2025年中考数学总复习解答题高分练习题

PAGE6-解答题高分练(1)21.(10分)先化简，再求值：aa-1-3a-【解析】原式=a(a+1)a2-当a=2-1时，原式=2-2222.(12分)观察下列方程及其解的特征.(1)x+1x=2的解为x1=x2(2)x+1x=52的解为x1=2，x2=(3)x+1x=103的解为x1=3，x2=…解答下列问题：(1)请猜想：方程x+1x=265的解为________(2)请猜想：关于x的方程x+1x=________的解为x1=a，x2=1a(a(3)下面以解方程x+1x=265为例，验证(1)解：原方程可化为5x2-26x=-5.(下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程)【解析】(1)x1=5，x2=15(2)a2(3)方程二次项系数化为1，得x2-265配方得，x2-265x+1352即x-135开方得，x-135=±12解得x1=5，x2=15经检验，x1=5，x2=1523.(12分)李老师为了解学生完成数学课前预习的具体情况，对部分学生进行了跟踪调查，并将调查结果分为四类，A：很好；B：较好；C：一般；D：较差.绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：(1)李老师一共调查了多少名同学？(2)C类女生有________名，D类男生有________名，将条形统计图补充完整.

(3)为了共同进步，李老师想从被调查的A类和D类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率.【解析】(1)(1+2)÷15%=20(名).(2)C类女生有20×25%-2=3(名)，D类男生有20×(1-25%-15%-50%)-1=1(名).(3)由树状图可得，所求概率为36=124.(13分)已知：如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE=CF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点O.(1)求证：△ABE≌△CDF.(2)连接DG，若DG=BG，则四边形BEDF是什么特殊四边形？请说明理由.【解析】(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD，∠BAE=∠DCF.又因为AE=CF，所以△ABE≌△CDF.(2)四边形BEDF是菱形.理由如下：如图，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD=BC，AD∥BC.因为AE=CF，所以DE=BF.所以四边形BEDF是平行四边形.所以BO=DO.在△BGD中，因为BG=DG，BO=DO，所以GO⊥BD.所以四边形BEDF是菱形.25.(13分)如图，已知AB为☉O的直径，AB=8，点C和点D是☉O上关于直线AB对称的两个点，连接OC，AC，且∠BOC<90°，直线BC和直线AD相交于点E，过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点F，与直线AD相交于点G，且∠GAF=∠GCE.(1)求证：直线CG为☉O的切线.(2)若点H为线段OB上一点，连接CH，满足CB=CH，①△CBH∽△OBC；②求OH+HC的最大值.【解析】(1)∵AB为☉O的直径，点C和点D是☉O上关于直线AB对称的两个点，∴∠ACB=90°，∠GAF=∠CAF，∴∠CAF+∠ABC=90°，∴∠GAF+∠ABC=90°，∵OC=OB，∴∠ABC=∠OCB，∴∠GAF+∠OCB=90°，∵∠GAF=∠GCE，∴∠GCE+∠OCB=90°，即∠OCF=90°，∴OC⊥CG，∴直线CG为☉O的切线.(2)①∵CB=CH，∴∠CBH=∠CHB；∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB；∴∠CBH=∠OBC，∠CHB=∠OCB，∴△CBH∽△OBC.②∵△CBH∽△OBC，∴BHBC=HC∵AB=8，∴CO=4，BH=OB-OH=4-OH，∴4-OHHC=HC4，∴OH=4-∴OH+HC=4-14HC2-14(HC-2)2当HC=2时，OH+HC的最大值为5.解答题高分练(二)21.(10分)先化简2xx+2-xx-2÷xx2-4【解析】2xx+2-xx-=2(x-2)-(x+2)=2x-4-x-2=x-6，∵x满足-5<x<7，∴当x=1时，原式=1-6=-5.22.(12分)阅读题例，解答下题：例：解方程x2-|x-1|-1=0.解：(1)当x-1≥0，即x≥1时x2-(x-1)-1=0，x2-x=0.(2)当x-1<0，即x<1时x2+(x-1)-1=0，x2+x-2=0解得：x1=0(不合题设，舍去)，x2=1.解得x1=1(不合题设，舍去)x2=-2.综上所述，原方程的解是x=1或x=-2依照上例解法，解方程x2+2|x+2|-4=0.【解析】(1)当x+2≥0，即x≥-2时，x2+2(x+2)-4=0，x2+2x=0，解得x1=0，x2=-2；(2)当x+2<0，即x<-2时，x2-2(x+2)-4=0，x2-2x-8=0，解得x1=4(不合题设，舍去)，x2=-2(不合题设，舍去).综上所述，原方程的解是x=0或x=-2.23.(12分)为了切实关注、关爱贫困家庭学生，某校对全校各班贫困家庭学生的人数情况进行了统计，以便国家精准扶贫政策有效落实.统计发现班上贫困家庭学生人数分别有2名、3名、4名、5名、6名，共五种情况.并将其制成了如下两幅不完整的统计图：(1)求该校一共有多少个班？并将条形图补充完整.(2)某爱心人士决定从2名贫困家庭学生的这些班级中，任选两名进行帮扶，请用列表法或树状图的方法，求出被选中的两名学生来自同一班级的概率.【解析】(1)该校的班级共有6÷30%=20(个)，有2名贫困生的班级有20-5-6-5-2=2(个)，补全条形图如图：(2)根据题意，将两个班级4名学生分别记作A1，A2，B1，B2，列表如下：A1A2B1B2A1A1，A2A1，B1A1，B2A2A2，A1A2，B1A2，B2B1B1，A1B1，A2B1，B2B2B2，A1B2，A2B2，B1由表可知，从这两个班级任选两名学生进行帮扶共有12种等可能结果，其中被选中的两名学生来自同一班级的有4种结果，∴被选中的两名学生来自同一班级的概率为412=124.(13分)如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE=AB，连接DE，交BC于点F.(1)求证：△BEF≌△CDF.(2)连接BD，CE，若∠BFD=2∠A，求证四边形BECD是矩形.【证明】(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴BE∥CD，AB=CD.又BE=AB，∴BE=CD，由BE∥CD得∠CDF=∠BEF，∠DCF=∠EBF∴△BEF≌△CDF.(2)由(1)得：BE∥CD且BE=CD，∴四边形BECD是平行四边形，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠FCD，又∠BFD=2∠A且∠BFD=∠FCD+∠FDC，∴∠FCD=∠FDC.∴FD=FC，DE=BC，∴四边形BECD是矩形.25.(13分)如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上一点，以CD为直径的☉O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交☉O于点F，连接DF，∠CAE=∠ADF.(1)判断AB与☉O的位置关系，并说明理由.(2)若PF∶PC=1∶2，AF=5，求CP的长.【解析】(1)AB是☉O切线.理由：连接DE，CF.∵CD是直径，∴∠DEC=∠DFC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DEC+∠ACE=180°，∴DE∥AC，∴∠DEA=∠EAC=∠DCF，∵∠DFC=90°，∴∠FCD+∠CDF=90°，∵∠ADF=∠EAC=∠DCF，∴∠ADF+∠CDF=90°，∴∠ADC=90°，∴CD⊥AD，∴AB是☉O切线.(2)∵∠CPF=∠CPA，∠PCF=∠PAC，∴△PCF∽△PAC，∴PCPA=PF∴PC2=PF·PA，设PF=a.则PC=2a，∴4a2=a(a+5)，∴a=53∴PC=2a=103解答题高分练(3)21.(10分)先化简，再求值：1x-2x-1÷x2【解析】1x-2x-1÷x2+解不等式组12可得：-2<x≤2，∴x=-1，0，1，2，∵当x=-1，0，1时，分式无意义，∴x=2，∴原式=1-2222.(12分)为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知3只A型节能灯和5只B型节能灯共需50元，2只A型节能灯和3只B型节能灯共需31元.(1)求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元？(2)学校准备购买这两种型号的节能灯共200只，要求A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由.【解析】(1)设1只A型节能灯的售价是x元，1只B型节能灯的售价是y元，3x+5y答：1只A型节能灯的售价是5元，1只B型节能灯的售价是7元；(2)设购买A型节能灯a只，则购买B型节能灯(200-a)只，费用为w元，w=5a+7(200-a)=-2a+1400，∵a≤3(200-a)，∴a≤150，∴当a=150时，w取得最小值，此时w=1100，200-a=50，答：当购买A型号节能灯150只，B型号节能灯50只时最省钱.23.(12分)如图，点E，F分别是矩形ABCD的边AD，AB上一点，若AE=DC=2ED，且EF⊥EC.(1)求证：点F为AB的中点.(2)延长EF与CB的延长线相交于点H，连接AH，已知ED=2，求AH的值.【解析】(1)∵EF⊥EC，∴∠CEF=90°，∴∠AEF+∠DEC=90°.∵四边形ABCD是矩形，∴∠AEF+∠AFE=90°，∠DEC+∠DCE=90°，∴∠AEF=∠DCE，∠AFE=∠DEC.∵AE=DC，∴△AEF≌△DCE，∴AF=DE，∵AE=DC=AB=2DE，∴AB=2AF，∴点F为AB的中点.(2)由(1)知AF=FB，且AE∥BH，∴∠FBH=∠FAE=90°，∠AEF=∠FHB∴△AEF≌△BHF，∴AE=HB.∵DE=2，且AE=2DE，∴AE=4.∴HB=AB=AE=4，∴AH2=AB2+BH2=16+16=32，∴AH=42.24.(13分)一位数学老师参加本市自来水价格听证会后，编写了一道应用题，题目如下：节约用水、保护水资源，是科学发展观的重要体现.依据这种理念，本市制定了一套节约用水的管理措施，其中规定每月用水量超过m(吨)时，超过部分每吨加收环境保护费m100元.如图反映了每月收取的水费y(元)与每月用水量x(吨)之间的函数关系请你解答下列问题：(1)将m看作已知量，分别写出当0<x≤m和x>m时，y与x之间的函数关系式.(2)按上述方案，一家酒店四、五两月用水量及缴费情况如表所示，那么，这家酒店四、五两月的水费分别是按哪种方案计算的？并求出m的值.月份用水量x(吨)水费y(元)四月3559.5五月80151【解析】(1)y与x的函数关系式为：y=1.7x(0<x≤m)；y=1.7x+(x-m)·m100或y=1.7m+(x-m)·1(2)∵1.7×35=59.5，1.7×80=136<151，∴这家酒店四月份用水量不超过m吨(或水费是按y=1.7x来计算的)，五月份用水量超过m吨或水费是按则有151=1.7×80+(80-m)×m即m2-80m+1500=0解得m1=30，m2=50.又∵四月份用水量为35吨，m1=30<35，∴m1=30舍去.∴m=50.25.(13分)对平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下的定义：若在图形M上存在一点Q，使得P，Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的关联点.(1)☉O的圆心在原点，当☉O的半径为2时，①在点P112,0，P212,32，P35②点P在直线y=-x上，若P为☉O的关联点，求点P的横坐标的取值范围.(2)☉C的圆心在x轴上，半径为2，直线y=-x+1与x轴、y轴交于点A，B.若线段AB上的所有点都是☉C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围.【解析】(1)①∵点P112,0，PP352,0，∴OP1=12，OP2=1，OP3=52，∴P1与☉O的最小距离为32，P2与☉O的最小距离为1，OP3与☉O的最小距离为12，答案：P2，P3②根据定义分析，可得当y=-x上的点P到原点的距离在1到3之间时符合题意，∴设P(x，-x)，当OP=1时，由距离公式得，OP=(x∴x=±22，当OP=3时，OP=(x-0)2+(-x-0)2=3，解得：x=±32(2)∵直线y=-x+1与x轴、y轴交于点A，B，∴A(1，0)，B(0，1)，当点C在x轴负半轴上时，如图1，当大圆过点A时，此时，CA=3，∴C(-2，0)；如图2，当直线AB与小圆相切时，切点为D，∴CD=1，∵直线AB的解析式为y=-x+1，∴直线AB与x轴的夹角=45°，∴AC=2，∴C(1-2，0)，∴圆心C的横坐标的取值范围为：-2≤xC≤1-2.当点C在x轴正半轴上时，如图3，当小圆过点A，则AC=1，∴C(2，0)；如图4，当大圆过点B，连接BC，此时，BC=3，∴OC=32-12=22，∴圆心C的横坐标的取值范围为：2≤xC≤22；综上所述；圆心C的横坐标的取值范围为：-2≤xC≤1-2或2≤xC≤22.解答题高分练(4)21.(10分)先化简，再求值：x-3x2-1÷x-3x【解析】x-3(x+1)(x-当x=2时，原式=1.22.(12分)某中学七(4)班一位学生针对七年级同学上学“出行方式”进行了一次调查.图(1)和图(2)是他根据采集的数据绘制的两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答以下问题：(1)补全条形统计图，并计算出“骑车”部分所对应的圆心角的度数.(2)如果全年级共800名同学，请估算全年级步行上学的学生人数.(3)若由3名“乘车”的学生，1名“步行”的学生，2名“骑车”的学生组队参加一项活动，欲从中选出2人担任组长(不分正副)，列出所有可能的情况，并求出2人都是“乘车”的学生的概率.【解析】(1)25÷50%=50人.50-25-15=10人.补全条形统计图如图所示，圆心角度数=1550×360°=108°(2)估计该年级步行人数：800×20%=160(人).(3)设3名“乘车”的学生表示为A，B，C，1名“步行”的学生表示为D，2名“骑车”的学生表示为E，F，则有：AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF这15种等可能结果，而2人都是“乘车”的结果有AB，AC，AD这3种，故2人都是“乘车”的学生的概率P=315=123.(12分)甲、乙两车分别从A，B两地同时出发相向而行，并以各自的速度匀速行驶，甲车与乙车相遇后休息半小时，再按原速度继续前进到达B地；乙车从B地直接到达A地；两车到达各自目的地后即停止.如图是甲、乙两车和B地的距离y(千米)与出发时间x(小时)的函数图象.(1)甲车的速度，m分别等于多少？(2)请分别写出两车在相遇前到B地的距离y(千米)与甲车出发时间x(小时)的函数关系式.(3)当乙车行驶多少时间时，甲乙两车的距离是280千米.【解析】(1)300÷(3-0.5)=120(千米/小时)，m=(300-120)÷120=1.5(小时)，所以甲车的速度为120千米/小时，m为1.5.(2)相遇前，自变量x满足：0<x<1.5，设y甲=kx+b，把(0，300)，(1.5，120)代入得：b解得：k∴y甲=-120x+300；∵乙的速度为：120÷1.5=80(千米/小时)，∴y乙=80x.(3)当0<x<1.5时(-120x+300)-80x=280，解得x=0.1；因为当x=3时，y乙=240<280，所以x>3.80x=280.解得x=3.5.综上所述：当乙车行驶了0.1小时或3.5小时，甲、乙两车相距280千米.24.(13分)如图，在以线段AB为直径的☉O上取一点，连接AC，BC.将△ABC沿AB翻折后得到△ABD.(1)试说明点D在☉O上.(2)在线段AD的延长线上取一点E，使AB2=AC·AE.求证：BE为☉O的切线.(3)在(2)的条件下，分别延长线段AE，CB相交于点F，若BC=2，AC=4，求线段EF的长.【解析】(1)连接OC，OD，由翻折可得OD=OC，∵OC是☉O的半径，∴点D在☉O上.(2)∵点D在☉O上，∴∠ADB=90°，由翻折可得AC=AD，∵AB2=AC·AE，∴AB2=AD·AE，∴ABAD=AEAB，又∵∠BAE=∴△ABE∽△ADB，∴∠ABE=∠ADB=90°，∵OB是半径，∴BE为的☉O切线.(3)设EF=x，∵AB2=AC2+BC2=AC·AE，∴AE=5，DE=AE-AD=5-4=1，∵∠BDF=∠C=90°，∠BFD=∠AFC，∴△BDF∽△ACF，∴BFAF=BDAC，即BF5+则BF=5+x在Rt△BDF中，由勾股定理得BD2+DF2=BF2，则22+(1+x)2=5+x解得x1=53，x2则EF=5325.(13分)在等腰△ABC中，AB=AC，作CM⊥AB交AB于点M，BN⊥AC交AC于点N.(1)在图1中，求证：△BMC≌△CNB.(2)在图2中的线段CB上取一动点P，过P作PE∥AB交CM于点E，作PF∥AC交BN于点F，求证：PE+PF=BM.(3)在图3中动点P在线段CB的延长线上，类似(2)过P作PE∥AB交CM的延长线于点E，作PF∥AC交NB的延长线于点F，求证：AM·PF+OM·BN=AM·PE.【解析】(1)∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵CM⊥AB，BN⊥AC，∴∠BMC=∠CNB=90°，在△BMC和△CNB中，∠MBC∴△BMC≌△CNB(AAS).(2)∵△BMC≌△CNB，∴BM=NC，∵PE∥AB，∴△CEP∽△CMB，∴PEBM=CP∵PF∥AC，∴△BFP∽△BNC，∴PFNC=BP∴PEBM+PFBM=CPCB∴PE+PF=BM.(3)同(2)的方法得到，PE-PF=BM，∵△BMC≌△CNB，∴MC=BN，∵∠ANB=90°，∴∠MAC+∠ABN=90°，∵∠OMB=90°，∴∠MOB+∠ABN=90°，∴∠MAC=∠MOB，又∵∠AMC=∠OMB=90°，∴△AMC∽△OMB，∴AMMC=OM∴AM·MB=OM·MC，∴AM×(PE-PF)=OM·BN，∴AM·PF+OM·BN=AM·PE.解答题高分练(5)21.(10分)先化简，再求代数式1x+1-x-2x2+tan45°.【解析】1x+1-=x-1-(=1(x=1x∵x=2sin60°+tan45°=2×32+1=3∴原式=13+1-1=22.(12分)如图，在△ABC中，∠B=60°，☉O是△ABC的外接圆，过点A作☉O的切线，交CO的延长线于点P，CP交☉O于点D.(1)求证：AP=AC.(2)若AC=3，求PC的长.【解析】(1)连接AO，则AO⊥PA，∴∠AOC=2∠B=120°，∴∠AOP=60°，∴∠P=30°，又∵OA=OC，∴∠ACP=30°，∴∠P=∠ACP，∴AP=AC.(2)在直角△PAO中，∠P=30°，PA=AC=3，∴AO=PA×tan30°=3，∴PO=23.∵CO=OA=3，∴PC=PO+OC=33.23.(12分)某景点试开放期间，团队收费方案如下：不超过30人时，人均收费120元；超过30人且不超过m(30<m≤100)人时，每增加1人，人均收费降低1元；超过m人时，人均收费都按照m人时的标准.设景点接待有x名游客的某团队，收取总费用为y元.(1)求y关于x的函数表达式；(2)景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象.为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，求m的取值范围.【解析】(1)y=120x(2)由(1)可知当0<x≤30或m<x<100，函数值y都是随着x增大而增大，当30<x≤m时，y=-x2+150x=-(x-75)2+5625，∴当x≤75时，y随着x增大而增大，∴为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，∴30<m≤75.24.(13分)如图，已知A(-4，n)，B(2，-4)是一次函数y=kx+b和反比例函数y=mx的图象的两个交点(1)求一次函数和反比例函数的解析式.(2)观察图象，直接写出方程kx+b-mx=0的解(3)求△AOB的面积.(4)观察图象，直接写出kx+b-mx<0的解集【解析】(1)∵B(2，-4)在y=mx∴m=-8.∴反比例函数的解析式为y=-8x∵点A(-4，n)在y=-8x∴n=2.∴A(-4，2).∵y=kx+b经过A(-4，2)，B(2，-4)，∴-4k∴一次函数的解析式为y=-x-2.(2)∵A(-4，n)，B(2，-4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=mx∴方程kx+b-mx=0的解是x1=-4，x2(3)设一次函数图象交y轴于点C.∵当x=0时，y=-2.∴点C(0，-2).∴OC=2.∴S△AOB=S△ACO+S△BCO=12×2×4+12×2(4)不等式kx+b-mx25.(13分)如图，Rt△ABM和Rt△ADN的斜边分别为正方形的边AB和AD，其中AM=AN.(1)求证：Rt△ABM≌Rt△ADN.(2)线段MN与线段AD相交于点T，若AT=14AD，求tan∠ABM的值【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，又∠BMA=∠DNA=90°，AM=AN，∴Rt△ABM≌Rt△ADN(HL).(2)∵Rt△ABM≌Rt△ADN，∴BM=DN，∠BAM=∠DAN.∵∠BAD=90°，∴∠MAN=90°，又AM=AN，∴∠AMT=∠ANM=45°，又∠DNA=90°，∴∠DNT=45°，∴∠AMN=∠DNT，又∠ATM=∠DTN，∴△AMT∽△DNT，∴ATDT=AM∵AT=14AD，∴ATDT=∴AMDN=13.∵BM=DN，∴AMBM在Rt△ABM中，tan∠ABM=AMBM=1解答题高分练(6)21.(10分)先化简，再求值：x2-2x+1x2【解析】原式=(x-=(x-=x-当x=3时，原式=3-13=322.(12分)食品安全是关乎民生的重要问题，在食品中添加过量的添加剂对人体健康有害，但适量的添加剂对人体健康无害而且有利于食品的储存和运输.为提高质量，做进一步研究，某饮料加工厂需生产A，B两种饮料共100瓶，需加入同种添加剂270克，其中A饮料每瓶需加添加剂2克，B饮料每瓶需加添加剂3克，饮料加工厂生产了A、B两种饮料各多少瓶？【解析】设A种饮料生产了x瓶，B种饮料生产了y瓶，根据题意，得：x解得：x=30答：A种饮料生产了30瓶，B种饮料生产了70瓶.23.(12分)如图，在正方形ABCD中，点E(与点B，C不重合)是BC边上一点，将线段EA绕点E顺时针旋转90°到EF，过点F作BC的垂线交BC的延长线于点G，连接CF.(1)求证：△ABE≌△EGF.(2)若AB=2，S△ABE=2S△ECF，求BE.【解析】(1)∵EF⊥AE，∴∠AEB+∠GEF=90°，又∵∠AEB+∠BAE=90°，∴∠GEF=∠BAE，又∵FG⊥BC，∴∠ABE=∠EGF=90°，在△ABE与△EGF中，∠∴△ABE≌△EGF(AAS).(2)∵△ABE≌△EGF，AB=2，∴AB=EG=2，S△ABE=S△EGF，∵S△ABE=2S△ECF，∴S△EGF=2S△ECF，∴EC=CG=1，∵四边形ABCD是正方形，∵BC=AB=2，∴BE=2-1=1.24.(13分)从甲地到乙地，先是一段上坡路，然后是一段平路，小明骑车从甲地出发，到达乙地后休息一段时间，然后原路返回甲地.假设小明骑车在上坡、平路、下坡时分别保持匀速前进，已知小明骑车上坡的速度比平路上的速度每小时少5km，下坡的速度比在平路上的速度每小时多5km，设小明出发xh后，到达离乙地ykm的地方，图中的折线ABCDEF表示y与x之间的函数关系.(1)小明骑车在平路上的速度为多少km/h，他在乙地休息了多少小时.(2)分别求线段AB，EF所对应的函数关系式.(3)从甲地到乙地经过丙地，如果小明两次经过丙地的时间间隔为0.85h，求丙地与甲地之间的路程.【解析】(1)小明骑车上坡的速度为：(6.5-4.5)÷0.2=10(km/h)，小明平路上的速度为：10+5=15(km/h)，小明下坡的速度为：15+5=20(km/h)，小明平路上所用的时间为：2(4.5÷15)=0.6h，小明下坡所用的时间为：(6.5-4.5)÷20=0.1h所以小明在乙地休息了：1-0.1-0.6-0.2=0.1(h).(2)由题意可知：上坡的速度为10km/h，下坡的速度为20km/h，所以线段AB所对应的函数关系式为：y=6.5-10x，即y=-10x+6.5(0≤x≤0.2).线段EF所对应的函数关系式为y=4.5+20(x-0.9).即y=20x-13.5(0.9≤x≤1).(3)由题意可知：小明第一次经过丙地在AB段，第二次经过丙地在EF段，设小明出发a小时第一次经过丙地，则小明出发后(a+0.85)小时第二次经过丙地，6.5-10a=20(a+0.85)-13.5解得：a=110110×答：丙地与甲地之间的路程为1km.25.(13分)如图，AB为☉O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，直线BF与AD的延长线交于点F，且∠AFB=∠ABC.(1)求证：直线BF是☉O的切线.(2)若CD=23，OP=1，求线段BF的长.【解析】(1)∵∠AFB=∠ABC，∠ABC=∠ADC，∴∠AFB=∠ADC，∴CD∥BF，∴∠APD=∠ABF，∵CD⊥AB，∴AB⊥BF，∴直线BF是☉O的切线.(2)连接OD，∵CD⊥AB，∴PD=12CD=3∵OP=1，∴OD=2，∵∠PAD=∠BAF，∠APD=∠ABF，∴△APD∽△ABF，∴APAB=PD∴34=3∴BF=43解答题高分练(7)21.(10分)先化简，再求值：x2+xx2【解析】原式=x(x=x+1x=x+1x=x+1x=1x当x=2时，原式=12+1=122.(12分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=mx(m≠0)的图象交于A，B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为(n，6)，点C的坐标为(-2，0)，且tan∠(1)求该反比例函数和一次函数的解析式.(2)求点B的坐标.【解析】(1)过点A作AD⊥x轴，垂足为D.由A(n，6)，C(-2，0)可得，OD=n，AD=6，CO=2.∵tan∠ACO=2，∴ADCD=2，即6∴n=1，∴A(1，6).将A(1，6)代入反比例函数，得m=1×6=6，∴反比例函数的解析式为y=6x将A(1，6)，C(-2，0)代入一次函数y=kx+b，可得6=解得k∴一次函数的解析式为y=2x+4，(2)由y=2x+4解得x1=1，x2=-3，∵当x=-3时，y=-2，∴点B坐标为(-3，-2).23.(12分)在“我为祖国点赞“征文活动中，学校计划对获得一，二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一个笔记本.已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元，购买4支钢笔和5个笔记本共70元.(1)钢笔、笔记本的单价分别为多少元？(2)经与商家协商，购买钢笔超过30支时，每增加1支，单价降低0.1元；超过50支，均按购买50支的单价售，笔记本一律按原价销售.学校计划奖励一、二等奖学生共计100人，其中一等奖的人数不少于30人，且不超过60人，这次奖励一等奖学生多少人时，购买奖品总金额最少？最少为多少元？【解析】(1)设钢笔，笔记本的单价分别为x，y元，根据题意得，2x+3y答：钢笔，笔记本的单价分别为10元，6元.(2)设钢笔的单价为a元，购买数量为b个，支付钢笔和笔记本的总金额为w元，①当30≤b≤50时，a=10-0.1(b-30)=-0.1b+13，w=b(-0.1b+13)+6(100-b)=-0.1b2+7b+600=-0.1(b-35)2+722.5，∵当b=30时，w=720，当b=50时，w=700，∴当30≤b≤50时，700≤w≤722.5；②当50<b≤60时，a=8，w=8b+6(100-b)=2b+600，700<w≤720，∴当30≤b≤60时，w的最小值为700元，∴这次奖励一等奖学生50人时，购买奖品总金额最少，最少为700元.24.(13分)如图，在△ABC中，O为AC上一点，以O为圆心，OC长为半径作圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D，且∠AOD=∠BAD.(1)求证：AB为☉O的切线.(2)若BC=6，tan∠ABC=43，求AD的长【解析】(1)作OE⊥AB于点E，∵☉O切BC于点C，∴OC⊥BC，∠ACB=90°，∵AD⊥BD，∴∠D=90°，∴∠ABD+∠BAD=90°，∠CBD+∠BOC=90°，∵∠BOC=∠AOD，∠AOD=∠BAD，∴∠BOC=∠BAD，∴∠ABD=∠CBD.在△OBC和△OBE中∠∴△OBC≌△OBE，∴OE=OC，∴OE是☉O的半径，∵OE⊥AB，∴AB为☉O的切线.(2)∵tan∠ABC=ACBC=43，BC=6，∴AB=62∵BE=BC=6，∴AE=4，∵∠AOE=∠ABC，∴tan∠AOE=AEEO=4∴EO=3，∴AO=5，OC=3，∴BO=62+3在△AOD和△BOC中∠∴△AOD∽△BOC，∴AOBO=AD即535=AD6，∴25.(13分)如图1，在四边形ABCD中，如果对角线AC和BD相交并且相等，那么我们把这样的四边形称为等角线四边形.(1)①在“平行四边形、矩形、菱形”中，________一定是等角线四边形(填写图形名称)；

②若M，N，P，Q分别是等角线四边形ABCD四边AB，BC，CD，DA的中点，当对角线AC，BD还要满足________时，四边形MNPQ是正方形.

(2)如图2，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，D为平面内一点.①若四边形ABCD是等角线四边形，且AD=BD，则四边形ABCD的面积是________；

②设点E是以C为圆心，1为半径的圆上的动点，若四边形ABED是等角线四边形，写出四边形ABED面积的最大值，并说明理由.【解析】(1)①在“平行四边形、矩形、菱形”中，∵矩形的对角线相等，∴矩形一定是等角线四边形.答案：矩形②当AC⊥BD时，四边形MNPQ是正方形.理由：如图1中，∵M，N，P，Q分别是等角线四边形ABCD四边AB，BC，CD，DA的中点，∴PQ=MN=12AC，PN=QM=1PQ∥AC，MQ∥BD，∵AC=BD，∴MN=NP=PQ=QM，∴四边形MNPQ是菱形，∵∠1=∠2，∠2=∠3，∠1=90°，∴∠3=90°，∴四边形MNPQ是正方形.答案：AC⊥BD(2)略解答题高分练(8)26.(14分)如图，抛物线y=ax2-2ax+c(a≠0)交x轴于A，B两点，A点坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，4)，以OC，OA为边作矩形OADC交抛物线于点G.(1)求抛物线的解析式.(2)抛物线的对称轴l在边OA(不包括O，A两点)上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长.(3)在(2)的条件下，连接PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P，C，F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由.【解析】(1)∵抛物线y=ax2-2ax+c(a≠0)经过点A(3，0)，点C(0，4)，∴9a-∴抛物线的解析式为y=-43x2+8(2)设直线AC的解析式为y=kx+b，∵A(3，0)，C(0，4)，∴3k+∴直线AC的解析式为y=-43∵点M的横坐标为m，点M在AC上，∴M点的坐标为m,-∵点P的横坐标为m，点P在抛物线y=-43x2+8∴点P的坐标为m,-∴PM=PE-ME=-43m2+83m+4--(3)在(2)的条件下，连接PC，在CD上方的抛物线部分存在这样的点P，使得以P，C，F为顶点的三角形和△AEM相似.理由如下：由题意，可得AE=3-m，EM=-43m+4，CF=m，若以P，C，F为顶点的三角形和△AEM相似，P点在F上方，PF=-43m2+=-43m2+8①若△PFC∽△AEM，则PF∶AE=FC∶EM，即-43m2+∵m≠0且m≠3，∴m=2316∵△PFC∽△AEM，∴∠PCF=∠AME，∵∠AME=∠CMF，∴∠PCF=∠CMF.在直角△CMF中，∵∠CMF+∠MCF=90°，∴∠PCF+∠MCF=90°，即∠PCM=90°，∴△PCM为直角三角形；②若△CFP∽△AEM，则CF∶AE=PF∶EM，即m∶(3-m)=-43m∵m≠0且m≠3，∴m=1.∵△CFP∽△AEM，∴∠CPF=∠AME，∵∠AME=∠CMF，∴∠CPF=∠CMF.∴CP=CM，∴△PCM为等腰三角形.综上所述，存在这样的点P使△PFC与△AEM相似.此时m的值为2316或1，△26.(14分)如图，抛物线y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)经过点A(-1，0)，B(5，-6)，C(6，0).(1)求抛物线的解析式.(2)如图，在直线AB下方的抛物线上是否存在点P使四边形PACB的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.(3)若点Q为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出△QAB为等腰三角形的点Q一共有几个？并请求出其中某一个点Q的坐标.【解析】略解答题高分练(9)26.(14分)如图，已知直线y=-2x+4分别交x轴、y轴于点A，B，抛物线经过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D.(1)若抛物线的解析式为y=-2x2+2x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N.①求点M，N的坐标；②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由.(2)当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B，P，D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由.【解析】略26.(14分)已知抛物线y=x2+mx-2m-4(m>4).(1)证明：该抛物线与x轴总有两个不同的交点.(2)设该抛物线与x轴的两个交点分别是A，B(点A在点B的右侧)，与y轴交于点C，A，B，C三点都在☉P上.①试判断：不论m取任何正数，☉P是否经过y轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由；②若点C关于直线x=-m2的对称点为点E，点D(0，1)，连接BE，BD，DE，△BDE的周长记为l，☉P的半径记为r，求lr【解析】(1)令y=0，则x2+mx-2m-4=0.∵Δ=m2-4(-2m-4)=m2+8m+16=(m+4)2，又m>4，∴(m+4)2>0.∴此方程总有两个不相等的实数根，抛物线与x轴总有两个不同的交点.(2)①设☉P经过y轴上的另一个交点F.令y=0，则x2+mx-2m-4=0.(x-2)(x+m+2)=0.x1=2，x2=-m-2.又m>4，点A在点B的右侧.∴A(2，0)，B(-m-2，0).∵当x=0时，y=-2m-4，∴C(0，-2m-4).则AO=2，BO=m+2，CO=2m+4.∵∠BCO=∠BAF，∠CBO=∠AFO，∴△BCO∽△FAO.∴FOBO=AOCO，FOm∴FO=1，点F(0，1).②∵点C(0，-2m-4)关于直线x=-m2∴E(-m，-2m-4)，又B(-m-2，0)，D(0，1).∴BD2=(m+2)2+12=m2+4m+5，DE2=(2m+5)2+m2=5m2+20m+25，BE2=22+(2m+4)2=4m2+16m+20.∴BD2+BE2=DE2.∴∠DBE=90°.∴DE是☉P直径.∵BD2=(m+2)2+12=m2+4m+5，BE2=22+(2m+4)2=4m2+16m+20.∴BD2B∴BDBE=1设BD=a，BE=2a，则DE=5a.∴lr=3a+解答题高分练(10)26.(14分)抛物线y=-23x2+73x-1与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，其顶点为D.将抛物线位于直线l：y=tt<2524上方的部分沿直线l向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个(1)点A，B，D的坐标分别为________，________，________.

(2)如图①，抛物线翻折后，点D落在点E处.当点E在△ABC内(含边界)时，求t的取值范围；(3)如图②，当t=0时，若Q是“M”形新图象上一动点，是否存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】略26.(14分)如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴点A(-1，0)，B(3，0)，C(0，3)，点D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点.(1)求抛物线的解析式，并写出D点的坐标.(2)F(x，y)是抛物线上的动点：①当x>1，y>0时，求△BDF的面积的最大值；②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标.【解析】(1)将A(-1，0)，B(3，0)，C(0，3)代入y=ax2+bx+c，a-b∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，∴顶点D的坐标为(1，4).(2)①过点F作FF1∥y轴，交BD于点F1，如图1所示.设直线BD的解析式为y=mx+n(m≠0)，将B(3，0)，D(1，4)代入y=mx+n，3m+∴直线BD的解析式为y=-2x+6.∵点F的坐标为(x，-x2+2x+3)，∴点F1的坐标为(x，-2x+6)，∴FF1=-x2+2x+3-(-2x+6)=-x2+4x-3，∴S△BDF=12FF1·(xB-xD)=-x2+4x-3=-(x-2)2∴当x=2时，S△BDF取最大值，最大值为1.②过点E作EG∥BD交y轴于点G，交抛物线于点F，在y轴负半轴取OG′=OG，连接EG′，射线EG′交抛物线于点F′，如图2所示.∵EG∥BD，∴∠AEF=∠DBE.∵OG=OG′，EO⊥GG′，∴∠AEG′=∠AEF=∠DBE.∵E是线段AB的中点，A(-1，0)，B(3，0)，∴点E的坐标为(1，0).设直线EF的解析式为y=-2x+b，将E(1，0)代入y=-2x+b，-2+b=0，解得：b=2，∴直线EF的解析式为y=-2x+2.联立直线EF、抛物线解析式组成方程组，y解得：x1∴点F的坐标为(2-5，25-2).当x=0时，y=-2x+2=2，∴点G的坐标为(0，2)，∴点G′的坐标为(0，-2).同理，利用待定系数法可求出直线EG′的解析式为y=2x-2.联立直线EF′、抛物线解析式组成方程组，y解得：x1∴点F′的坐标为(-5，-25-2).综上所述：当∠AEF=∠DBE时，点F的坐标为(2-5，25-2)或(-5，-25-2).解答题高分练(11)26.(14分)如图，已知抛物线y=12x2-32x-n(n>0)与x轴交于点A，B两点(A点在B点的左边)，与y(1)如图1，若△ABC为直角三角形，求n的值.(2)如图1，在(1)的条件下，点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，若以BC为边，以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标.(3)如图2，过点A作直线BC的平行线交抛物线于另一点D，交y轴于点E，若AE∶ED=1∶4，求n的值.【解析】(1)设点A坐标为(x1，0)，设点B坐标为(x2，0)，则x1，x2是一元二次方程12x2-32x-n=0的两根，∴x1·x∴点C坐标为(0，-n)，∵△ABC为直角三角形，CO⊥AB，∴△AOC∽△COB，∴OC2=OA·OB，∴n2=-x1·x2=-(-2n)，解得n=0(舍去)或n=2.(2)由(1)得y=12x2-32x-2，该抛物线的对称轴为直线x=32，x=0时，y=-2，点C坐标为(0，-2).y=0时，12x2-32x-2=0，解得x1=-1，x2a,12a2-32a-2，过点P作PM⊥对称轴于点M，∵四边形BCPQ是平行四边形，∴PM=OB，-a+32=4，a=-52，12a2-∴PN=OB，b-32=4，b=112，12b2-32b-2=综上所述：点P坐标为-52,(3)过点D作DH⊥x轴于点H.设点A坐标为(m，0)，∵AE∶ED=1∶4，∴点D横坐标xD为-4m，∵xA·xB=-2n，∴点B坐标为-2nm,0∵AD∥BC，∴AD∶y==-m2x+m联立方程组y=12x2∴xA+∴n=27826.(14分)如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A(0，3)，B(1，0)，其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.(1)求抛物线的解析式.(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连接PE，PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值.(3)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】略解答题高分练(12)21.(10分)先化简再求值：x2-y2x2-2xy【解析】原式=(x+y)(=1-x=x=-yx当x=4，y=3时，原式=-3422.(12分)已知关于x，y的方程组x-y=3,2x【解析】x-①+②得3x=6a+3，解得x=2a+1，将x=2a+1代入①得，y=2a-2，∵x+y<3，∴2a+1+2a-2<3，即4a<4，a<1.23.(12分)如图，AB是☉O的直径，AC是☉O的切线，切点为A，BC交☉O于点D，点E是AC的中点.(1)试判断直线DE与☉O的位置关系，并说明理由.(2)若☉O的半径为2，∠B=50°，AC=4.8，求图中阴影部分的面积.【解析】(1)直线DE与☉O相切.连接OD，OE.∵点E是AC的中点，点O是AB的中点，∴EO是△ABC的中位线，∴EO=12BC，EO∥∴∠AOE=∠OBD，∠EOD=∠ODB，又∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD，∴∠EOD=∠AOE.又∵AO=DO，EO=EO，∴△EAO≌△EDO(SAS).∴∠EDO=∠EAO=90°，∴OD⊥DE，∴直线DE与☉O相切.(2)AE=12S△AOE=12AE·OA=12×2.4∴S四边形AODE=2×S△AOE=2×2.4=4.8.由圆心角是圆周角的2倍，可得，∠AOD=2∠ABD=2×50°=100°，∴S扇形AOD=100°360°S圆O=518πr2∴S阴影部分=S四边形AODE-S扇形AOD=4.8-109π24.(13分)某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米.(1)若苗圃园的面积为72平方米，求x.(2)若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由.(3)当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围.【解析】(1)苗圃园与墙平行的一边长为(30-2x)米.依题意可列方程x(30-2x)=72，即x2-15x+36=0.解得x1=3，x2=12.(2)依题意，得8≤30-2x≤18.解得6≤x≤11.面积S=x(30-2x)=-2x-1522+2252①当x=152时，S有最大值，S最大=225②当x=11时，S有最小值，S最小=11×(30-22)=88.(3)令x(30-2x)=100，得x2-15x+50=0.解得x1=5，x2=10.∴x的取值范围是5≤x≤10.25.(13分)在现实生活中，我们会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面A4的打印纸等，其实这些矩形的长与宽之比都为2∶1，我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”，在“标准矩形”ABCD中，P为DC边上一定点，且CP=BC，如图①所示.(1)如图①，求证：BA=BP.(2)如图②，点Q在DC上，且DQ=CP，若G为BC边上一动点，当△AGQ的周长最小时，求CGGB的值(3)如图③，已知AD=1，在(2)的条件下，连接AG并延长交DC的延长线于点F，连接BF，T为BF的中点，M，N分别为线段PF与AB上的动点，且始终保持PM=BN，请证明：△MNT的面积S为定值，并求出这个定值.【解析】(1)设AD=BC=a，则AB=CD=2a.∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=90°，∵PC=AD=BC=a，∴PB=PC2+∴BA=BP.(2)如图所示，作Q关于BC的对称点Q′，连接AQ′交BC于G，此时△AQG的周长最小.设AD=BC=QD=a，则AB=CD=2a，∴CQ=CQ′=2a-a，∵CQ′∥AB，∴CGGB=CQ'AB=2(3)如图③中，作TH∥AB交NM于H，交BC于K.由(2)可知，AD=BC=1，AB=CD=2，DP=CF=2-1，∵S△MNT=12·TH·CK+12·TH12HT·(KC+KB)=12HT·BC=∵TH∥AB∥FM，TF=TB，∴HM=HN，∴HT=12∵BN=PM，∴HT=12(FM+PM)=12PF=12·(1+2∴S△MNT=12HT=2解答题高分练(13)21.(10分)先化简，再求a+ba-b+ab-a÷b【解析】原式=a+b=ba-b×a∵|a-3|+b+1=0，∴a=3∴原式=ab=3-122.(12分)在2019年“新技术支持未来教育”的教师培训活动中，会议就“面向未来的学校教育、家庭教育及实践应用演示”等问题进行了互动交流，记者随机采访了部分参会教师，对他们发言的次数进行了统计，并绘制了不完整的统计表和条形统计图.组别发言次数n百分比A0≤n<310%B3≤n<620%C6≤n<925%D9≤n<1230%E12≤n<1510%F15≤n<18m%请你根据所给的相关信息，解析下列问题：(1)本次共随机采访了________名教师，m=________.

(2)补全条形统计图：观察此图，发言次数的“中位数”落在________组(填字母).

(3)已知受访的教师中，E组只有2名女教师，F组只有1名男教师，现要从E组，F组中分别选派1名教师写总结报告，请用列表法或画树状图的方法，求所选派的两名教师恰好是1男1女的概率.【解析】(1)由条形图知，C组共有15名参会教师，占25%，所以本次共随机采访了参会教师15÷25%=60(名)，m=100-10-20-25-30-10=5，答案：605(2)A组人数为60×10%=6(人)，B组人数为60×20%=12(人)，D组人数为60×30%=18(人)，E组人数为60×10%=6(人)，F组人数为60×5%=3(人)，补全图形如下：中位数是第30、31个数据的平均数，而第30、31个数据均落在C组，所以中位数落在C组，答案：C(3)E组共有6名教师，4男2女，F组有3名教师，1男2女，共有18种等可能的情况，一男一女的情况有10种，∴P一男一女=1018=5答：所选派的两名教师恰好是1男1女的概率为5923.(12分)如图，已知BD是矩形ABCD的对角线.(1)用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD，BC于E，F(保留作图痕迹，不写作法和证明).(2)连接BE，DF，问四边形BEDF是什么四边形？请说明理由.【解析】(1)如图所示，EF为所求直线.(2)四边形BEDF为菱形，理由为：∵EF垂直平分BD，∴BE=DE，∠DEF=∠BEF，∵AD∥BC，∴∠DEF=∠BFE，∴∠BEF=∠BFE，∴BE=BF，∵BF=DF，∴BE=ED=DF=BF，∴四边形BEDF为菱形.24.(13分)如图，☉O经过菱形的三个顶点A，B，C，且与AB相切于点A.(1)求证：BC为☉O的切线.(2)求∠B的度数.【解析】(1)连接AO，CO，BO.∵AB是☉O的切线，∴OA⊥AB.∴∠BAO=90°.∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC.∵AO=CO，BO=BO，∴△BAO≌△BCO(SSS).∴∠BCO=∠BAO=90°.即OC⊥BC.∴BC为☉O的切线.(2)连接BD，由菱形、圆的对称性知，BD必过圆心O，即B，O，D三点共线.∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∴∠ABO=∠ADO.∵OA=OD，∠OA