连通性完整版本

连通性定义1设和为两个拓扑空间，则定义为上的以为拓扑基的拓扑空间，称为和的不交并空间。设为一族拓扑空间，则定义为上的以为拓扑基的拓扑空间，称为拓扑空间族的不交并空间。如果不出现混淆，简记为。例1对任意实数，记为平面由子集决定的子空间，则为上另一拓扑空间结构。定理1设拓扑空间的子集族满足。记为的子空间。则的充要条件是每个都为的开集。证充分性由定义。假设每个都为的开集，则对任何子空间的开集，存在的开集使得，而为的开集，所以为的开集。这说明。由可知为的基。定义2设为拓扑空间。的子集称为的孤立分支，如果为的非空真子集并且既开又闭。例2设为不交并空间，则对任何，为的孤立分支。定理2设为拓扑空间，为的非空真子集。则以下结论等价。为的孤立分支。为的孤立分支。存在到的满映射使得，。，其中和为的子空间。定义3拓扑空间称为连通空间如果不存在孤立分支。定理3设为拓扑空间，则为连通空间与以下结论等价。不可表为两个非空不相交的开集的并。不可表为两个非空不相交的闭集的并。不存在到的满射。与任何两个非空互补子空间的不交并空间不等价。例3实数空间为连通空间。证假如，其中和为不交开集。任取和，不妨设。则存在和，使得，。令，。则有上确界，且。由于为开集，所以，即。由于为开集，于是存在，使得。这与为的上确界矛盾！定理4连通空间的映射像空间仍然为连通空间。特别地，连通性为拓扑不变量。证设为映射，连通。由于任意拓扑空间的对应连续当且仅当连续，所以可以假设为满射，否则用子空间代替。假设不连通，则存在满映射。于是为满映射。这与连通矛盾！例4（中值定理）连通空间上连续实数函数满足中值定理。证设为连通空间上的实函数，则为上的连通子集，用例3的方法可以证明上的连通子集满足如果，，则对任何，。设为一族连通拓扑空间，则不交并空间是不连通空间。反之，是不是任何空间的拓扑都等价于一族连通的子空间的不交并呢？答案是否定的，但是在特殊的条件下成立。定义4拓扑空间的子集称为的连通子集，如果子空间是连通的。规定空集不是连通集子。定理5设为的子空间。如果存在的一对不相交的开集，或者一对不相交的闭集，或者一对分离子集和（分离子集是指，），使，且和非空，则不连通。反之不成立。例5令的子集，，。不存在的不相交的闭集和，使得，但子空间，不连通。设拓扑空间如下定义。，。令的子集，则子空间的拓扑为。不连通，但不能由的两个不相交开子集分离。定理6设为拓扑空间的连通子集，则对于任何子集，是连通的。特别地，是连通的。证不妨假设，否则用子空间代替。假设不连通，则存在的非空不交开集和，使得。和两者必有一为空集，否则就不连通了。不妨假设。于是中的点都是的聚点。但是对于任何，为的邻域，，于是不是的聚点。矛盾！例6令的子集，。则子空间与区间同胚，因而连通。所以子空间也连通。定理7设为拓扑空间的一族连通子集，且对任何，，则是连通子集。证不妨假设，否则用子空间代替。假设不连通，则存在的非空不交开集和，使得。对于任一固定的，和两者必有一为空集，否则就不连通了。于是下标集有分解，，满足对任何，对任何。假如，则，于是。矛盾！所以。同理。于是。而，所以，因而存在和满足。矛盾！例7令的子集族为。由于和都连通且两者的交非空，所以连通。显然任何非空，所以连通。类似可以归纳证明对任何正整数，连通。定义5拓扑空间的子集称为的极大连通子集，或者连通分支，如果是连通的，并且不存在的真包含的连通子集。定理8拓扑空间的每一连通分支都是闭集，不同的连通分支互不相交，为所有连通分支的并集。与所有连通分支子空间的不交并空间等价的充要条件是每一个连通分支都是的开集。证设为的连通分支，则也连通，由的最大性，所以为闭集。设为的不同的两个连通分支。若，则也连通，与的最大性矛盾。所以。对任何，令为所有含的连通集的并集，则由最大性为一连通分支，所以为所有连通分支的并集。下一结论为定理1的推论。例8令为的子空间。对于任何有理数，为的连通子空间（因为它同胚于）。假如的子集真包含，则不可能连通，因为设，不防设，任取无理数满足，则不连通。所以为的连通分支。但不为的开集。道路连通性定义1设为拓扑空间，上的一条道路定义为一个从单位区间到的映射。称为道路的起点，称为道路的终点，也称为连接起点和终点的道路。如果两条道路满足，则定义它们的连接道路为，当时；，当时。拓扑空间称为道路连通的如果任何两点都存在连接它们的道路。例1任何线性空间（任何满足加法和数乘运算连续的拓扑）都是连通空间，因为对任何，为连接和的道路。同样，任何线性空间的凸集（即满足若，则的集合）也是道路连通的。定理1道路连通空间的映射像空间仍然为道路连通空间。特别地，道路连通性为拓扑不变量。证设为映射，道路连通。则对任意，，，存在上连接和的道路，于是为上连接和的道路。所以道路连通。定理2道路连通空间一定是连通空间。反之不成立。证设为不连通空间，于是存在满映射。则对于，，不存在上连接和的道路，因为如果存在这样的道路，则为满映射。而是连通的。矛盾！所以不是道路连通空间。例2令的子集，。子空间连通。但子空间不是道路连通的，因为不存在中连接和的道路。假如存在这样的道路，则存在中的单减的数列，满足。由单减性，存在，但，。因而不存在。矛盾！定义2拓扑空间的子集称为的道路连通子集，如果子空间是道路连通的。规定空集不是道路连通集子。定理3设为拓扑空间的一族道路连通子集，且对任何，，则是道路连通的。证对任何和，如果，则由的连通性，存在连接和的道路；如果，任取，则存在中连接和的道路，和中连接和的道路，则连接道路为连接和的道路。所以道路连通。例3令的子集为，其中为有理数集。由于和都道路连通且两者的交非空，所以道路连通。显然任何非空，所以道路连通。设为一族道路连通拓扑空间，则不交并空间不是道路连通空间。反之，是不是任何空间的拓扑都等价于一族道路连通的子空间的不交并呢？答案也是否定的。定义3拓扑空间的子集称为的极大道路连通子集，或者道路连通分支，如果是道路连通的，并且不存在的真包含的道路连通子集。定理4拓扑空间的不同的道路连通分支互不相交，为所有道路连通分支的并集。与所有道路连通分支子空间的不交并空间等价的充要条件是每一个道路连通分支都是的开集。证同连通性定理的证明完全一样。局部（道路）连通性定义1拓扑空间称为局部（道路）连通的，如果对于其上任何一点的任何一个邻域，都存在一个的（道路）连通的邻域，使得。局部性和整体性是不同的概念，因而互不包含。设为一族局部（道路）连通的空间，则不交并空间仍然是局部（道路）连通的，但不是（道路）连通的。反之，（道路）连通空间却未必局部道路连通。例1令为的子空间，其中为有理数集。显然为（道路）连通空间。不是局部道路连通空间。因为对于点，该点长度小于的球形邻域的任何开子集都不（道路）连通。定理1拓扑空间为局部（道路）连通的充要条件是它的每一个（道路）连通分支都是局部（道路）连通的开集。所以，局部（道路）连通的拓扑空间与其所有（道路）连通分支子空间的不交并空间等价。证必要性：假设为局部（道路）连通的拓扑空间，为其（道路）连通分支。则对任何以及的邻域，存在的（道路）连通邻域，满足。由于为含点的所有（道路）连通子集的并集，所以。这说明为的内点，因而为开集。而局部（道路）连通空间的任何开子集都是局部（道路）连通的，所以局部（道路）连通。充分性：假设的所有（道路）连通分支都是的开集并且是局部（道路）连通的，则对任何，不防设，和的任何邻域，仍为的邻域，由的局部（道路）连通性，存在的相对于的（道路）连通邻域。由于为开集，仍为的相对于的邻域。所以局部（道路）连通。