2023届北师大版 数列的综合应用 专项强化训练

专项强化训练(三)

数列的综合应用

一、选择题

1.设瓜｝,｛bn｝分别为等差数列与等比数列,a巾=4,a4=b4=l,则下列结

论正确的是()

A.a2>b2B.a3<D3C.a5>b5D.a6>b6

【解析】选A.设｛aj的公差为d,｛bj的公比为q,

由题可得d=7,q考于是a2=3>b2=2V2,故选A.

【加固训练】若数列x,aba2,y成等差数列，x,b„b2,y成等比数列，则

的取值范围是________.

bib2

【解析】由等差数列与等比数列的性质得导产所以

(bib2=xy,

(af+aJUx+yja

bib2xyyx,

当x,y同号时,-+I22;当x,y异号时-2.

yxxy

所以(如+aJ的取值范围为(_8,0]u[4,+8).

b1b2

答案：(-8,0]U[4,4-00)

2.已知数列瓜｝,｛bj满意a尸1,且a”,a血是函数f(x)=x2-bnx+2n的两个

零点，则b。等于()

A.24B.32C.48D.64

【解析】选D.依题意有aa+尸2、

n+1

所以annan+2=2.两式相除得皿t2,

an

所以ai,a3,as,…成等比数歹“，a2,a4,a6,…也成等比数.歹

而ai—1,a2~2,

45

所以a10=2•2=32,an=1-2=32.

又因为an+an+i=bn,

所以bio=aio+a”=64.

3.设｛aj(n£ND是等差数列,3是其前n项的和,且S5<S6,S6=S7>S8,则

下列结论错误的是()

A.d<0

B.ak0

C.Sg>Ss

D.S6与S,均为出的最大值

【解析】选C.因为｛aj是等差数列，

2

所以Sn=^n+(ai-

因为SS<SA,SA=S7>SA,

所以也关于n的二次函数开口向下，对称轴为『6.5,

所以d<0,S6与S7均为Sn的最大值,

S9<S5,aFS7-S6=0,故选C.

4.(2023•北京模拟)己知函数f(x)二传一c把函数

(f(x1)+l,x>0,

g(x)=f(x)-x的零点按从小到大的依次排列成一个数列，则该数列的

通项公式为()

A.ajS1),n£N*B.an=n(n-1),n£N*

乙

n

C.an=n-l,neN*D.an=2-2,n£N*

【解析】选C当xWO时，g(x)二千(x)-x=2T-x是减函数，只有一个零

点a^O;当x>0时，若x=n,nEN*,贝"f(n)=f(n-1)+1=-=f(0)+n=n;

若x不是整数，

则f(x)=f(xT)+1二…二千(x-[x]-1)+[x]+1,其中[x]代表x的整数部

分，

由f(x)=x得f(x-[x]-1)=x-[x]T,其中-1〈x-[x]7<0,没有这样的x.

所以g(x)=f(x)-x的零点按从小到大的依次为0,1,2,3,…，通项

an=n-1,故选C.

【加固训练】定义:F(x,y)=yx(x>0,y>0),已知数列｛a.J满

意:a产霭(n£N*),若对随意正整数n,都有为2ak(kWN*)成立，则ak

的值为()

A.1B.2C.1D.4

2n♦1

【解析】进A.ag,汕二福二产三2n2-(n+1)2=n2-2n-1，只有当

22

nan2(n+1)

n=1,2Ht,2n2<(n+1)2,当n>3时，2r?>(n+1);即当心3时，a^Qa”故

Q

数列｛aj中的最小项是a.a2,a3中的较小者，ai=2,a2=1,a3=^,故ak的值

u8

3

5.甲、乙两间工厂的月产值在2023年1月份时相同，甲以后每个月比

前一个月增加相同的产值.乙以后每个月比前一个月增加产值的百分

比相同.到2023年11月份发觉两间工厂的月产值又相同.比较甲、乙

两间工厂2023年6月份的月产值大小，则有()

A.甲的产值小于乙的产值

B.甲的产值等于乙的产值

C.甲的产值大于乙的产值

D.不能确定

【解析】选C.设甲各个月份的产值构成数列｛aj,乙各个月份的产值

构成数列｛>｝,则数列｛an｝为等差数列，数列｛bj为等比数列，且

ai=b),an=bn,故a6=^y^vaxa1btbjp由于在等差数列

｛aj中的公差不等于0,故上面的等号不能成立，故a6>b6,即6

月份甲的产值大于乙的产值.

【方法技巧】建模解数列问题

⑴分析题意，将文字语言转化为数学语言，找出相关量之间的关系.

⑵构建数学模型，将实际问题抽象成教学问题，明确是等差数列问

题、等比数列问题，是求和还是求项，还是其他数学问题.

⑶通过建立的关系求出相关量.

【加固训练】植树节某班20名同学在一段直线马路一侧植树,每人植

一棵，相邻两棵树相距10米，起先时需将树苗集中放置在某一树坑旁

边,现将树坑从1到20依次编号一，为使各位同学从各自树坑前来领取

树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为

()

A.1和20B.9和10C.9和11D.10和11

【解析】选D.设树苗放在第i个树坑旁边(如图所示)

—I1-------•11-

12…/…1920

则各个树坑到第i个树坑的距离的和是

S=10(i-1)+10(i-2)+・・・+lO(i-i)+1O[(i+1)-i]+-

+10(20-i)=10已学1心普理10『21i+21。).

所以当i=10或11时,S有最小值.

二、填空题

6.对正整数n,设曲线y=x"(l-x)ffix=2处的切线与y轴交点的纵坐标

为an,贝IJ数歹U｛鬲的前n项和是.

【解析】尸xMl-x)=x'xT导数为v'=0(田-(叶1丘\所以曲线在x=2

处的切线斜率为k=nX2n-1-(n+1)X2三-(n+2)2n-1,切点为(2,-20)，所以

切线方程为y+2n=-(n+2)2n-1(x-2),令x=0得,y+2n=(n+2)2]即

y=(n+1)2n,所以a=(n+1)/,所以工=/,数列，也]是以2为首项，2为

n+lLn+lJ

公比的等比数列，所以其前n项和S”二空出=2.-2.

1-2

答案：22

7.(2023•昆明模拟)商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价

格，即依据商品的最低销售限价a,最高销售限价b(b>a)以及实数

x(0<xG)确定实际销售价格c=a+x(b-a).这里,x被称为乐观系数.阅

历表明，最佳乐观系数x恰好使得(c-a)是(b-c)和(b-a)的等比中项.

据此可得最佳乐观系数x的值等于.

【解析】由已知有(c-a)是(b-c)和(b-a)的等比中项，即

(c-a)2-(b-c)(b-a).

把c-a+x(b-a)代入上式，得x2(b_a)2=[b_a_x(b-a)](b-a),即

x2(b-a)2=(1-x)(b-a)2.

因为b>a,b-a#=0,

所以X?=1-X,即x2+x-1=o,解得X二节^

因为0<x<1,所以最佳乐观系数X的值等于Eb三

2

答案:小

2

8.数歹U｛/｝的前n项和为Sn,若数歹U｛aj的各项按如下规律排列:

112123123412n—1

丁，…，有如下运算和结论:

2f3y3,不?4,5,m5,守…'n,R

3

①包产不

②数列aba2+a3,a+as+Ma+as+ag+aio,…是等比数列；

2

=

③数列3i,&+a3,ai+a^+Mai+as+ag+aio,…的刖n项和为Tn—-—;

4

④若存在正整数k,使Sk<10,Sk+1^10,则ak-.

其中正确的结论有.（将你认为正确的结论的序号都填上）

【解析】依题意，将数列｛a』中的项依次按分母相同的项分成一组，第

n组中的数的规律是：第n组中的数共有n个，并且每个数的分母均是

n+1,分子由1依次增大到n,第n组中的各数和等于出把山』，

n+12

对于①，留意到21上5竺224<更口=28,因此数列｛aj中的第24项应

22

是第7组中的第3个数，即a=-,因此①正确.

248

对于②③,设b为②③中的数列的通项，则f'明显该数

nn+12

列是等差数列，而不是等比数列，其前n项和等于:义因此

②不正确，③正确.

对于④，留意到数列的前6组的全部项的和等于一nog,因此满意条

件的ak应是第6组中的第5个数，即ak=^,因此④正确.

综上所述，其中正确的结论有①③④.

答案：①③④

三、解答题

9.已知数列｛a』的前n项和为Sn,且ag,a。产。

L2n

(1)求数列｛&J的通项公式.

(2)设b=n(2-S„),nGN*,若集合M={n|bn^X,nGN*}恰有4个元素,求

实数入的取值范围.

【解析】(1)方法一：由已知可得也上义也，其中n£N*,

n+12n

所以数列｛曰｝是公比为g的等比数列.

其首项为士匚，

12

所唔笛

印a1.

方法二：由已知可得%s=lxH3

an2n

所以吧…

ax21a322a323an-i2n-1

以上各式累乘可得菖0n】Xn.

又ai=另斤以3=^—.

22nn

ia

(2)由(1)知，Sn=^^宁・・・+—

112n—1n

Sc=，++•••+・+-

2222a2n2n+1

所以同畀1n

I2n2物+1

所哮=1黑

所以Sn=2一爸.

,8+2)

因此，bn

(・+l)(n+3)n(n+2)-n2+3

所以

be-bn=2n*i

所以当n=1时，b2-b>0,即b2>bb

当n22时,b"「bn<0,即bn+i<bn,

-315^335

又bl--,bF2,b3=-,叱,b5=-.

要使集合M=｛n®2入，n£N*｝恰有4个元素，

须款入号

所以，所求实数人的取值范围是左入

2

10.(2023•昆明模拟)已知正项数列E｝的前n项和为Sn,aL：且满意

2S"尸4Sn+l(n£N*).

(1)求数列EJ的通项公式.

⑵若bn=-3+log2an(neN*),求数歹U｛II｝的前n项和Tn.

【解析】⑴因为2s向=4Sn+1(n£N*),①

所以当n，2且n£N*时，2Sn=4Se+1,②

①-②得：a^-2anf

所以也±1=2(n，2,n£N*).

an

由2S2=4SI+1得2⑶+a2)=4a1+1.

又ag,

所以a2=1,

所以工2,

ai

所以数列｛a“)是以！为首项，2为公比的等比数列.

2

所以a=2n-2.

n-2

⑵因为bn=-3+1og2an=-3+1og22=n-5,

所以数列｛bj是首项b户4,

公差d=1的等差数列.

所以当nW5时,bnWO,当n>5时,b)0.

从而当nW5时，有

Tn=|bi|+•・•+1bn|=-6+…+bn)

当n>5时，有Tn二|b||+|b2|+…+|bn|

+++

=-bi-b2-b3-b4-b5b6---bn

+，,,-+++

=(bi+b2+bn)2(bi+b2b3b4b5)

n(n-9]__

—_420.

2

n(f).v-

综上所述，Tn二

---+/u,n>5.

【加固训练】已知等差数列｛a“｝前三项的和为-3,前三项的积为8.

⑴求等差数列｛4｝的通项公式.

(2)若a2,a3,ai成等比数列，求数列｛|a』｝的前n项和.

【解析】⑴设等差数列的公差为d,依据ai+a2+a3=-3可得a2=7,进而

得2包二一8,

即(a2—d)(az+d)二一8,所以1-d2--8,解得d二±3.

当d-3时，a1+3二一1,得ai=-4,

此时an=-4+(n-1)X3=3n-7;

当d二一3时，ai-3=-1,得ai=2,

此时an=2+(n-1)X(-3)=-3n+5.

所以｛an｝的通项公式为an=3n-7或an=-3n+5.

——

(2)d=3时,a?—1f83~2,a,—4,

此时a2,a3,ai成等比数列;

当d二一3时,a?——1,a?二一4,ai—2,

此时a2,a3,ai不是等比数列，故an=3n-7,这个数列的第一、二两项为负

值，从第三项起先为正值.

方法一：当nW2时，|a』二7-3n,这是一个首项为4,公差为-3的等差数

列,

故S.=4n+竽X(-3)=-9T；

当n>2时，|a.|二二3n-7,此时这个数列从第三项起是一个公差为3的

等差数列，故

++，，+

Sn=|ai|+1a21+a3a4,an

二(4+1)+[2+5+.・-+(3n—7)]

_(n-2)[24(3n-7)L3n211n…

一3+一十1U.

222

3n2

+暇n£2,

所以S=3-这个式子中n=2时两段函数值相等,

nlln

22

(4,n=1,

故可以写为-c、玲

(-——r+10,n>2,

方法二：设数列｛aj的前n项和为Tn,

n(-4-f3n-TJSB311B

则T=

n222

由于nW2时，|aj二-a0,

所以此时*一、一碧

当n>2时,

+，，+

Sn=(-ai-a2)+(a3+a4*an)

(T-T2)=TL2T2包-^H0.

22

3n2,llnvr

---,n<2,

所以尸这个式子中二时两段函数值相等,

S2n2

3nlln.介

---------+10,n>2,

故可以写为

(4,n=1,

=2

Sn\3nlln.-

——r+10,n>2.

11.已知数列｛an｝中,ai=l,且点P(an,aQ(n£N*)在直线x-y+l=0上.

(1)求数列｛a』的通项公式.

(2)设bn二2Sn表示数列｛bn｝的前,n项和.试问：是否存在关于n的整式

dn

g(n),使得S1+S2+S3+…+SnT=(S.T)•g(n)对于一切不小于2的自然数

n恒成立?若存在，写出g(n)的解析式,并加以证明；若不存在,说明理

由.

(解题提示】(1)由条件找寻an与ae的关系，转化为特别数列，求a”.

⑵利用函数与方程思想，探求g(n).

【解析】⑴把P点代入直线x-y+1=0<:an+-an=1,

所以｛aj是公差为1的等差数列，

又ai=1,因此可得：an=n(n£N").

⑵因为b-",所以Sn=~+T―»-•••+-.

nn123n

++，，，+

有Si+S2S3Sn-i

=(n-1)・；+(n-2)•g+(n-3)•…+[n-(nT)]1

n-1

二)-(1+1+1+・・•+1)

n-1、-----------

n-1个lj

二n•(Sn-1).

当n22,n£N*时，g(n)存在，且g(n)=n.

【加固训练】己知数列瓜}的前n项和为S”对一切正整数n,点P<n,Sn)

2

都在函数f(x)=x+2x的图象上,且过点Pn(n,SJ的切线的斜率为kn.

(1)求数列{&J的通项公式.

⑵设Q={x|x=kn,neN*),R={x|x=2anr,neN*),等差数列{cj的任一项

cgQGR,其中Ci是QAR中的最小数，110<c水115,求{cj的通项公

式.

2

［解析］(1)因为点Pn(n,Sn)都在函数f(X)=X+2X的图象上，

2

所以Sn=n+2n(nGN*).

-

当n，2时，an—SnSn-i—2n+1,

当n=10t,ai=Si=3满意上式，

所以数列{aj的通项公式为an=2n+1.

(2)因为Q={x|x=2n+2,n£N*},R={x|x=4n+2,nEN*},

所以QDR二R.

又因为gWQnR,其中G是QCR中的最小数，

所以CF6,因为{cj的公差是4的倍数，

所以Ci0—4m+6(m£N).

又因为110<cl0<115,

所以P1°<4m+6Vli5

ImEN*

解得m=27,

所以Ci0=114,

设等差数列｛c』的公差为d,

rt.c«114-6-

则d=zl2-il=--------=12,

10-1.9

所以cn=6+（n-1）X12=12n-6,

所以｛cj的通项公式为cn=12n-6.

12.已知数列｛4｝的前口项和除满意和二£1（5二a"+1）6为常数,且@力0,@

Wl）.

⑴求｛4｝的通项公式.

⑵设bn=aaSn-an,若数歹|J｛&｝为等比数列,求a的值.

⑶在满意条件⑵的情形下，设Cn二-一力,数列｛孰｝的前n项和

an+1ar.+1-1

为Tn,求证:Tn>2n-

【解题提示】（1）先利用an=Sn-Sz（n》2）把Sn与烝的关系式转化为an

与ae的关系式，推断数列的性质，求其通项公式.（2）依据（1）,求出数

列｛bn｝的前三项，利用b豆blXb3列出方程即可求得a的值.⑶先求出

数列｛Cn｝的通项公式，依据所求证问题将其放缩，然后才”用数列求和

公式证明.

【解析】（1）当n=1时，Si=a（S「ai+1）,得aFa.

当n22时,Sn=a（Sn-an+1）,

S“-尸a（S„-i-,

=

两式相减，得an3*3n-1,

又aWO,所以an^=0,则与二a.

an-i

即｛an｝是等比数列，所以a=a•a』】

⑵由⑴及a将知b=（an）2+让1%,b产T”Id

a-la-1

若｛bn｝为等比数列，则有b2h,

23=42

而bi=2a,b2=a(2a+1),b3a•(2a+a+1),

故IV(2a+1)]2=2a2・a4(2a2+a+1),

解得a=^,

再将ag代入%得6二Q;结论成立，

所以a=^.

⑶由⑵知a=Q)n,

缶9八_13_2。，2n+1-1,1

川.J2ndi2-2!!+1+2"1

所以c->2-^si-

Tn=Ci+c2+…+cn>Q_；+3+(2-1+g)+…

+(2—；+*"n」+E>2n」.

\2n2n+1/22n+12

结论成立.

2

【加固训练】已知等差数列瓜｝的公差为2,其前n项和Sn=pn+2n(n

eN*).

(1)求P的值及an.

⑵若bn二方人大记数列｛bn｝的前n项和为Tn,求使Tn＞《成立的最小

-ijanlu

正整数n的值.

［解题提方］(I)基本量运算求4l，"f求力及

(2)裂项相消求丁〃-＞解关于〃的不等式求〃

【解析】(1)方法一：因为｛aj是公差为2的等差数列,

?

所以Sn二naj；"d二nai+Mn"X2=n+(ai-1)

2

2

又由已知Sn=pn+2n,

所以p—1,3i—1—2,

所以ai=3,

=

所以anai+(n-1)d=2n+1,

所以p=1,an=2n+1.

方法二：由已知a尸SEP+2,S2=4p+4,

即ai+a2=4p+4,

=

所以a23p+2.

又此等差数列的公差为2,

所以a2-ai-2,

所以2p=2,

所以p=1,

所以ai=p+2=3,

=+

所以anai(n-1)d-2n+1,

所以p=1,a„=2n+1.

方法由已长口3i—Sj—p+2,

22

所以当n22时,an=S„-Sn-i=pn+2n-[p(n-1)+2(n-1)]=2pn-p+2,

所以a2=3p+2,

由已知a2-aF2,所以2P=2,所以p=1,

所以二p+2二3,所以an=ai+(n-1)d=2n+1,

所以p=1,an=2n+1.

2I1

(2)由(1)次口b=-­、=~~--,

n(2n-l)(2n4-l)2n-l2n+l

所以Tn二bi+bz+b3+…+bn

不一斗0一斗（一斗…+（二——一L=2.

\1'3/V3S7\57/\2n-L2n+172n+l2n+l

Q

因为Tn>77，

10

所

2nll10

8

所以20n>18n+9,即n>-,

又n£N；所以使Tn