第15章 综合与实践 最短路径问题 课件 2025-2026学年人教版数学八年级上册

15综合与实践

最短路径问题----牧民饮马问题复习旧知：

A

B

①②③

Pl

A

B

C

D两个最短两点之间，线段最短（点点之间）点到直线的距离垂线段最短（点线之间）情境引入：牧民从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．牧民到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？牧民饮马问题探究新知：如图，A，B在直线l的两侧，在l上求一点P，使得PA+PB最小.ABl原理：两点之间，线段最短P解决问题之一：化抽象为数学问题ABl在l上求一点P，使得PA+PB最小．解决问题之二：化未知为已知ABl说说下面两图的区别.ABl待解决已解决能转化吗？怎么转化？P解决问题之二：化异侧为同侧ABl思考：怎样把点B移到直线l的另一侧呢？可利用什么知识？ABl待解决已解决B'P作轴对称作法：①作点B关于直线l的对称点B'②连接AB'，与直线l相交与点P,点P即为所求.P解决问题之三：证明“最短”思考：你能用所学的知识证明AP+BP最短吗？ABlB'PC总结归纳：在解决牧民饮马问题时，步骤如下：实际问题化抽象为数学问题通过轴对称把同侧点转为异侧点利用“两点之间，线段最短”确定所求位置课堂练习：1.如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径．QPBCP'E2.如图，小河边有两个村庄Ａ、Ｂ．要在河边建一自来水厂向Ａ村与Ｂ村供水．（1）若要使厂部到Ａ、Ｂ村的距离相等，则应选择在哪建厂？（2）若要使厂部到Ａ、Ｂ村的水管最省料，应建在什么地方？BAEF3.A,B两地相距5km，A,B两地到河l的距离分别为3km,6km,欲在l上某点M处修建一个水泵站向A,B两地供水，现有以下四种铺设方案，红色实线表示铺设的管道，则所用管道最短的是（）ABCD拓展提高:如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）.造桥选址问题l

B

AABNM

抽象成

M

N作图问题：在直线l上求作一点M，使AM+MN+NB最短问题化数学问题为数学模型：那么怎样确定AM+MN+BN在什么情况下最短呢？l

A'

N

M

A

B①平移A到A'，使AA'等于河宽，并且AA'⊥河岸.②连接A'B交河岸于N③作桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.证明:另任作桥M1N１，连接AM１，BN１，A'N１.

AM＝A'N，AA'＝MN＝M１N１，AM１＝A'N１在△A'N１B中，∵A'N1+BN1＞A'B∴AM1+M1N1+BN1＞AM+MN+BN为什么桥的位置建在M、N处，AM+MN+BN在这个位置时最短？l

M1

N1

A'

N

M

A

B由平移性质可知：AM+MN+BN=A'N+AA'+BN=AA'+A'BAM1+M1N1+BN1=AN1+AA1+BN1∴桥的位置建在MN

处，AM+MN+BN最短.河河

A

BAB

例1：A和B两地在二条河的两岸，现要在河上造二座桥MN、PQ.桥造在何处可使从A到B的路径AMNPQB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？MNPQ

抽象成

M

N

P

Q河河

M

N

P

Q

B桥MN、PQ.桥造在何处可使从A到B的路径AMNPQB最短?

A1

A

A2作法一还可以怎么作呢？作A点的两次平移河河

M

N

P

Q

B

A1

A

B1作法二作A点、B点各一次平移例2：有三条河，修