(完整版)3.1周髀算经与九章算术

中世纪的中国数学3.1《周髀算经》和《九章算术》3.1.1古代背景

１、背景：我国在公元前两千多年前（大禹时期）进入奴隶社会，于公元前400多年左右（战国时期）进入封建社会，以后有几段太平盛世，形成超稳定社会结构。生产力发展较快，数学研究也处于较高水平。在萌芽期，水平与古埃及、巴比伦相当，春秋战国至魏晋南北朝时期数学可与古希腊媲美，中世纪宋元时期则发展为一枝独秀。十进位值制记数法(筹算记数)“凡算之法，先识其位。一纵十横，百立千僵。千十相望，百万相当。”(《孙子算经》)用筹算表示数有纵横两种摆法：十进位值制记数法是中国古代数学对人类的特殊贡献精湛的几何思想春秋战国时代的人们还对数的起源问题提出了一些看法，事实上数与物质的关系是涉及到数学的一个重要哲学问题。《史记》“夏本纪”记载说：夏禹治水，“左规矩，右准绳”.战国时代的著作《考工记》中看到与手工业制作有关的实用几何知识。3.1.2《周髀算经》《周髀算经》，该书原名《周髀》，大约成书于公元前2世纪的西汉时期，其许多内容甚至可以追溯到西周。唐代李淳风在为国子监明算科选定教科书时将其列入《算经十书》，并改名为《周髀算经》。3.1.2《周髀算经》严格地讲，《周髀算经》并不是一本数学专著，而是一部介绍“盖天说”宇宙模型的天文学著作，但它包含了相当深刻的数学内容，其主要成就包括分数运算、勾股定理及其在天文测量中的应用。天圆地方3.1.2《周髀算经》“昔者周公问于商高曰：……古者包牺立周天历度，夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？商高曰：数之法，出于圆方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩以为勾广三，股修四，径隅五。……故禹之所以治天下者，此数之所生也。”这是勾股定理的特例。3.1.2《周髀算经》接着，在陈子与荣方的“师生对话”中，借陈子之口又给出了一般的勾股定理：“求邪至日者，以日下为勾，日高为股。勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。”这是从天文测量中总结出来的普遍定理讨论测量“日高”的方法现实生活中，我们有一件常用的物品，也蕴涵了“天圆地方”的思想。想想看，这是什么物品？3.1.2《周髀算经》中国关于勾股定理的证明最早是由三国时期的数学家赵爽给出的。赵爽是中国历史上首次对《周髀》进行认真研究和注释的学者。他的工作主要包括三个方面的内容：一为文字解释；二为较详细地数学理论推演，三是补图。3.1.2《周髀算经》其中最为精彩的是“勾股圆方图注”。在这篇500多字的注文中，赵爽首先给出勾股定理的一般证明：“按弦图又可以勾、股相乘为朱实二，倍之为朱实四。以勾股之差自相乘，为中黄实。加差实一，亦成弦实。”宋刻《周髀算经》3.1.3《九章算术》标志着中国传统数学理论体系形成的是《九章算术》的成书。该书的作者和成书年代难以确切地考证，多数学者认为，它成书于西汉末东汉初，即公元1世纪初。中国的数学，经过长期的积累，到西汉时已有很丰富的内容，但这些内容之间缺乏内在的联系，以前人们曾寻求以确定的方式建立某种联系，例如墨家学派曾尝试过用逻辑方法研究数学概念，但没有成功。也许正是这种原因，决定了《九章算术》所特有的处理方式，并形成了中国传统的数学体系。宋刻《九章算术》书影3.1.3《九章算术》《九章算术》全书采用问题集的形式。书中每道题皆有问有答有术，其中“术”通常是解题的思想方法、公式和法则，有的一题一术，有的多题一术，有的一题多术。3.1.3《九章算术》全书共有246个应用题，基本上都是与生产实践、日常生活有联系的实际应用问题。这些问题分别隶属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股九章。对于每类问题，《九章算术》中都给出了统一的解法，它们相当于一些初等数学定理和公式，但没有证明。3.1.3《九章算术》的主要内容3.1.3《九章算术》如将《九章算术》的主要内容，按算术、代数和几何三部分来概括，则有：1.算术方面：分数四则运算法则，比例算法，盈不足术（契丹算法）；2.代数方面：方程术，正负术，开方术3.几何方面：面积计算，体积计算，勾股定理及其应用。3.1.3《九章算术》的算术方面“盈不足”主要论述盈亏问题的解法。盈不足的典型问题是这样的：若干人共买一物，若每人出a1钱，则多出b1钱；若每人出a2（a2＜a1）钱，则又不足b2钱，求人数与物价。《九章算术》给出的方法相当于公式：人数=物价=这一方法除了对于线性问题给出精确的解外，也为非线性问题提供了一个有效的近似解法。练习：今有醇酒一斗（一斗有十升），直錢五十；行酒一斗，直錢一十。今將錢三十，得酒二斗。問醇、行酒各得幾何。《九章算術》的解法：設醇酒佔５升，則行酒有15升，值錢25＋15＝40，盈10。設醇酒佔２升，行酒有18升，值錢10＋18＝28，不足2。據公式３ 醇酒：（5×2＋2×10）÷（10＋2）＝2.5升 行酒：（15×2＋18×10）÷（10＋2）＝17.5升這個題目用現代的代數解法亦屬易事。設醇酒有a升，行酒有b升，便可建立出下面兩個聯立的二元一次方程

a＋b＝20; 5a＋b＝30由此可立刻看出 a＝(10/4)升＝2.5升。於是b＝(20－2.5)升＝17.5升。3.1.3《九章算术》在解方程组时，将方程组的系数（包括常数）分离出来排成一个数表，相当于现在线性代数中的增广矩阵，然后通过类似于矩阵初等变换的方法消元，这一思想方法在数学发展史上是非常重要的，在西方被称为“高斯消元法”。3.1.3《九章算术》的代数方面上等禾谷三捆，中等禾谷二捆，下等禾谷一捆，共出粮三十九斗；上等禾谷二捆，中等禾谷三捆，下等禾谷一捆，共出粮三十四斗；上等禾谷一捆，中等禾谷二捆，下等禾谷三捆，共出粮二十六斗。问上中下等禾谷每捆出粮各多少？设上、中、下等禾谷每捆出粮分别为x,y,z斗，则有3.1.3《九章算术》《九章算术》给出的表示方法相当于下列矩阵

123上禾

232中禾

311下禾263439实3.1.3《九章算术》其解法相当于下列图示方法：3.1.3《九章算术》“方程”章的另一个重点就是对负数的概念、运算进行了研究。在解方程的过程中，由于无法回避被减数小于减数的情况出现，在《九章算术》提出了“以正负术入之”，即引入负数及其运算法则：“正负术曰：同名相除，异名相益，正无入正之；其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。”3.1.3《九章算术》的几何方面刍童体积公式3.1.3《九章算术》刍童体积公式3.1.3《九章算术》《九章算术》注