2025年下学期高三数学数学语言表达思想试题（二）

2025年下学期高三数学数学语言表达思想试题（二）一、选择题（本大题共10小题，每小题6分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.数学概念辨析已知集合(A={x|y=\ln(x^2-3x+2)})，集合(B={x|2^x\leq4})，则“(x\inA)”是“(x\in\complement_{\mathbf{R}}B)”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件考查要求：需用集合语言描述定义域求解过程，通过逻辑联结词“充分”“必要”分析条件关系，体现数学表达的严谨性。2.函数图像与反函数函数(f(x)=\frac{2x-1}{x+1})（(x\neq-1)）的图像与其反函数(f^{-1}(x))的图像交点坐标为（）A.((1,1))B.((1,1))和((-1,-1))C.((2,\frac{3}{2}))D.不存在交点考查要求：需写出反函数求解步骤，通过图像对称性分析交点存在性，用数学符号语言表达定义域对结果的限制。3.立体几何与空间向量在棱长为2的正方体(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中，点(E)为棱(CC_1)的中点，平面(AED_1)与平面(ABCD)所成锐二面角的余弦值为（）A.(\frac{\sqrt{3}}{3})B.(\frac{\sqrt{6}}{3})C.(\frac{1}{2})D.(\frac{\sqrt{2}}{2})考查要求：需建立空间直角坐标系，用向量语言描述平面法向量的求解过程，明确二面角与法向量夹角的关系。4.概率统计与贝叶斯定理某医院使用新型试剂盒检测新冠病毒，已知感染患者检测阳性的概率为98%，未感染患者检测阴性的概率为95%。若该地区新冠感染率为0.1%，则当某人检测结果为阳性时，其实际感染病毒的概率约为（）A.1.9%B.16.5%C.98%D.99.9%考查要求：需用条件概率公式(P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)})表达推理过程，结合现实情境解释结果的实际意义。5.圆锥曲线与参数方程已知椭圆(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的右焦点为(F)，过(F)且斜率为(\sqrt{3})的直线与(C)交于(A,B)两点，若(\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB})，则椭圆(C)的离心率为（）A.(\frac{1}{2})B.(\frac{\sqrt{3}}{3})C.(\frac{2}{3})D.(\frac{\sqrt{5}}{3})考查要求：需用参数方程或韦达定理表达线段关系，通过向量语言转化几何条件，体现代数与几何的融合。6.数学文化与数列《九章算术》中有“竹九节”问题：“今有竹九节，下三节容四升，上四节容三升。问中间二节欲均容各多少？”意思是：现有9节竹子，下3节总容量为4升，上4节总容量为3升，若每节容量自上而下成等差数列，则中间两节（第5节和第6节）的容量之和为（）A.(\frac{67}{66})升B.(\frac{7}{6})升C.(\frac{47}{44})升D.(\frac{11}{10})升考查要求：需用等差数列通项公式表示“竹节容量”，通过数学建模将古文描述转化为方程问题，体现数学文化的应用价值。7.导数应用与优化问题某工厂生产某产品的成本函数为(C(x)=x^3-6x^2+15x+10)（万元），收入函数为(R(x)=20x-x^2)（万元），其中(x)为产量（千件）。若要使利润最大，则产量(x)应定为（）A.2千件B.3千件C.4千件D.5千件考查要求：需写出利润函数表达式，通过导数符号语言分析单调性，用数学语言解释“极值点”与“最值点”的关系。8.复数与几何意义设复数(z)满足(|z-2i|=1)，则(|z+1|)的最小值为（）A.(\sqrt{5}-1)B.(\sqrt{5}+1)C.2D.3考查要求：需用复数的几何意义描述轨迹方程，通过数形结合语言解释“距离最小值”的求解逻辑。9.数据分析与回归方程某公司2020-2024年的年销售额(y)（百万元）与年份代码(x)（2020年为(x=1)）的关系如下表：(x)12345(y)2.53.04.04.56.0若用线性回归模型(\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a})拟合数据，则2025年（(x=6)）销售额的预测值为（）A.6.8百万元B.7.2百万元C.7.5百万元D.8.0百万元考查要求：需用公式计算回归系数(\hat{b})和(\hat{a})，通过数学语言说明“线性回归”的适用条件，体现数据分析能力。10.开放探究与逻辑推理已知函数(f(x)=\sinx+\cosx)，(g(x)=\sinx-\cosx)，则下列结论正确的是（）①函数(f(x))与(g(x))的图像关于(x)轴对称②存在(x_0\in\mathbf{R})，使得(f(x_0)=g(x_0))③函数(f(x)g(x))的最小正周期为(\pi)A.①②B.②③C.①③D.①②③考查要求：需对每个结论进行独立证明或证伪，用数学符号语言表达推理过程，体现逻辑思维的严密性。二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11.多空题（三角与向量综合）已知向量(\boldsymbol{a}=(\sin\theta,\cos\theta))，(\boldsymbol{b}=(2,-1))，若(\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b})，则(\tan\theta=)；此时(\sin2\theta=)。考查要求：需用向量垂直的充要条件建立方程，通过三角恒等变换求解，体现知识的串联性。12.数列与数学归纳法在数列({a_n})中，(a_1=1)，(a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n})，则通过归纳推理可得通项公式(a_n=)，并用数学归纳法证明时，当假设(n=k)时命题成立，则需证明(n=k+1)时，(a{k+1}=)_。考查要求：需用归纳语言描述递推关系，明确数学归纳法的“归纳奠基”与“归纳递推”步骤。13.立体几何与体积计算已知三棱锥(P-ABC)的四个顶点都在球(O)的球面上，(PA\perp)平面(ABC)，(PA=2)，(AB=AC=1)，(\angleBAC=120^\circ)，则球(O)的体积为______。考查要求：需用几何语言描述外接球的球心位置，通过勾股定理求解半径，体现空间想象能力。14.概率与期望同时抛掷两枚质地均匀的骰子，记“向上的点数之和为偶数”为事件(A)，“向上的点数之差的绝对值为1”为事件(B)，则(E(B|A)=)______（其中(E(B|A))表示在事件(A)发生的条件下事件(B)的数学期望）。考查要求：需用条件概率公式计算样本空间，通过分布列语言表达期望的求解过程。15.圆锥曲线与轨迹方程已知点(M)为抛物线(y^2=4x)上一动点，点(N)为圆((x-2)^2+y^2=1)上一动点，则(|MN|)的最小值为______。考查要求：需用几何语言描述“动点距离最小值”的转化过程，通过抛物线定义简化计算。16.数学建模与开放探究某城市为缓解交通拥堵，计划在两条互相垂直的主干道(l_1)（东西方向）和(l_2)（南北方向）的交点(O)处建造一个圆形环岛，环岛半径为(r)。若要求从(l_1)上任一点(A)出发，经过环岛圆弧到达(l_2)上任一点(B)，且路径(A\to)环岛(\toB)的总长度最短，则该最短路径对应的圆心角(\theta=)______（用弧度制表示）。考查要求：需用数学建模语言描述“路径最短”问题，通过函数求导或几何对称思想求解，体现模型构建能力。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.三角函数与解三角形（10分）在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所对的边分别为(a,b,c)，已知(\cosA=\frac{3}{5})，(\cosB=\frac{5}{13})。（1）求(\sinC)的值；（2）若(c=14)，求(\triangleABC)的面积。考查要求：需用三角恒等变换公式推导(\sinC)，通过正弦定理建立方程，用数学语言规范书写“边角互化”过程。18.数列与不等式证明（12分）已知数列({a_n})的前(n)项和为(S_n)，满足(S_n=2a_n-n)。（1）求数列({a_n})的通项公式；（2）证明：对任意(n\in\mathbf{N}^*)，(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}<1)。考查要求：需用(a_n=S_n-S_{n-1})推导递推关系，通过放缩法证明不等式，用数学归纳法或裂项相消法表达推理逻辑。19.立体几何与空间向量（12分）如图，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AC=BC=AA_1=2)，(\angleACB=90^\circ)，点(D,E)分别为棱(A_1B_1,BB_1)的中点。（1）求证：(DE\parallel)平面(A_1BC)；（2）求二面角(A_1-DC-E)的余弦值。考查要求：需用空间向量语言证明线面平行，通过法向量夹角求解二面角，明确“建系—求向量—算夹角”的步骤表达。20.概率统计与数学建模（12分）某电商平台为提升用户满意度，随机抽取100名用户进行调查，得到用户对“物流速度”和“售后服务”的评分数据如下表（评分均为整数，满分10分）：售后服务评分物流速度评分1-5分（不满意）6-8分（一般）9-10分（满意）合计1-5分（不满意）1052176-8分（一般）83015539-10分（满意）2101830合计204535100（1）根据表中数据，判断是否有95%的把握认为用户对“物流速度”的满意度与对“售后服务”的满意度有关？（参考公式：(\chi^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)})，其中(n=a+b+c+d)；临界值：(\chi^2_{0.05}=3.841)）（2）若从“物流速度不满意”的用户中随机抽取2人，记其中“售后服务不满意”的人数为(X)，求(X)的分布列和数学期望。考查要求：需用独立性检验公式计算(\chi^2)值，通过分布列语言描述随机变量取值，体现数据分析与模型检验能力。21.圆锥曲线与综合应用（12分）已知椭圆(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的离心率为(\frac{\sqrt{3}}{2})，且过点((2,1))。（1）求椭圆(C)的方程；（2）过点(P(0,2))的直线(l)与椭圆(C)交于(A,B)两点，是否存在直线(l)，使得以(AB)为直径的圆过原点？若存在，求出直线(l)的方程；若不存在，说明理由。考查要求：需用待定系数法求椭圆方程，通过向量数量积语言描述“直径圆过原点”的条件，体现分类讨论思想。22.函数与导数的开放探究（12分）已知函数(f(x)=e^x-ax-1)（(a\in\mathbf{R})）。（1）讨论函数(f(x))的单调性；（2）若对任意(x\geq0)，(f(x)\geq\frac{1}{2}x^2)恒成立，求(a)的取值范围；（3）请选择以下两个观点中的一个，结合（1）（