拟试卷含详细答案一、压轴题1．如图，在直角中，，，作的平分线交于点，在上取点，以点为圆心经过、两点画圆分别与、相交于点、（异于点）．（1）求证：是的切线；（2）若点恰好是的中点，求的长；（3）若的长为．①求的半径长；②点关于轴对称后得到点，求与的面积之比．2．将抛物线向下平移6个单位长度得到抛物线，再将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线．（1）直接写出抛物线，的解析式；（2）如图（1），点在抛物线对称轴右侧上，点在对称轴上，是以为斜边的等腰直角三角形，求点的坐标；（3）如图（2），直线（，为常数）与抛物线交于，两点，为线段的中点；直线与抛物线交于，两点，为线段的中点．求证：直线经过一个定点．3．某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°的角，将该纸条从右往左平移．（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形时，求证：四边形是菱形．（3）设平移的距离为，两张纸条重叠部分的面积为．求s与x的函数关系式，并求s的最大值．4．在平面直角坐标系中，将函数y＝x2﹣2mx+m（x≤2m，m为常数）的图象记为G，图象G的最低点为P(x0，y0)．（1）当y0＝﹣1时，求m的值．（2）求y0的最大值．（3）当图象G与x轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为x1，则x1的取值范围是．（4）点A在图象G上，且点A的横坐标为2m﹣2，点A关于y轴的对称点为点B，当点A不在坐标轴上时，以点A、B为顶点构造矩形ABCD，使点C、D落在x轴上，当图象G在矩形ABCD内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．5．如图1，抛物线的顶点在轴上，交轴于，将该抛物线向上平移，平移后的抛物线与轴交于，顶点为．（1）求点的坐标和平移后抛物线的解析式；（2）点在原抛物线上，平移后的对应点为，若，求点的坐标；（3）如图2，直线与平移后的抛物线交于．在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．6．直线m∥n，点A、B分别在直线m，n上（点A在点B的右侧），点P在直线m上，AP＝AB，连接BP，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，连接AC交直线n于点E，连接PC，且ABE为等边三角形．（1）如图①，当点P在A的右侧时，请直接写出∠ABP与∠EBC的数量关系是，AP与EC的数量关系是．（2）如图②，当点P在A的左侧时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）如图②，当点P在A的左侧时，若△PBC的面积为，求线段AC的长．7．如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为OC上动点(与点O不重合)，作AF⊥BE，垂足为G，交BO于H．连接OG、CG．(1)求证：AH=BE；(2)试探究：∠AGO的度数是否为定值？请说明理由；(3)若OG⊥CG，BG=，求△OGC的面积．8．如图，已知点A、C在双曲线上，点B、D在双曲线上，AD//BC//y轴.(I)当m=6，n=-3，AD=3时，求此时点A的坐标；(II)若点A、C关于原点O对称，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由；(III)若AD=3，BC=4，梯形ABCD的面积为，求mn的最小值.9．将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点B在第一象限，，，点P在边上（点P不与点重合）．（1）如图①，当时，求点P的坐标；（2）折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且，点O的对应点为，设．①如图②，若折叠后与重叠部分为四边形，分别与边相交于点，试用含有t的式子表示的长，并直接写出t的取值范围；②若折叠后与重叠部分的面积为S，当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．（1）求抛物线解析式．（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．（3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，在中，为边的中点，为线段上一点，连结并延长交边于点，过点作的平行线，交射线于点，设．（1）当时，求的值；（2）设，求关于的函数关系式；（3）当时，求的值．12．已知，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为．（1）如图1，分别求的值；（2）如图2，点为第一象限的抛物线上一点，连接并延长交抛物线于点，，求点的坐标；（3）在（2）的条件下，点为第一象限的抛物线上一点，过点作轴于点，连接、，点为第二象限的抛物线上一点，且点与点关于抛物线的对称轴对称，连接，设，，点为线段上一点，点为第三象限的抛物线上一点，分别连接，满足，，过点作的平行线，交轴于点，求直线的解析式．13．如图，在直角坐标系中，点在第一象限，轴于，轴于，，，有一反比例函数图象刚好过点．（1）分别求出过点的反比例函数和过，两点的一次函数的函数表达式；（2）直线轴，并从轴出发，以每秒个单位长度的速度向轴正方向运动，交反比例函数图象于点，交于点，交直线于点，当直线运动到经过点时，停止运动．设运动时间为（秒）．①问：是否存在的值，使四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；②若直线从轴出发的同时，有一动点从点出发，沿射线方向，以每秒个单位长度的速度运动．是否存在的值，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形；若存在，求出的值，并进一步探究此时的四边形是否为特殊的平行四边形；若不存在，说明理由．14．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（3，0），B（0，3）两点．（1）求此抛物线的解析式和直线AB的解析式；（2）如图①，动点E从O点出发，沿着OA方向以1个单位/秒的速度向终点A匀速运动，同时，动点F从A点出发，沿着AB方向以个单位/秒的速度向终点B匀速运动，当E，F中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，连接EF，设运动时间为t秒，当t为何值时，△AEF为直角三角形？（3）如图②，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A，B处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P与A，B两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点P的坐标；如果不存在，请简要说明理由．15．我们规定：有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为的凸四边形叫做“准筝形”．（1）如图1，在四边形中，，，，求证：四边形是“准筝形”；（2）如图2，在“准筝形”中，，，，，求的长；（3）如图3，在中，，，，设是所在平面内一点，当四边形是“准筝形”时，请直接写出四边形的面积．16．如图①，在矩形中，cm，，点从点出发，沿射线以(cm/s)的速度匀速移动．连接，过点作,与射线相交于点，作矩形，连接．设点移动的时间为(s)，的面积为(cm2),与的函数关系如图②所示．(1)=；(2)求矩形面积的最小值；(3)当为等腰三角形时，求的值．17．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，记∠ABC＝α，点D为射线BC上的动点，连接AD，将射线DA绕点D顺时针旋转α角后得到射线DE，过点A作AD的垂线，与射线DE交于点P，点B关于点D的对称点为Q，连接PQ．（1）当△ABD为等边三角形时，①依题意补全图1；②PQ的长为；（2）如图2，当α＝45°，且BD＝时，求证：PD＝PQ；（3）设BC＝t，当PD＝PQ时，直接写出BD的长．（用含t的代数式表示）18．已知四边形是矩形．（1）如图1，分别是上的点，垂直平分，垂足为，连接．①求证：；②若，求的大小；（2）如图2，，分别是上的点，垂直平分，点是的中点，连接，若，直接写出的长．19．已知正方形ABCD中AC与BD交于点，点M在线段BD上，作直线AM交直线DC于E，过D作DH⊥AE于H，设直线DH交AC于N．(1)如图1，当M在线段BO上时，求证：MO=NO；(2)如图2，当M在线段OD上，连接NE和MN，当EN//BD时，①求证：四边形DENM是菱形；②求证：BM＝AB；(3)在图3，当M在线段OD上，连接NE，当NE⊥BC时，求证：AN2＝NCAC．20．如图，已知矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E是边CD上一个动点，连接AE，将△AED沿直线AE翻折得△AEF.(1)当点C落在射线AF上时，求DE的长;(2)以F为圆心，FB长为半径作圆F，当AD与圆F相切时，求cos∠FAB的值;(3)若P为AB边上一点，当边CD上有且仅有一点Q满∠BQP=45°，直接写出线段BP长的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）见解析；（2）；（3）①或；②或【解析】【分析】（1）连接DO，如图，先根据角平分线的定义以及平行线的性质，得出∠1=∠3，从而得到DO∥BC，再根据∠C=90°，可得出结果；（2）连接FO，根据E为中点，可以得出，在Rt△AOD中，可以求出sinA的值，从而得出∠A的度数，再证明△BOF为等边三角形，从而得出∠BOF的度数，根据弧长公式可得出结果；（3）①设圆的半径为r，过作于，则，四边形是矩形．再证明，得出，据此列方程求解；②作出点F关于BD的对称点F′，连接DE，DF，DF′，FF′，再证明，最后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解．【详解】（1）证明：连结，∵平分，∴，∵，∴．∴．∴．∵，∴．∴是的切线．（2）解：∵是中点，∴．∴，∴，．连接FO，又BO=OF，∴△BOF为等边三角形，∴．∴．（3）解：①过作于，则，四边形是矩形．设圆的半径为，则，．∵，∴．而，∴．∴即，解之得，．②作出点F关于BD的对称点F′，连接FF′，DE，DF，DF′，∵∠EBD=∠FBD，∴．∵是直径，∴，而、关于轴对称，∴，，DF=DF′，∴DE∥FF′，DE=DF′，∠DEF′=∠DF′E，∴，∴.当时，，，，由①知，而，∴.又易得△BCD∽△BDE,∴，∴BD2=.在Rt△BED中，DE2=BE2-BD2=4-=，∴DE==DF′.∴与的面积比．同理可得，当时，与的面积比．∴与的面积比为或．【点睛】本题是圆与相似的综合题，主要考查切线的判定，弧、弦长与圆周角的关系，弧长的求法，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识，解题的关键是根据题意作出辅助线再求解．2．（1）抛物线的解析式为：y=x2-4x-2；抛物线的解析式为：y=x2-6；（2）点的坐标为（5，3）或（4，-2）；（3）直线经过定点（0，2）【解析】【分析】（1）根据函数图象上下平移：函数值上加下减；左右平移：自变量左加右减写出函数解析式并化简即可；（2）先判断出点A、B、O、D四点共圆，再根据同弧所对的圆周角相等得到∠BDA=∠BOA=45°，从而证出是等腰直角三角形．设点A的坐标为（x，x2-4x-2），把DC和AC用含x的代数式表示出来，利用DC=AC列方程求解即可，注意有两种情况；（3）根据直线（，为常数）与抛物线交于，两点，联立两个解析式，得到关于x的一元二次方程，根据根与系数的关系求出点M的横坐标，进而求出纵坐标，同理求出点N的坐标，再用待定系数法求出直线MN的解析式，从而判断直线MN经过的定点即可．【详解】解：（1）∵抛物线向下平移6个单位长度得到抛物线，再将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，∴抛物线的解析式为：y=(x-2)2-6，即y=x2-4x-2，抛物线的解析式为：y=(x-2+2)2-6，即y=x2-6．（2）如下图，过点A作AC⊥x轴于点C，连接AD，∵是等腰直角三角形，∴∠BOA=45°，又∵∠BDO=∠BAO=90°，∴点A、B、O、D四点共圆，∴∠BDA=∠BOA=45°，∴∠ADC=90°-∠BDA=45°，∴是等腰直角三角形，∴DC=AC．∵点在抛物线对称轴右侧上，点在对称轴上，∴抛物线的对称轴为x=2，设点A的坐标为（x，x2-4x-2），∴DC=x-2，AC=x2-4x-2，∴x-2=x2-4x-2，解得：x=5或x=0（舍去），∴点A的坐标为（5，3）；同理，当点B、点A在x轴的下方时，x-2=-(x2-4x-2)，x=4或x=-1（舍去），∴点的坐标为（4，-2），综上，点的坐标为（5，3）或（4，-2）．（3）∵直线（，为常数）与抛物线交于，两点，∴，∴x2-kx-6=0，设点E的横坐标为xE，点F的横坐标为xF，∴xE+xF=k，∴中点M的横坐标xM==，中点M的纵坐标yM=kx=，∴点M的坐标为（，）；同理可得：点N的坐标为（，），设直线MN的解析式为y=ax+b（a≠0），将M（，）、N（，）代入得：，解得：，∴直线MN的解析式为y=·x+2（），不论k取何值时（），当x=0时，y=2，∴直线经过定点（0，2）．【点睛】本题考查二次函数综合应用，熟练掌握图象平移的规律、判断点A、B、O、D四点共圆的方法、用待定系数法求函数解析式的步骤是解题的关键．3．（1）三角形，四边形（梯形、菱形），五边形；（2）见解析；（3），s的最大值为．【解析】【分析】（1）根据平移过程中，重叠部分四边形的形状判定即可；（2）分别过点B、D作于点E、于点F，再根据纸条的特点证明四边形ABCD是平行四边形，再证明邻边相等即可证明；（3）分、、和x=四种情况分别求出s与x的函数关系式，然后再求最大值即可．【详解】解：（1）在平移过程中，重叠部分的形状分别为：三角形，四边形（梯形、菱形），五边形；（2）证明：分别过点B、D作于点E、于点F，∴∵两张纸条等宽，∴．在和中，∴，∵两张纸条都是矩形，，∴．∴四边形是平行四边形，又∵，∴四边形是菱形；（3）Ⅰ、如图：当时，重叠部分为三角形，如图所示，∴，∴．最大值为．Ⅱ、如图：当时，重叠部分为梯形，如图所示，梯形的下底为，上底为，∴，当时，s取最大值．Ⅲ、当时，重叠部分为五边形，．此时．Ⅳ、当时，重叠部分为菱形，∴．∴∴s的最大值为．【点睛】本题考查了平移变换、等腰直角三角形的性质、菱形的判定以及运用二次函数求最值，考查知识点较多，因此灵活运用所学知识成为解答本题的关键．4．（1）或﹣1；（2）；（3）0＜x1＜1；（4）m＝0或m＞或≤m＜1【解析】【分析】（1）分m＞0，m＝0，m＜0三种情形分别求解即可解决问题；（2）分三种情形，利用二次函数的性质分别求解即可；（3）由（1）可知，当图象G与x轴有两个交点时，m＞0，求出当抛物线顶点在x轴上时m的值，利用图象法判断即可；（4）分四种情形：①m＜0，②m＝0，③m＞1，④0＜m≤1，分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，当m＞0时，∵y＝x2﹣2mx+m＝（x﹣m）2﹣m2+m，图象G是抛物线在直线y＝2m的左侧部分（包括点D），此时最底点P（m，﹣m2+m），由题意﹣m2+m＝﹣1，解得m＝或（舍弃），当m＝0时，显然不符合题意，当m＜0时，如图2中，图象G是抛物线在直线y＝2m的左侧部分（包括点D），此时最底点P是纵坐标为m，∴m＝﹣1，综上所述，满足条件的m的值为或﹣1；（2）由（1）可知，当m＞0时，y0＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，∵﹣1＜0，∴m＝时，y0的最大值为，当m＝0时，y0＝0，当m＜0时，y0＜0，综上所述，y0的最大值为；（3）由（1）可知，当图象G与x轴有两个交点时，m＞0，当抛物线顶点在x轴上时，4m2﹣4m＝0，∴m＝1或0（舍弃），∴观察观察图象可知，当图象G与x轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为x1，则x1的取值范围是0＜x1＜1，故答案为0＜x1＜1；（4）当m＜0时，观察图象可知，不存在点A满足条件，当m＝0时，图象G在矩形ABCD内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，满足条件，如图3中，当m＞1时，如图4中，设抛物线与x轴交于E，F，交y轴于N，观察图象可知当点A在x轴下方或直线x＝﹣m和y轴之间时（可以在直线x＝﹣m上）时，满足条件．则有（2m﹣2）2﹣2m（2m﹣2）+m＜0，解得m＞，或﹣m≤2m﹣2＜0，解得≤m＜1（不合题意舍弃），当0＜m≤1时，如图5中，当点A在直线x＝﹣m和y轴之间时（可以在直线x＝﹣m上）时，满足条件．即或﹣m≤2m﹣2＜0，解得≤m＜1，综上所述，满足条件m的值为m＝0或m＞或≤m＜1．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的性质，最值问题，不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．5．（1）B点坐标(0，-1)，平移后的抛物线为；（2）点M的坐标为或；（3）存在，，，，，详解见解析．【解析】【分析】（1）将x=0代入抛物线公式求出y值，即可得到抛物线与y轴交点B的坐标，平移后的抛物线的顶点为E(1,4)，可根据顶点式求出平移后抛物线的解析式；（2）因为抛物线向上平移4个单位，所以MN=4，又因为OM=ON，可知点M的纵坐标为-2，将y=-2代入原抛物线，即可求出x值，点M的坐标就可以表示出来．（3）要使C、F、P为顶点的三角形为直角三角形，可以画一个以C、F为直径的圆（直径对应圆周角为直角），交抛物线对称轴x=-1可得点、的坐标解，另外可以使∠PCF=90°或∠CFP=90°，可分别得出点、的坐标解．【详解】解：（1）抛物线与y轴相交于点B，将x=0代入，求得y=-1，∴B点坐标(0，-1)．∵设平移后的抛物线为，顶点为E(1,4)，即h=1，k=4，∴，即平移后的抛物线为．（2）如上图所示，∵原坐标顶点A(1，0)，平移后抛物线顶点为E(1,4)，∴抛物线向上平移了4个单位，即MNy轴，MNx轴，又∵OM=ON，MN=4，∴点O在垂直平分线上，点M、N关于x轴对称，∴M点的纵坐标为–2，将代入，得：解得：，∴点M的坐标为或．（3）存在，且，，，．如图所示，点P一共有四种结果，∵C点为平移后的解析式与x轴的左交点，将y=0代入，得，∴C(-1，0)，且点B(0，-1)，将点B(0，-1)、C(-1，0)代入直线BC解析式为：，∴，解得：，即直线BC解析式：，根据题意可知，直线BC与平移后的解析式相交于点F，∴，解得：x=-1（舍）或4，y=-5，即F(4，-5)，∵要使C、F、P为顶点的三角形为直角三角形，可以画一个以C、F为直径的圆，该圆与抛物线对称轴x=-1交点即为点P（因为圆的直径对应的圆周角为90°，即∠CPF=90°）∴以C、F为直径的圆，圆心为线段CF的中点(，)，直径为线段CF的长，∴圆的方程为：，将x=1代入圆的方程，得：y=1或-6，即，，∵直线CF解析式：，即斜率k=-1，即直线CF与x轴夹角为45°，要使C、F、P为顶点的三角形为直角三角形，则使∠PCF=90°，直线CP与x轴夹角也为45°，即直线CP斜率为1，直线CP的解析式为：，此时该直线与抛物线对称轴x=1的交点为，又∵直线CF解析式：，即斜率k=-1，即直线CF与x轴夹角为45°，要使C、F、P为顶点的三角形为直角三角形，则使∠CFP=90°，直线FP与x轴夹角也为45°，即直线FP斜率为1，直线FP的解析式为：，此时该直线与抛物线对称轴x=1的交点为．【点睛】本题考查了一元二次函数与坐标轴、直线的交点，一元二次函数的平移及应用，圆的直径所对应的圆周角为直角等知识点，该题有一定的难度，所以一定要结合图形进行分析，这样才不会把解遗漏．6．（1）∠ABP＝∠EBC，AP＝EC；（2）成立，见解析；（3）【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，AB＝BE，根据旋转的性质得到∠CBP＝60°，BC＝BP，根据全等三角形的性质得到结论；（2）根据等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，AB＝BE，根据旋转的性质得到∠CBP＝60°，BC＝BP，根据全等三角形的性质得到结论；（3）过点C作CD⊥m于D，根据旋转的性质得到△PBC是等边三角形，求得PC＝3，设AP＝CE＝t，则AB＝AE＝3t，得到AC＝2t，根据平行线的性质得到∠CAD＝∠AEB＝60°，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：（1）∵△ABE是等边三角形，∴∠ABE＝60°，AB＝BE，∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，∴∠CBP＝60°，BC＝BP，∴∠ABP＝60°﹣∠PBE，∠CBE＝60°﹣∠PBE，即∠ABP＝∠EBC，∴△ABP≌△EBC（SAS），∴AP＝EC；故答案为：∠ABP＝∠EBC，AP＝EC；（2）成立，理由如下，∵△ABE是等边三角形，∴∠ABE＝60°，AB＝BE，∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，∴∠CBP＝60°，BC＝BP，∴∠ABP＝60°﹣∠PBE，∠CBE＝60°﹣∠PBE，即∠ABP＝∠EBC，∴△ABP≌△EBC（SAS），∴AP＝EC；（3）过点C作CD⊥m于D，∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，∴△PBC是等边三角形，∴PC2＝，∴PC＝3，设AP＝CE＝t，则AB＝AE＝3t，∴AC＝2t，∵m∥n，∴∠CAD＝∠AEB＝60°，∴AD＝AC＝t，CD＝AD＝t，∵PD2+CD2＝PC2，∴（2t）2+3t2＝9，∴t＝（负值舍去），∴AC＝2t＝．【点睛】本题主要考查等边三角形的判定及性质、旋转的性质应用、三角形全等的判定及性质、勾股定理等相关知识点，解题关键在于找到图形变化过程中存在的联系，类比推理即可得解．7．(1)见解析；(2)45°；(3)9.【解析】【分析】（1）利用正方形性质，证△ABH

≌△BCE.可得AH=BE

.（2）证△AOH∽△BGH，，，再证△OHG∽△AHB.，得∠AGO=∠ABO=45°；（3）先证△ABG

∽△BFG.

得,所以，AG·GF=BG

2

=（）2=18.

再证△AGO

∽△CGF.得,所以，GO·CG

=AG·GF=18.所以，S△OGC

=CG·GO.

【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABC=90°，AB=CB，∠ABO=∠ECB

=45°∵AF⊥BE,∴∠BAG+∠ABG=∠CBE

+∠ABG=90°.∴∠BAH=∠CBE.

∴△ABH

≌△BCE.

∴AH=BE

.

（2）∵∠AOH=∠BGH=90°,

∠AHO=∠BHG,

∴△AOH∽△BGH∴∴

∵∠OHG

=∠AHB.∴△OHG∽△AHB.

∴∠AGO=∠ABO=45°,即∠AGO的度数为定值（3）∵∠ABC=90°,AF⊥BE,∴∠BAG=∠FBG,∠AGB=∠BGF=90°,∴△ABG

∽△BFG.

∴,∴AG·GF=BG

2

=（）2=18.

∵△AHB∽△OHG，∴∠BAH=∠GOH=∠GBF.∵∠AOB=∠BGF=90°,∴∠AOG=∠GFC.

∵∠AGO=45°,CG⊥GO,∴∠AGO=∠FGC=45°.∴△AGO

∽△CGF.

∴,∴GO·CG

=AG·GF=18.∴S△OGC

=CG·GO=9.

【点睛】此题为综合题，要熟练掌握正方形性质和相似三角形判定方法还有相似三角形的性质.8．(I)点的坐标为；(II)四边形是平行四边形，理由见解析；(III)的最小值是.【解析】【分析】(I)由，，可得，.分别表示出点A、D的坐标，根据，即可求出点A的坐标.(II)根据点A、C关于原点O对称，设点A的坐标为：，即可分别表示出B、C、D的坐标，然后可得出与互相平分可证明出四边形是平行四边形.(III)设与的距离为，由，，梯形的面积为，可求出h=7，根据，，可得，进而得出答案.【详解】(I)∵，，∴，，设点的坐标为，则点的坐标为，由得：，解得：，∴此时点的坐标为.(II)四边形是平行四边形，理由如下：设点的坐标为，∵点、关于原点对称，∴点的坐标为，∵∥∥轴，且点、在双曲线上，，∴点，点，∴点B与点D关于原点O对称，即，且、、三点共线.又点、C关于原点O对称，即，且、、三点共线.∴与互相平分.∴四边形是平行四边形.(III)设与的距离为，，，梯形的面积为，∴，即，解得：，设点的坐标为，则点，，，由，，可得：，则，，∴，解得：，∴，∵.∴.∴，即.又，，∴当取到等号.即，时，的最小值是.【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质和图像,本题涉及知识点比较多，打好基础是解决本题的关键.9．（1）点P的坐标为；（2）①，t的取值范围是；②．【解析】【分析】（1）过点P作轴，则，因为，，可得，进而得，由30°所对的直角边等于斜边的一半可得，进而用勾股定理可得，点P的坐标即求出；（2）①由折叠知，，所以，；再根据，即可根据菱形的定义“四条边相等的四边形是菱形”可证四边形为菱形，所以，可得；根据点A的坐标可知，加之，从而有；而在中，，又因为，所以得，由和的取值范围可得t的范围是；②由①知，为等边三角形，由（1）四边形为菱形，所以,三角形DCQ为直角三角形，∠Q=60°，从而，,进而可得，又已知t的取值范围是，即可得．【详解】解：（1）如图，过点P作轴，垂足为H，则．，．．在中，，，．点P的坐标为．（2）①由折叠知，，，．又，．四边形为菱形．．可得．点，．有．在中，．，，其中t的取值范围是．②由①知，为等边三角形，∵四边形为菱形，∴,三角形DCQ为直角三角形，∠Q=60°，∴，,∴，∵，∴．，【点睛】本题主要考查了折叠问题，菱形的判定与性质，求不规则四边形的面积等知识．10．（1）；（2）∆PAC的面积有最大值是4，此时，P（-2，3）；（3）存在，【解析】【分析】(1)根据待定系数法，即可得到答案；(2)设P，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，则点Q，根(3)根据三角形的面积公式，得到二次函数解析式，即可得到答案；设，则，若以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似，则或,分别求出t的值，即可得到答案.【详解】（1）∵直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，∴A（-4，0），C（0，2）∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝且过A（-4，0），C（0，2），∴，解得：∴抛物线解析式为：；（2）设P，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，如图，∴点Q，∴PQ==，∵=，∴当m=-2时，∆PAC的面积有最大值是4，此时，P（-2，3）；（3）∵，∴A（-4，0），C（0，2）B（1，0），∴AB=5，AC=2，BC=，∵，∴AC⊥BC，∵MN⊥x轴，∴若以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似，则或,设，则，①，∴，解得：②，∴，解得：综上所述：存在使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似.【点睛】本题主要考查二次函数的图象与相似三角形的综合，分类讨论思想和数形结合的思想方法，是解题的关键.11．（1）AG：AB=；（2）；（3）或．【解析】【分析】（1）根据推出BE=AG和AD=AB，进而得出AG是AD的一半即可推出最后结果；（2）先设AB=1，可推出BE=，，再证明，进而得出，即可写出关于的函数关系式；（3）当点H在边DC上时，根据可推出，进而列出方程即得；当点在的延长线上时，根据可推出，进而列出方程即得．【详解】（1）∵在中，AD=BC，AD∥BC∴∴∵，即∴∴AD=AB，AG=BE∵E为BC的中点∴BE=BC∴AG=AB则AG：AB=；（2）∵∴不妨设AB=1，则AD=x，BE=∵AD∥BC∴∴∵GH∥AE∴∠DGH=∠DAE∵AD∥BC∴∠DAE=∠AEB∴∠DGH=∠AEB在中，∠D=∠ABE∴∴∴；（3）分两种情况考虑：∵∴不妨设AB=1，则AD=x，BE=∵AD∥BC∴∴①当点H在边DC上时，如图1所示：∵DH=3HC∴∴∵∴，即解得：；②当在的延长线上时，如图2所示：∵DH=3HC∴∴∵∴，即解得：综上所述，或【点睛】本题属于相似三角形综合题，涉及的知识有：平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，以及平行线的性质．解本题的关键是根据H点在射线DC上，将H点的位置分为：点H在边DC上以及点在的延长线上．12．（1），；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）作轴于K，轴于L，OD=3OE，则OL=3OK，DL=3KE，设点E的横坐标为t，则点D的横坐标为-3t，则点E、D的坐标分别为：（t，）、（-3t，-+3t+），即可求解；（3）设点的横坐标为，可得PH=m2+m-，过作EF∥y轴交于点交轴于点，TE=PH+YE=m2+m-+2=（m+1）2，tan∠AHE=，tan∠PET=，而∠AHE+∠EPH=2α，故∠AHE=∠PET=∠EPH=α，PH=PQ•tanα，即m2+m-=（2m+2）×，解得：m=2-1，故YH=m+1=2，PQ=4，点P、Q的坐标分别为：（2-1，4）、（-2-1，4），tan∠YHE=，tan∠PQH=；证明△PMH≌△WNH，则PH=WH，而QH=2PH，故QW=HW，即W是QH的中点，则W（-1，2），再根据待定系数法即可求解．【详解】解：（1）把、分别代入得：，解得；（2）如图2，由（1）得，作轴于K，轴于L，∴EK∥DL，∴．∵，∴，设点的横坐标为，，，∴的横坐标为，分别把和代入抛物线解析式得，∴，∴，．∵，∴，∴，∴，∴，解得（舍），，∴．（3）如图3，设点的横坐标为，把代入抛物线得，∴．过作EF∥y轴交于点交轴于点，∴轴．∵点与点关于抛物线的对称轴对称，∴PQ∥x轴，，∴，点坐标为，又∵轴，∴ET∥PH，∴，∴，∴四边形为矩形，∴，∴，∴，，，∴．∴，，∴，∴．又∵，∴．∵，∴解得，∵，∴．∴，，把代入抛物线得，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．若交于点，∵NF∥PE，∴，∴，∵，∴，∴，，，∴，∴，∴．作WS∥PQ，交于点交轴于点，∴△WSH∽△QPH，∴．∵∴，∴，，∴．∵，∴，∴．设的解析式为，把、代入得，解得，∴．∵FN∥PE，∴设的解析式为，把代入得，∴的解析式为．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形全等、解直角三角形等，其中（3）证明△PMH≌△WNH是解题的关键．13．（1），；（2）①不存在，理由详见解析；②存在，【解析】【分析】（1）先确定A、B、C的坐标，然后用待定系数法解答即可；（2）①可用t的代数式表示DF，然后根据DF=BC求出t的值，得到DF与CB重合，因而不存在t，使得四边形DFBC为平行四边形；②可分两种情况（点Q在线段BC上和在线段BC的延长线上）讨论，由于DE∥QC，要使以点D、E、Q、C为顶点的四边形为平行四边形，只需DE=QC，只需将DE、QC分别用的式子表示，再求出t即可解答．【详解】解：（1）由题意得，，，反比例函数为，一次函数为：．（2）①不存在．轴，轴，．又四边形是平行四边形，．设，则，，．此时与重合，不符合题意，不存在．②存在．当时，；当时，由，，得．由，．得．当时，四边形为平行四边形．．，（舍）当时，四边形为平行四边形．又且，为矩形．【点睛】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式以及平行四边形的判定、解方程、根的判别式等知识，在解答以点D、E、Q、C为顶点的四边形的四个顶点的顺序不确定，需要分情况讨论是解答本题的关键．14．（1）抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，直线AB的解析式为y=﹣x+3；（2）t=或；（3）存在面积最大，最大值是，此时点P（，）．【解析】【分析】（1）将A（3，0），B（0，3）两点代入y=﹣x2+bx+c，求出b及c即可得到抛物线的解析式，设直线AB的解析式为y=kx+n，将A、B两点坐标代入即可求出解析式；（2）由题意得OE=t，AF=t，AE=OA﹣OE=3﹣t，分两种情况：①若∠AEF=∠AOB=90°时，证明△AOB∽△AEF得到=，求出t值；②若∠AFE∠AOB=90°时，证明△AOB∽△AFE，得到=求出t的值；（3）如图，存在，连接OP，设点P的坐标为（x，﹣x2+2x+3），根据，得到，由此得到当x=时△ABP的面积有最大值，最大值是，并求出点P的坐标.【详解】（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（3，0），B（0，3）两点，∴，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，设直线AB的解析式为y=kx+n，∴，解得，∴直线AB的解析式为y=﹣x+3；（2）由题意得，OE=t，AF=t，∴AE=OA﹣OE=3﹣t，∵△AEF为直角三角形，∴①若∠AEF=∠AOB=90°时，∵∠BAO=∠EAF，∴△AOB∽△AEF∴=，∴，∴t=．②若∠AFE∠AOB=90°时，∵∠BAO=∠EAF，∴△AOB∽△AFE，∴=，∴，∴t=；综上所述，t=或；（3）如图，存在，连接OP，设点P的坐标为（x，﹣x2+2x+3），∵,∴===，∵<0，∴当x=时△ABP的面积有最大值，最大值是，此时点P（，）．【点睛】此题是二次函数与一次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定及性质，函数与动点问题，函数图象与几何图形面积问题.15．（1）见解析；（2）；（3）或或【解析】【分析】（1）由四边形内角和定理求出∠B=60°，由AB=BC，即可得出结论；（2）以CD为边作等边，连接BE，过点E作EF⊥BC于F，证（SAS），得AC=BE，求出∠CEF=30°，由直角三角形的性质得出CF=由勾股定理求出EF=再由勾股定理即可得出答案；（3）过点C作CH⊥AB，交AB延长线于H，设BH=x，求出∠BCH=30°，由直角三角形的性质得出HC=，BC=2BH=2x，证是等腰直角三角形，则HA=HC，，解得，进而得出AC的长，分三种情况，①当AB=AD=∠BAD=60°时，②当BC=CD=∠BCD=60°时，③当AD=CD=AC=，∠ADC=60°时，分别求解即可．【详解】解：（1）在四边形中，∵，∴∵∴四边形是“准筝形”（2）如图，以为边作等边，连结过点E作EF⊥BC于F，则DE=DC=CE=3，∠CDE=∠DCE=60°，∵AB=AD，∠BAD=∠BCD=60°，∴是等边三角形，∴∠ADB=60°，AD=BD，∴∠ADB+∠BDC=∠CDE+∠BDC，即∠ADC=∠BDE，在和中，，∴（SAS），∴AC=BE，∵∠BCD=∠DCE=60°，∴∠ECF=180°-60°-60°=60°，∵∠EFC=90°，∴∠CEF=30°，∴CF=CE=由勾股定理得：BF=BC+CF=在Rt中，由勾股定理得：∴AC=（3）过点C作CH⊥AB，交AB延长线于H，如图所示：设BH=x，∵∠ABC=120°，CH是的高线，∴∠BCH=30°，∴HC=，BC=2BH=2x，又∵∠A=45°，∴是等腰直角三角形，∴HA=HC，∵AB=∴解得：∴HC=，BC=∴AC=①当AB=AD=∠BAD=60°时，连接BD，过点C作CG⊥BD，交BD延长线于点G，过点A作AK⊥BD，如图所示：则BD=∠ABD=60°，BK=AB=∵∠ABC=120°，∴∠CBG=60°=∠CBH，在和中，，∴（AAS），∴GC=HC=3，在Rt中，由勾股定理得：∴∴②当BC=CD=∠BCD=60°时，连接BD，作CG⊥BD于点G，AK⊥BD于K，如图所示：则BD=，CG=AK=，∴∴③当AD=CD=AC=，∠ADC=60°时，作DM⊥AC于M，如图所示：则DM=∴∴综上所述，四边形ABCD的面积为或或．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了“准筝形”的判定与性质、四边形内角和定理、全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数的应用、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握准筝形的判定与性质是解题的关键．16．（1）1；（2）矩形DEFG面积的最小值为；（3）当△CDG为等腰三角形时，t的值为或4或【解析】【分析】（1）由函数图象可知，△ADC的面积为6，求出AC=5cm，再由图象可知运动时间为5s，则可得出答案；（2）过点E作MN⊥BC，MN与射线BC相交于点N，与AD相交于点M，证明△ENF∽△DME，得出，证明△ENC∽△ABC，得出EF=DE，则S矩形DEFG=EF•DE=DE2．当DE⊥AC时，DE取得最小值，则可得出答案；（3）证明△CDG∽△ADE，得出，可分三种情况：当CG=DG时，当CG=CD时，当CD=DG时，分别求出t的值即可．【详解】（1）由图象可知，△ADC的面积为6，∵矩形ABCD中，AB=3cm，∴CD=3cm，∴S△ADC=×AD×CD=6，∴AD=4cm，∴AC=(cm)，由图象可知当t=5时，点E移动到点C，∴(cm/s)．故答案为：1；（2）如图1，过点E作MN⊥BC，MN与射线BC相交于点N，与AD相交于点M，则在Rt△ENF和Rt△DME中，∵∠NEF+∠MED=90°，且∠MDE+∠MED=90°，∴∠NEF=∠MDE，又∵∠ENF=∠DME=90°，∴△ENF∽△DME，∴，∵EN∥AB，∴△ENC∽△ABC，∴，∴，∴，∴，∴，由垂线段最短知，当DE⊥AC时，DE取得最小值，此时，即，∴矩形DEFG面积的最小值为；（3）∵∠EDG=∠ADC=90°，∴∠EDG-∠EDC=∠ADC-∠EDC，∴∠CDG=∠ADE，又∵，∴△CDG∽△ADE，∴，①如图2，当CG=DG时，有AE=DE，此时点E为AC的中点，，∴；②如图2，当CG=CD时，有AE=AD，此时AE=4，∴t=4；③如图3，当CD=DG时，有AD=DE，∴DE=4，过点D作DH⊥AC于点H，∵∠AHD=∠ADC=90°，∠DAH=∠CAD，∴△ADH∽△ACD，∴，即，∴，∴，∴．综合以上可得，当△CDG为等腰三角形时，t的值为或4或．【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，垂线段最短，矩形的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．17．（1）①详见解析；②2；（2）详见解析；（3）BD＝．【解析】【分析】（1）①根据题意画出图形即可．②解直角三角形求出PA，再利用全等三角形的性质证明PQ＝PA即可．（2）作PF⊥BQ于F，AH⊥PF于H．通过计算证明DF＝FQ即可解决问题．（3）如图3中，作PF⊥BQ于F，AH⊥PF于H．设BD＝x，则CD＝x﹣t，，利用相似三角形的性质构建方程求解即可解决问题．【详解】（1）解：①补全图形如图所示：②∵△ABD是等边三角形，AC⊥BD，AC＝1∴∠ADC＝60°，∠ACD＝90°∴∵∠ADP＝∠ADB＝60°，∠PAD＝90°∴PA＝AD•tan60°＝2∵∠ADP＝∠PDQ＝60°，DP＝DP．DA＝DB＝DQ∴△PDA≌△PDQ（SAS）∴PQ＝PA＝2．（2）作PF⊥BQ于F，AH⊥PF于H，如图：∵PA⊥AD，∴∠PAD＝90°由题意可知∠ADP＝45°∴∠APD＝90°﹣45°＝45°＝∠ADP∴PA＝PD∵∠ACB＝90°∴∠ACD＝90°∵AH⊥PF，PF⊥BQ∴∠AHF＝∠HFC＝∠ACF＝90°∴四边形ACFH是矩形∴∠CAH＝90°，AH＝CF∵∠ACH＝∠DAP＝90°∴∠CAD＝∠PAH又∵∠ACD＝∠AHP＝90°∴△ACD≌△AHP（AAS）∴AH＝AC＝1∴CF＝AH＝1∵，BC＝1，B，Q关于点D对称∴，∴∴F为DQ中点∴PF垂直平分DQ∴PQ＝PD．（3）如图3中，作PF⊥BQ于F，AH⊥PF于H．设BD＝x，则CD＝x﹣t，∵PD＝PQ，PF⊥DQ∴∵四边形AHFC是矩形∴∵△ACB∽△PAD∴∴∴∵△PAH∽△DAC∴∴解得∴．故答案是：（1）①详见解析；②2；（2）详见解析；（3）．【点睛】本题是三角形综合题目，主要考查了三角形的旋转、等边三角形的性质、锐角三角函数、勾股定理、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质，构造全等三角形、相似三角形、直角三角形是解题的关键．18．（1）①详见解析；②30°；（2）【解析】【分析】（1）①过G作MN⊥CD于N，与AB交于点M，则MN∥AD，证明AM=BM，再证明四边形ADNM是矩形，得MN垂直平分CD，再根据垂直平分线定理得结论；②连接CF，证明CF=2CD，延长CD至H，使得DH=CD，连接EH，则CF=CH，由垂直平分线的性质得CF=HF=CH，得∠FCD=60°，由余角性质得∠BCF的度数，进而求得∠GCD，再根据三角形内角和定理得结果；（2）过N点作NK⊥AB于点K，得四边形AKND是矩形，证明△ABP≌△KNM，得AP=KM，不妨设BM=MP=x，则AM=6-x，证明△APM∽△DQP，列出x的方程，求得x的值便可得出结论．【详解】解：（1）①如图1，过G作MN⊥CD于N，与AB交于点M，则MN∥AD，∵CE垂直平分BF，∴GB=GF，∴AM=BM，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ADN=∠MND=90°，∴四边形ADNM是矩形，∴DN=AM=AB=CD，∵MN垂直平分CD，∴DG=CD；②连接CF，如图1，∵CE垂直平分BF，∴CF=CB．∴∠BCG=∠FCG=∠BCF，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠CDF=∠BCD=90°，AD∥BC，∵BC=2AB，∴CF=2CD，延长CD至H，使得DH=CD，连接EH，则CF=CH，∴AD垂直平分CH，∴FH=FC=CH，∴∠FCD=60°，∴∠BCF=90°-∠FCD=30°，∴∠BCG=∠FCG=15°，∴∠GDC=∠GCD=∠BCD-∠BCG=75°，∴∠CGD=180°-75°×2=30°；（2）过N点作NK⊥AB于点K，得四边形AKND是矩形，∴AB=AD=MN，∠A=∠MKN=90°，∵MN⊥BP，∴∠ABP+∠KMN=∠KMN+∠KNM=90°，∴∠ABP=∠KNM，∴△ABP≌△KNM（ASA），∴AP=KM，∵MN垂直平分BP，∴MB=MP，不妨设BM=MP=x，则AM=6-x，∴AP=＝，∴DP=，∵Q是CD的中点，∴DQ=3，∵PQ⊥MP，∠A=∠D=90°，∴∠APM+∠AMP=∠APM+∠DPQ=90°，∴∠AMP=∠DPQ，∴△APM∽△DQP，∴，即，解得，x=6或，∴CN=BK=AB-AM-MK∴CN=0或．舍去CN=0，∴CN=．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，相似三角形的性质与判定，难度中等，第（2）题的关键在证明相似三角形与全等三角形．19．（1）见解析；（2）①见解析；②见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）先判断出OD=OA，∠AOM=∠DON，再利用同角的余角相等判断出∠ODN=∠OAM，判断出△DON≌△AOM即可得