2025年中考数学高效提分练习题

PAGE7-高效提分练习题第十六讲全等三角形1.(2024·晋江市一模)如图，若△MNP≌△MEQ，则点Q应是图中的 (D)A.点A B.点B C.点C D.点D2.下列各图中a，b，c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是 (B)A.甲和乙 B.乙和丙C.甲和丙 D.只有丙3.如图，∠AOB=60°，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB于C，D两点；分别以C，D为圆心，以大于12CD的长为半径作弧，两弧相交于点P；以O为端点作射线OP，在射线OP上截取线段OM=6，则M点到OB的距离为 A.6 B.2 C.3 D.334.(2024·辽阳模拟)如图，BD平分∠ABC，BC⊥DE于点E，AB=7，DE=4，则S△ABD= (C)A.28 B.21 C.14 D.75.(2024·金牛区模拟)如图，AB⊥CD，且AB=CD，E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE=8，BF=6，AD=10，则EF的长为 (A)A.4 B.72 C.3 D.6.如图，Rt△ABC≌Rt△DCB，两斜边交于点O，如果AC=3，那么OD的长为1.5.

7.(2024·平谷区一模)如图，在△ABC中，射线AD交BC于点D，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，请补充一个条件，使△BED≌△CFD，你补充的条件是答案不唯一，如BD=DC(填出一个即可).

8.(2024·乐山中考)如图，线段AC，BD相交于点E，AE=DE，BE=CE.求证：∠B=∠C.【证明】在△AEB和△DEC中，∵AE∴△AEB≌△DEC，∴∠B=∠C.9.(2024·益阳中考)已知，如图，AB=AE，AB∥DE，∠ECB=70°，∠D=110°，求证：△ABC≌△EAD.【证明】由∠ECB=70°得∠ACB=110°，又∵∠D=110°，∴∠ACB=∠D，∵AB∥DE，∴∠CAB=∠E，∴在△ABC和△EAD中，∠∴△ABC≌△EAD(AAS).10.(2024·宜昌中考)如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，AB=DB，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连接DE.(1)求证：△ABE≌△DBE.(2)若∠A=100°，∠C=50°，求∠AEB的度数.【解析】(1)∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠DBE，在△ABE和△DBE中，AB∴△ABE≌△DBE(SAS).(2)∵∠A=100°，∠C=50°，∴∠ABC=30°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠DBE=12∠ABC=15°在△ABE中，∠AEB=180°-∠A-∠ABE=180°-100°-15°=65°.11.(2024·青岛中考)如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F.若∠ABC=35°，∠C=50°，则∠CDE的度数为 (C)A.35° B.40° C.45° D.50°12.(2024·东营垦利区一模)如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，若AD=3，BE=1，则DE= (B)A.1 B.2 C.3 D.413.(2024·高邮市模拟)△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为6cm，4cm，4cm，P为三条角平分线的交点，则△ABP，△BCP，△ACP的面积比等于 (D)A.1∶1：1 B.2∶2∶3C.2∶3∶2 D.3∶2∶214.(2024·莆田仙游县模拟)如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，顶点A在x轴负半轴上，B在y轴正半轴上，且C(4，-4)，则点B的坐标为(D)A.(0，4) B.(4，0) C.(8，0) D.(0，8)15.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是(2，0)，点B的坐标是(0，4)，点C在x轴上运动(不与点A重合)，点D在y轴上运动(不与点B重合)，当点C的坐标为(-4，0)或(-2，0)或(4，0)时，以点C，O，D为顶点的三角形与△AOB全等.

16.如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC(不添加其他字母及辅助线)，你添加的条件是AC=BC.

17.(2024·临沂中考)如图，在△ABC中，∠ACB=120°，BC=4，D为AB的中点，DC⊥BC，则△ABC的面积是83.

18.(2024·天津一模)如图，△ABC是边长为9的等边三角形，AD为BC边上的高，以AD为边作等边三角形ADE，F为AC中点，则线段EF的长为

9219.(2024·曲靖麒麟区模拟)如图，在∠MAN的两边AM，AN上分别截取AE=AF，连接EF，BA平分∠MAN交EF于点B，BC⊥AM于点C，BD⊥AN于点D，求证：CE=DF.【证明】∵BA平分∠MAN，BC⊥AM，BD⊥AN，∴BC=BD，∠BCA=∠BDA=90°，在Rt△ABC和Rt△ABD中，BC=BD,AB=AB∴Rt∴AC=AD，又∵AE=AC+CE，AF=AD+DF，∴CE=AE-AC，DF=AF-AD，又∵AE=AF，∴CE=DF.【核心素养题】(2024·枣庄中考)在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于点D.(1)如图1，点M，N分别在AD，AB上，且∠BMN=90°，当∠AMN=30°，AB=2时，求线段AM的长.(2)如图2，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF=90°，求证：BE=AF.(3)如图3，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且∠BMN=90°，求证：AB+AN=2AM.【解析】(1)∵∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，∴AD=BD=DC，∠ABC=∠ACB=45°，∠BAD=∠CAD=45°，∵AB=2，∴AD=BD=DC=2，∵∠AMN=30°，∴∠BMD=180°-90°-30°=60°，∴∠MBD=30°，∴BM=2DM，由勾股定理得，BM2-DM2=BD2，即(2DM)2-DM2=(2)2，解得，DM=63，∴AM=AD-DM=2-6(2)(3)略高效提分作业第十七讲等腰三角形和直角三角形1.(2024·贵港中考)下列命题中是假命题的是(D)A.对顶角相等B.直线y=x-5不经过第二象限C.五边形的内角和为540°D.因式分解x3+x2+x=x(x2+x)2.(2024·广西模拟)如图，△ABC是等腰直角三角形(AB=AC，∠BAC=90°)，AD是底边BC上的高.BC=10米，则AD的长是 (A)A.5米 B.52米 C.8米 D.10米3.如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线.若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是 (B)A.20° B.35° C.40° D.70°4.(2024·淄博周村区一模)如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为 A.50° B.60° C.70° D.80°5.(2024·兰州模拟)如图，等边三角形ABC的周长为18，则BC边上的高AD的长为 (B)A.3 B.33 C.6 D.636.(2024·天津河西区模拟)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=10，∠A=30°，则AC的长度为 (D)A.8 B.12 C.102 D.1037.如图，在△ABC中，AB=AC.以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连接BD.若∠A=32°，则∠CDB的大小为37度.

8.(2024·武威中考)定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”.若等腰△ABC中，∠A=80°，则它的特征值k=

85或149.(2024·杭州拱墅区二模)如图，△ABC是直角三角形，AB是斜边，AC=3，AB=5，AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，则BD的长为

25810.(2024·北京怀柔区模拟)如图，在△ABC中，AB=AC，点D，点E分别是BC，AC上一点，且DE⊥AD.若∠BAD=55°，∠B=50°，求∠DEC的度数.【解析】∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠B=50°，∴∠C=50°，∴∠BAC=180°-50°-50°=80°，∵∠BAD=55°，∴∠DAE=25°，∵DE⊥AD，∴∠ADE=90°，∴∠DEC=∠DAE+∠ADE=115°.11.(2024·南岸区模拟)如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA延长线于点F.(1)证明：△ADF是等腰三角形.(2)若∠B=60°，BD=4，AD=2，求EC的长.【解析】(1)∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵FE⊥BC，∴∠F+∠C=90°，∠BDE+∠B=90°，∴∠F=∠BDE，而∠BDE=∠FDA，∴∠F=∠FDA，∴AF=AD，∴△ADF是等腰三角形.(2)∵DE⊥BC，∴∠DEB=90°，∵∠B=60°，BD=4，∴BE=12∵AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∴BC=AB=AD+BD=6，∴EC=BC-BE=4.12.(2024·西安莲湖区模拟)在△ABC中，∠BAC=115°，DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，则∠EAG的度数为 (A)A.50° B.40° C.30° D.25°13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D，E，F分别为AB，AC，AD的中点，若BC=2，则EF的长度为 (B)A.12 B.1 C.32 14.(2024·黄石模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则DE的长为 (B)A.158 B.103 C.2512 15.(2024·苏州相城区一模)如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BC=310，sinA=35，则AB的长为 A.15 B.510 C.20 D.10516.(2024·北京房山区模拟)在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交直线AC于点E，∠AEB=80°，那么∠EBC等于 (C)A.15° B.25°C.15°或75° D.25°或85°17.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数为130°或90°.

18.(2024·哈尔滨道里区二模)在△ABC中，∠ABC=30°，AB=43，AD⊥AB，AD交直线BC于点D，CD=1，则BC=7或9.

19.(2024·天津滨海新区模拟)已知等边三角形ABC的边长为12，D是AB上的动点，过点D作DE⊥AC于点E，过点E作EF⊥BC于点F，过点F作FG⊥AB于点G，当点G与点D重合时，AD的长是8.

20.(2024·房山区模拟)如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边△ABD，连接DC，以DC当边作等边△DCE，B，E在C，D的同侧，若AB=2，求BE的长.【解析】∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC=BC，∵△ABD是等边三角形，∴BD=AD，∴△ADC≌△BDC.∴∠BCD=(360°-90°)÷2=135°，又∵∠CBD=60°-45°=15°，∴∠CDB=180°-135°-15°=30°，∠BDE=60°-30°=30°，∵CD=ED，∠CDB=∠BDE，BD=BD.∴△BCD≌△BED.∴BE=CB=2×sin45°=1，∴BE=1.【核心素养题】【阅读材料】小明遇到这样一个问题：如图1，点P在等边三角形ABC内，且∠APC=150°，PA=3，PC=4，求PB的长.小明发现，以AP为边作等边三角形APD，连接BD，得到△ABD；由等边三角形的性质，可证△ACP≌△ABD，得PC=BD；由已知∠APC=150°，可知∠PDB的大小，进而可求得PB的长.(1)请回答：在图1中，∠PDB=________°，PB=________.

【问题解决】(2)参考小明思考问题的方法，解决下面问题：如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点P在△ABC内，且PA=1，PB=17，PC=22，求AB的长.【灵活运用】(3)如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=α，且tanα=43，点P在△ABC外，且PB=3，PC=1，直接写出PA长的最大值【解析】(1)90°，5.(2)如图2中，把△ACP绕点C逆时针旋转90°得到△BCD.由旋转性质可知，BD=PA=1，CD=CP=22，∠PCD=90°，∴△PCD是等腰直角三角形，∴PD=2PC=2×22=4，∠CDP=45°，∵PD2+BD2=42+12=17，PB2=(17)2=17，∴PD2+BD2=PB2，∴∠PDB=90°，∴∠BDC=135°，∴∠APC=∠CDB=135°，∵∠CPD=45°，∴∠APC+∠CPD=180°，∴A，P，D共线，∴AD=AP+PD=5，在Rt△ADB中，AB=AD2+BD(3)略高效提分作业第十八讲解直角三角形1.(2024·天津中考)2sin60°的值等于 (C)A.1B.2C.3D.22.(2024·聊城东阿三模)如图，P是∠β的边OA上一点，且点P的坐标为(3，1)，则tanβ等于 (C)A.3 B.34 C.33 3.(2024·菏泽郓城一模)一般地，当α，β为任意角时，sin(α+β)与sin(α-β)的值可以用下面的公式求得：sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ；sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ.例如sin90°=sin(60°+30°)=sin60°·cos30°+cos60°·sin30°=32×32+12×12=1.类似地，可以求得sinA.6-24 C.6+22 4.如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA等于 (C)A.100sin35°米 B.100sin55°米C.100tan35°米 D.100tan55°米5.(2024·潍坊中考)如图，Rt△AOB中，∠AOB=90°，顶点A，B分别在反比例函数y=1x(x>0)与y=-5x(x<0)的图象上，则tan∠BAO的值为

6.(2024·济南槐荫区二模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AD=95，BD=165，则sinB=

37.(2024·泰安泰山区模拟)如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔400海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处，这时B处与灯塔P的距离为4002海里.

8.如图，在一笔直的海岸线l上有相距2km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是

3km.

9.(2024·巴中中考)某区域平面示意图如图所示，点D在河的右侧，红军路AB与某桥BC互相垂直.某校“数学兴趣小组”在“研学旅行”活动中，在C处测得点D位于西北方向，又在A处测得点D位于南偏东65°方向，另测得BC=414m，AB=300m，求出点D到AB的距离.(参考数据sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14)【解析】如图，过点D作DE⊥AB于E，过D作DF⊥BC于F，则四边形EBFD是矩形，设DE=x，在Rt△ADE中，∠AED=90°，∵tan∠DAE=DEAE∴AE=DEtan∠DAE∴BE=300-x2又BF=DE=x，∴CF=414-x，在Rt△CDF中，∠DFC=90°，∠DCF=45°，∴DF=CF=414-x，又可得BE=CF，即：300-x2解得：x=214.答：点D到AB的距离是214m.10.(2024·鄂州中考)为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如图.小明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30°(A，B，D，E在同一直线上).然后，小明沿坡度i=1∶1.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行.(1)求点F到直线CE的距离(结果保留根号).(2)若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求宣传牌的高度AB(结果精确到0.1米，2≈1.41，3≈1.73).【解析】(1)过点F作FG⊥EC于G，依题意知FG∥DE，DF∥GE，∠FGE=90°；∴四边形DEFG是矩形；∴FG=DE；在Rt△CDE中，DE=CE·tan∠DCE=6×tan30°=23(米).∴FG=23米.答：点F到直线CE的距离为23米.(2)∵斜坡CF的坡度i=1∶1.5.∴在Rt△CFG中，CG=1.5FG=23×1.5=33(米)，∴AD=FD=EG=33+6(米).在Rt△BCE中，BE=CE·tan∠BCE=6×tan60°=63(米).∴AB=AD+DE-BE=33+6+23-63=6-3≈4.3(米).答：宣传牌的高度约为4.3米.11.(2024·青岛一模)共享单车为人们的生活带来了极大的便利.如图，一辆单车放在水平的地面上，车把头下方A处与坐垫下方B处在平行于地面的水平线上，A，B之间的距离为49cm，现测得AC，BC与AB的夹角分别为45°，68°.若点C到地面的距离CD为28cm，坐垫中轴E处与点B的距离为5cm，求点E到地面的距离.(结果保留一位小数，参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48)【解析】略12.(2024·潍坊高密市一模)已知抛物线y=3x2+1与直线y=4cosα·x只有一个交点，则锐角α等于 (C)A.60° B.45° C.30° D.15°13.(2024·怀柔区一模)2019年1月3日，嫦娥四号探测器自主着落在月球背面，实现人类探测器首次月背软着陆.当时，中国已提前发射的“鹊桥”中继星正在地球、月球延长线上的L2点(第二拉格朗日点)附近，沿L2点的动态平衡轨道飞行，为嫦娥四号着陆器和月球车提供地球、月球中继通信支持，保障嫦娥四号任务的完成与实施.如图，已知月球到地球的平均距离约为38万公里，L2点到月球的平均距离约为6.5万公里.某刻，测得线段CL2与AL2垂直，∠CBL2=56°，则下列计算鹊桥中继星到地球的距离AC方法正确的是 (B)A.AC2=(6.5sin56°)2+44.52B.AC2=(6.5tan56°)2+44.52C.AC2=(6.5cos56°)2-44.52D.AC2=(6.5cos56°)2+6.5214.(2024·济宁微山一模)如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=2km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离(即AB的长)为(C)A.2km B.3kmC.2km D.(3+1)km15.(2024·新乐二模)如图，以学校(点C)为观测点，小明家(点B)和小丰家(点A)分别位于学校的正南方向和正西南方向，并测得AC=62km，BC=6(1+3)km，则小丰家位于小明家的(B)A.南偏西30°方向 B.北偏西30°方向C.北偏东45°方向 D.南偏东60°方向16.如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角∠AED=58°，升旗台底部到教学楼底部的距离DE=7米，升旗台坡面CD的坡度i=1∶0.75，坡长CD=2米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC=1米，则旗杆AB的高度约为 (B)(参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.6)A.12.6米 B.13.1米C.14.7米 D.16.3米17.(2024·东营广饶二模)如图，在直升机的镜头下，观测牡丹园A处的俯角为30°，B处的俯角为45°，如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A，B，D在同一条直线上，则A，B两点间的距离为(2003-200)米.(结果保留根号)

18.(2024·济南市中区二模)如图，学校环保社成员测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20m，DE的长为10m，则树AB的高度是30m.

19.如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点O，则tan∠AOD=2.

20.如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱AC的高为11米，灯杆AB与灯柱AC的夹角∠A=120°，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE长为18米，从D，E两处测得路灯B的仰角分别为α和β，且tanα=6，tanβ=34，求灯杆AB的长度【解析】过点B作BF⊥CE，交CE于点F，过点A作AG⊥BF，交BF于点G，则FG=AC=11.由题意得∠BDE=α，tanβ=34设BF=3x，则EF=4x，在Rt△BDF中，∵tan∠BDF=BFDF∴DF=BFtan∠BDF=3∵DE=18，∴12x+4x=18.∴∴BF=12，∴BG=BF-GF=12-11=1，∵∠BAC=120°，∴∠BAG=∠BAC-∠CAG=120°-90°=30°.∴AB=2BG=2，答：灯杆AB的长度为2米.21.如图，某测量小组为了测量山BC的高度，在地面A处测得山顶B的仰角45°，然后沿着坡度为=1∶3的坡面AD走了200米到达D处，此时在D处测得山顶B的仰角为60°，求山高BC(结果保留根号).【解析】作DF⊥AC于F.∵DF∶AF=1∶3，AD=200米，∴tan∠DAF=33，∴∠DAF=30°∴DF=12AD=12∵∠DEC=∠BCA=∠DFC=90°，∴四边形DECF是矩形，∴EC=DF=100(米)，∵∠BAC=45°，BC⊥AC，∴∠ABC=45°，∵∠BDE=60°，DE⊥BC，∴∠DBE=90°-∠BDE=90°-60°=30°，∴∠ABD=∠ABC-∠DBE=45°-30°=15°，∠BAD=∠BAC-∠DAF=45°-30°=15°，∴∠ABD=∠BAD，∴AD=BD=200米，在Rt△BDE中，sin∠BDE=BEBD∴BE=BD·sin∠BDE=200×32=1003∴BC=BE+EC=100+1003(米).【核心素养题】如图①，在Rt△ABC中，以下是小亮探究asinA与b∵sinA=ac，sinB=b∴c=asinA，c=∴asinA=根据你掌握的三角函数知识.在图②的锐角△ABC中，探究asinA，bsinB，c【解析】略高效提分作业第十九讲多边形与平行四边形1.(2024·北京平谷区二模)如果一个正多边形的内角和是这个正多边形外角和的2倍，那么这个正多边形是 (C)A.等边三角形 B.正四边形C.正六边形 D.正八边形2.(2024·大连一模)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=5，AC+BD=20，则△AOB的周长为 (C)A.10 B.20 C.15 D.253.在四边形ABCD中：①AB∥CD；②AD∥BC；③AB=CD；④AD=BC，从以上选择两个条件使四边形ABCD为平行四边形的选法共有 (B)A.3种 B.4种 C.5种 D.6种4.(2024·河池中考)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是 (B)A.∠B=∠F B.∠B=∠BCFC.AC=CF D.AD=CF5.(2024·广州中考)如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=4，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，则下列说法正确的是 (B)A.EH=HGB.四边形EFGH是平行四边形C.AC⊥BDD.△ABO的面积是△EFO的面积的2倍6.(2024·资阳中考)若正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的内角和是720°.

7.(2024·达州中考)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是AB的中点，△BEO的周长是8，则△BCD的周长为16.

8.(2024·武汉中考)如图，在▱ABCD中，E，F是对角线AC上两点，AE=EF=CD，∠ADF=90°，∠BCD=63°，则∠ADE的大小为21°.

9.如图，延长▱ABCD的边AD到F，使DF=DC，延长CB到点E，使BE=BA，分别连接点A，E和C，F.求证：AE=CF.【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∴AF∥EC，∵DF=DC，BE=BA，∴BE=DF，∴AF=EC，∴四边形AECF是平行四边形，∴AE=CF.10.(2024·安陆三模)如图，AB∥CD，AB=CD，BF⊥AC于点F，DE⊥AC于点E.求证：四边形DEBF是平行四边形.【证明】∵AB∥CD，∴∠A=∠C.∵BF⊥AC，DE⊥AC，∴∠BFA=∠DEC=90°，BF∥DE.在△ABF和△CDE中，∠∴△ABF≌△CDE(AAS)，∴BF=DE.又∵BF∥DE，∴四边形DEBF是平行四边形.11.(2024·哈尔滨道外区二模)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AB⊥AC.若AD=5，AB=3，则对角线BD的长为 (B)A.13 B.213 C.9 D.812.(2024·日照一模)一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，这个多边形的内角和是 (D)A.360° B.540°C.180°或360° D.540°或360°或180°13.在▱ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点.下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是 (B)A.BE=DF B.AE=CFC.AF∥CE D.∠BAE=∠DCF14.(2024·东营广饶一模)如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC于E，AB=3，AC=2，BD=4，则AE的长为 (D)A.32 B.32 C.217 15.(2024·临沂兰陵一模)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD=2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点，下列结论：①BE⊥AC；②四边形BEFG是平行四边形；③△EFG≌△GBE；④EG=EF，其中正确的个数是 (D)A.1 B.2 C.3 D.416.(2024·临沂沂南一模)如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC.若AB=8，tan∠ACB=23，则BD的长是2017.(2024·临沂兰山区一模)如图，平行四边形ABCD中，BE⊥AD于E，BF⊥CD于F，BE=2，BF=3，平行四边形ABCD的周长为20，则平行四边形ABCD的面积为12.

18.(2024·德州陵城区二模)如图，在▱ABCD中，点E在BC边上，且AE⊥BC于点E，ED平分∠CDA，若BE∶EC=1∶2，则∠BCD的度数为120°.

19.已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，给出下列四个论断：①OA=OC，②AB=CD，③∠BAD=∠DCB，④AD∥BC.请你从中选择两个论断作为条件，以“四边形ABCD为平行四边形”作为结论，完成下列各题：(1)构造一个真命题，画图并给出证明；(2)构造一个假命题，举反例加以说明.【解析】(1)①④为论断时：∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA，∠ADB=∠DBC.又∵OA=OC，∴△AOD≌△COB.∴AD=BC.∴四边形ABCD为平行四边形.(2)②④为论断时，此时一组对边平行，另一组对边相等，可以构成等腰梯形.【核心素养题】如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点(不与点A重合)，DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连接AE.(1)如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；(2)如图2，当点D不与M重合时，(1)中的结论还成立吗？请说明理由.(3)如图3，延长BD交AC于点H，若BH⊥AC，且BH=AM①求∠CAM的度数；②当FH=3，DM=4时，求DH的长.【解析】(1)如图1中，∵DE∥AB，∴∠EDC=∠ABM，∵CE∥AM，∴∠ECD=∠ADB，∵AM是△ABC的中线，且D与M重合，∴BD=DC，∴△ABD≌△EDC，∴AB=ED，∵AB∥ED，∴四边形ABDE是平行四边形.(2)(3)略高效提分作业第二十讲矩形、菱形、正方形1.(2024·无锡中考)下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是 (C)A.内角和为360° B.对角线互相平分C.对角线相等 D.对角线互相垂直2.(2024·济宁微山一模)如图，把一块含有30°角的直角三角板ABC的直角顶点放在矩形桌面CDEF的一个顶点C处，桌面的另一个顶点F与三角板斜边相交于点F，如果∠1=50°，那么∠AFE的度数为 (B)A.10° B.20° C.30° D.40°3.(2024·枣庄滕州模拟)如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA=OB；分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC，BC，AB，OC.若AB=2cm，四边形OACB的面积为4cm2.则OC的长为 (C)A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm4.(2024·济宁微山一模)如图，已知菱形OBAC的顶点O(0，0)，A(-2，-2)，若菱形绕点O顺时针旋转，每秒旋转45°，则旋转30秒时，菱形的对角线交点D的坐标为 (A)A.(1，-1) B.(-1，1)C.(1，0) D.(0，-2)5.(2024·潍坊诸城一模)如图所示，在正方形ABCD中，E是AC上的一点，且AB=AE，则∠BEC的度数是112.5度.

6.(2024·甘肃中考)如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=6，E为BC上一点，把△CDE沿DE折叠，使点C落在AB边上的F处，则CE的长为

1037.(2024·北部湾中考)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BO=4，S菱形ABCD=24，则AH=

2458.(2024·滨州无棣一模)如图，在矩形ABCD中，顺次连接矩形四边的中点得到四边形EFGH.若AB=8，AD=6，则四边形EFGH的周长等于20.

9.如图，在正方形ABCD中，AF=BE，AE与DF相交于点O.(1)求证：△DAF≌△ABE.(2)求∠AOD的度数.【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB=∠ABC=90°，AD=AB，在△DAF和△ABE中，AD∴△DAF≌△ABE(SAS).(2)由(1)知，△DAF≌△ABE，∴∠ADF=∠BAE，∵∠ADF+∠DAO=∠BAE+∠DAO=∠DAB=90°，∴∠AOD=180°-(∠ADF+∠DAO)=90°.10.(2024·聊城莘县一模)如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AD，BC上的点，AE=CF，对角线AC平分∠ECF.(1)求证：四边形AECF为菱形.(2)已知AB=4，BC=8，求菱形AECF的面积.【解析】(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥CF，∵AE=CF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC平分∠ECF，∴∠ACF=∠ACE，∵AE∥CF，∴∠ACF=∠EAC，∴∠EAC=∠ACE，∴AE=CE，∴四边形AECF是菱形.(2)设BF=x，则FC=8-x，∴AF=FC=8-x，在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，∴(8-x)2=x2+42，解得：x=3，∴FC=8-3=5，∴S菱形AECF=FC·AB=5×4=20.11.(2024·济南历城区一模)如图，BD是菱形ABCD的对角线，CE⊥AB交AB于点E，交BD于点F，且点E是AB中点，则cos∠BFE的值是 (D)A.3 B.32 C.33 12.如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于点E，F，连接PB，PD.若AE=2，PF=8.则图中阴影部分的面积为 (C)A.10 B.12 C.16 D.1813.(2024·济宁曲阜一模)如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为12cm，点B，D之间的距离为16cm，则线段AB的长为 (B)A.9.6cm B.10cm C.20cm D.12cm14.如图，点E，F，G，H分别是四边形ABCD边AB，BC，CD，DA的中点.则下列说法：①若AC=BD，则四边形EFGH为矩形；②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等.其中正确的个数是 (A)A.1 B.2 C.3 D.415.(2024·临沂蒙阴二模)如图，平行四边形ABCD中，∠B=60°.G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF，下列说法不正确的是 (D)A.四边形CEDF是平行四边形B.当CE⊥AD时，四边形CEDF是矩形C.当∠AEC=120°时，四边形CEDF是菱形D.当AE=ED时，四边形CEDF是菱形16.(2024·德州一模)如图，四边形ABCD中，AD=DC，∠ADC=∠ABC=90°，DE⊥AB，若四边形ABCD的面积为16，则DE的长为 (C)A.3 B.2 C.4 D.817.(2024·济南天桥区二模)如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是BC的中点，AB=5，BC=12，则四边形OECD的周长为20.

18.以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是30°或150°.

19.(2024·青岛一模)如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF.(1)求证：AF=DC.(2)△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形？并证明你的结论.【解析】(1)∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，∵E为AD的中点，∴AE=DE，在△AFE和△DBE中，∠∴△AFE≌△DBE(AAS)，∴AF=BD，又AD为中线，∴BD=CD，∴AF=CD.(2)△ABC是等腰三角形，即AC=AB时，四边形ADCF是矩形.∵AF=CD，且AF∥CD，∴四边形ADCF为平行四边形，当AC=AB时，∵AD为BC边上的中线，∴AD⊥BC，即∠ADC=90°，∴四边形ADCF为矩形.【核心素养题】如图，已知四边形ABCD为矩形，AD=20cm，AB=10cm.M点从D到A，P点从B到C，两点的速度都为2cm/s；N点从A到B，Q点从C到D，两点的速度都为1cm/s.若四个点同时出发.(1)判断四边形MNPQ的形状.(2)四边形MNPQ能为菱形吗？若能，请求出此时运动的时间；若不能，说明理由.【解析】略高效提分作业第二十一讲圆的认识1.(2024·眉山中考)如图，☉O的直径AB垂直于弦CD，垂足是点E，∠CAO=22.5°，OC=6.则CD的长为 (A)A.62 B.32 C.6 D.122.(2024·青岛市北区一模)如图，AB是☉O的直径，点C，D在☉O上，A是弧DC的中点，若∠ABD=15°，则∠BOC的度数为 (B)A.120° B.150° C.210° D.75°3.(2024·菏泽东明一模)如图，已知☉O是△ABC的外接圆，☉O的半径为4，AB=4，则∠C为 (A)A.30° B.45° C.60° D.90°4.(2024·镇江中考)如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，DC=CB.若∠C=110°，则∠ABC的度数等于 (A)A.55° B.60° C.65° D.70°5.如图，☉O的半径为5，AB为弦，点C为AB的中点，若∠ABC=30°，则弦AB的长为 (D)A.12 B.5 C.532 6.(2024·菏泽中考)如图，AB是☉O的直径，C，D是☉O上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是(C)A.OC∥BD B.AD⊥OCC.△CEF≌△BED D.AF=FD7.(2024·盐城中考)如图，点A，B，C，D，E在☉O上，且AB为50°，则∠E+∠C=155°.

8.(2024·德州中考)如图，CD为☉O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，AB=BF，CE=1，AB=6，则弦AF的长度为

4859.如图，点A，B，C都在☉O上，OC⊥OB，点A在劣弧BC上，且OA=AB，则∠ABC=15°.

10.(2024·淄博高青一模)如图，已知☉O经过△ABC的顶点A，B，交边BC于点D，点A恰为BD的中点，且BD=8，AC=9，sinC=13，求☉O的半径【解析】如图，连接OB，OA，OA交BC于H.∵点A为BD的中点，∴OA⊥BD，BH=DH=4，∴∠AHC=∠BHO=90°，∵sinC=13=AHAC，AC=9，设☉O的半径为r，在Rt△BOH中，∵BH2+OH2=OB2，∴42+(r-3)2=r2，∴r=256，∴☉O的半径为2511.(2024·东营广饶二模)如图，☉O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交☉O于点E，交BC于点D，∠ABC的平分线BF交AD于点F.(1)求证：BE=EF.(2)若DE=4，DF=3，求AF的长.【解析】(1)∵AE平分∠BAC，∴∠1=∠4，∵∠1=∠5，∴∠4=∠5，∵BF平分∠ABC，∴∠2=∠3，∵∠6=∠3+∠4=∠2+∠5，即∠6=∠EBF，∴EB=EF.(2)∵DE=4，DF=3，∴BE=EF=DE+DF=7，∵∠5=∠4，∠BED=∠AEB，∴△EBD∽△EAB，∴BEEA=DEBE，即7EA∴EA=494，∴AF=AE-EF=494-7=12.(2024·聊城阳谷一模)如图，已知AB，CG是☉O的两条直径，AB⊥CD于点E，CG⊥AD于点F.(1)求∠AOG的度数.(2)若AB=2，求CD的长.【解析】略13.如图，☉O的半径OA=6，以A为圆心，OA为半径的弧交☉O于B，C点，则BC= (A)A.63 B.62 C.33 D.3214.(2024·泰安泰山区模拟)如图，点B，C，D在☉O上，若∠BCD=140°，则∠BOD的度数是 (C)A.40° B.50° C.80° D.90°15.如图，☉A过点O(0，0)，C(3，0)，D(0，1)，点B是x轴下方☉A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是 (B)A.15° B.30° C.45° D.60°16.已知☉O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是 (D)A.30° B.60°C.30°或150° D.60°或120°17.(2024·青岛模拟)如图，四边形ABCD内接于☉O，F是CD上一点，且DF=BC，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为 (B)A.45° B.50° C.55° D.60°18.(2024·济南长清区二模)如图，△ABC是☉O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC=13，CD=5，AB=122，则☉O的直径等于 (C)A.1322 B.152 C.132 19.(2024·济宁微山一模)如图，在半径为3cm的☉O中，点D是劣弧AB的中点，点C是优弧AB上一点，∠C=30°，下列四个结论：①∠AOB=150°；②AB=33cm；③sin∠ABO=32；④四边形ADBO是菱形.其中正确结论的序号是A.①③ B.②④ C.②③④ D.①③④20.如图，在☉O中，∠AOB+∠COD=70°，AD与BC交于点E，则∠AEB的度数为35°.

21.已知☉O的半径为10cm，AB，CD是☉O的两条弦，AB∥CD，AB=16cm，CD=12cm，则弦AB和CD之间的距离是2或14cm.

22.(2024·聊城莘县一模)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的☉O交BC边于点D，交AC边于点E.过点D作☉O的切线，交AC于点F，交AB的延长线于点G，连接DE.(1)求证：BD=CD.(2)若∠G=40°，求∠AED的度数.(3)若BG=6，CF=2，求☉O的半径.【解析】(1)连接AD，∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=CD.(2)连接OD，∵GF是切线，OD是半径，∴OD⊥GF，∴∠ODG=90°，∵∠G=40°，∴∠GOD=50°，∵OB=OD，∴∠OBD=65°，∵点A，B，D，E都在☉O上，∴∠ABD+∠AED=180°，∴∠AED=115°.(3)∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵OB=OD，∴∠ABC=∠ODB，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，∴△GOD∽△GAF，∴ODAF=GO∴设☉O的半径是r，则AB=AC=2r，∴AF=2r-2，∴r2r-∴r=3，即☉O的半径是3.【核心素养题】如图，四边形ABCD内接于☉O，AB=17，CD=10，∠A=90°，cosB=35，求AD的长【解析】∵四边形ABCD内接于☉O，∠A=90°，∴∠C=180°-∠A=90°，∠ABC+∠ADC=180°.作AE⊥BC于E，DF⊥AE于F，则CDFE是矩形，EF=CD=10.在Rt△AEB中，∵∠AEB=90°，AB=17，cos∠ABC=35∴BE=AB·cos∠ABE=515∴AE=AB2-∴AF=AE-EF=685-10=18∵∠ABC+∠ADC=180°，∠CDF=90°，∴∠ABC+∠ADF=90°，∵cos∠ABC=35∴sin∠ADF=cos∠ABC=35在Rt△ADF中，∵∠AFD=90°，sin∠ADF=35∴AD=AFsin∠ADF高效提分作业第二十二讲与圆有关的位置关系1.(2024·重庆中考A卷)如图，AB是☉O的直径，AC是☉O的切线，点A为切点，BC与☉O交于点D，连接OD.若∠C=50°，则∠AOD的度数为(C)A.40° B.50° C.80° D.100°2.(2024·临沂河东区一模)如图，已知☉O的直径AB与弦AC的夹角为30°，过C点的切线PC与AB延长线交于点P，☉O的半径为2，则PC的长为 (D)A.4 B.43 C.6 D.233.(2024·菏泽东明一模)如图，△ABC的内切圆☉O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD=2，BC=5，则△ABC的周长为 (B)A.16 B.14 C.12 D.104.(2024·青岛李沧区二模)如图，在△MBC中，∠B=90°，∠C=60°，MB=23，点A在MB上，以AB为直径作☉O，与MC相切于点D，则CD的长为(C)A.2 B.3 C.2 D.35.(2024·泰安泰山区二模)如图，CD是☉O的切线，点C在直径的延长线上，若BD=23AD，AC=3，则CD= A.1 B.1.5 C.2 D.2.56.如图，已知△ABC的内切圆☉O与BC边相切于点D，连接OB，OD.若∠ABC=40°，则∠BOD的度数是70°.

7.如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点(两条网格线的交点叫格点)上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为(-1，-2).

8.(2024·温州中考)如图，☉O分别切∠BAC的两边AB，AC于点E，F，点P在优弧(EDF)上，若∠BAC=66°，则∠EPF等于57度.

9.(2024·达州中考)如图，☉O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线交☉O于点D，交BC于点E，过点D作直线DF∥BC.(1)判断直线DF与☉O的位置关系，并说明理由.(2)若AB=6，AE=1235，CE=475，【解析】(1)DF与☉O相切，理由：连接OD，∵∠BAC的平分线交☉O于点D，∴∠BAD=∠CAD，∴BD=CD，∴OD⊥BC，∵DF∥BC，∴OD⊥DF，∴DF与☉O相切.(2)∵∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠C，∴△ABD∽△AEC，∴ABAE=BD∴61235∴BD=22110.(2024·济宁模拟)如图，在△ABC中，AB=AC，以线段AB上的点O为圆心，OB为半径作☉O，分别与边AB，BC相交于D，E两点，过点E作EF⊥AC于F.(1)判断直线EF与☉O的位置关系，并说明理由.(2)若OB=3，cosB=13，求线段BE的长【解析】(1)连接OE，如图，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵OB=OE，∴∠B=∠OEB，∴∠OEB=∠C，∴OE∥AC，而EF⊥AC，∴OE⊥EF，∴EF为☉O的切线.(2)连接DE，∵OB=3，BD为☉O的直径，∴BD=6，∠DEB=90°，∵cosB=13，∴BE=111.(2024·烟台一模)如图，AB是☉O的弦，作OC⊥OA交☉O的切线BC于点C，交AB于点D.已知∠OAB=20°，则∠OCB的度数为 (C)A.20° B.30° C.40° D.50°12.(2024·聊城莘县一模)正三角形的高、外接圆半径、内切圆半径之比为 (A)A.3∶2∶1 B.4∶3∶2C.4∶2∶1 D.6∶4∶313.如图，四边形ABCD内接于☉O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为 (C)A.56° B.62° C.68° D.78°14.(2024·青岛李沧区一模)如图，AB是☉O的直径，DB，DE分别切☉O于点B，C，若∠ACE=25°，则∠D的度数是 (A)A.50° B.55° C.60° D.65°15.(2024·台州中考)如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB，AC相切，则☉O的半径为 (A)A.23 B.3 C.4 D.4-316.(2024·济南模拟)如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，CD是☉O的切线，OD∥BC，OD与半圆O交于点E，则下列结论中不一定正确的是 (C)A.AC⊥BC B.BE平分∠ABCC.BE∥CD D.∠D=∠A17.如图，在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为D，☉E是△ACD的内切圆，连接AE，BE，则∠AEB的度数为135°.

18.已知△ABC的三边a，b，c，满足a+b2+|c-6|+28=4a-1+10b，则△ABC的外接圆半径=

2519.(2024·滨州无棣一模)如图，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于点E，过点C的切线交AB的延长线于点F，连接DF.(1)求证：DF是☉O的切线.(2)连接BC，若∠BCF=30°，BF=2，求CD的长.【解析】(1)连接OD，如图，∵CF是☉O的切线∴∠OCF=90°，∴∠OCD+∠DCF=90°∵直径AB⊥弦CD，∴CE=ED，即OF为CD的垂直平分线，∴CF=DF，∴∠CDF=∠DCF，∵OC=OD，∴∠CDO=∠OCD∴∠CDO+∠CDF=∠OCD+∠DCF=90°，∴OD⊥DF，∴DF是☉O的切线.(2)∵∠OCF=90°，∠BCF=30°，∴∠OCB=60°，∵OC=OB，∴△OCB为等边三角形，∴∠COB=60°，∴∠CFO=30°∴FO=2OC=2OB，∴FB=OB=OC=2，在Rt△OCE中，∵∠COE=60°，∴OE=12OC=1，∴CE=3OE=3∴CD=2CE=23.20.(2024·滨州模拟)如图，BD为△ABC外接圆☉O的直径，且∠BAE=∠C.(1)求证：AE与☉O相切于点A.(2)若AE∥BC，BC=23，AC=2，求AD的长.【解析】(1)连接AO并延长交☉O于点F，连接BF，则AF为直径，∠ABF=90°，∵AB=AB，∴∠ACB=∠F，∵∠BAE=∠ACB，∴∠BAE=∠F，∵∠FAB+∠F=90°，∴∠FAB+∠BAE=90°，∴OA⊥AE，∴AE与☉O相切于点A.(2)略【核心素养题】如图，在直角坐标系中，点P的坐标为(2，0)，☉P与x轴相交于原点O和点A，又B，C两点的坐标分别为(0，b)，(-1，0).(1)当b=2时，求经过B，C两点的直线解析式.(2)当B点在y轴上运动时，直线BC与☉P的位置关系如何？并求出相应位置b的值.【解析】略高效提分作业第二十三讲圆的有关计算1.(2024·绍兴中考)如图，△ABC内接于☉O，∠B=65°，∠C=70°.若BC=22，则BC的长为 (A)A.π B.2π C.2π D.22π2.(2024·德州乐陵模拟)如图，☉O是等边△ABC的外接圆，其半径为3，图中阴影部分的面积是 (D)A.π B.3π2 C.2π 3.(2024·德州一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，∠B=60°，以点B为圆心，线段BC为半径作弧CD交AB于点D，以点A为圆心，线段AD为半径作弧DE交AC于点E，则阴影部分的面积为 (B)A.43-π B.23-πC.43-2π D.π-34.(2024·滨州无棣模拟)已知圆的半径是23，则该圆的内接正六边形的面积是 (C)A.33 B.93 C.183 D.3635.(2024·聊城莘县二模)如图，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=23，则S阴影=(D)A.2π B.83π C.43π D.6.已知扇形的弧长为2π，圆心角为60°，则它的半径为6.

7.一个扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm，则此扇形的面积是6πcm2.

8.如图，将边长为3的正六边形铁丝框ABCDEF变形为以点A为圆心，AB为半径的扇形(忽略铁丝的粗细).则所得扇形AFB(阴影部分)的面积为18.

9.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，1)，以点O为旋转中心，将点A逆时针旋转到点B的位置，则AB的长为

2π410.(2024·泰安中考)如图，∠AOB=90°，∠B=30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点A，点C，交OB于点D，若OA=3，则阴影部分的面积为

34π11.(2024·临沂兰陵一模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在AB上，以AE为直径的☉O经过点D.(1)求证：直线BC是☉O的切线.(2)若∠B=30°，AC=3，求图中阴影部分的面积.【解析】(1)连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠OAD=∠CAD，∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，∴∠ODA=∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C=90°，∴∠ODB=90°，∴OD⊥BC，∴直线BC是☉O的切线.(2)由∠B=30°，∠C=90°，∠ODB=90°，得：AB=2AC=6，OB=2OD，∠AOD=120°，∠DAC=30°，∵OA=OD，∴OB=2OA，∴OA=OD=2，由∠DAC=30°，得DC=3，∴S阴影=S扇形OAD-S△OAD=120360π×4-12×2×3=43π12.(2024·德州禹城二模)如图，AB是☉O的直径，AC是☉O的切线，切点为A，BC交☉O于点D，点E是AC的中点.(1)试判断直线DE与☉O的位置关系，并说明理由.(2)若☉O的半径为2，∠B=50°，AC=5，求图中阴影部分的周长.【解析】略13.如图，正方形ABCD内接于☉O，☉O的半径为2，以点A为圆心，以AC长为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积为 (A)A.4π-4 B.4π-8 C.8π-4 D.8π-814.如图，ABCDEF为☉O的内接正六边形，AB=a，则图中阴影部分的面积是 (B)A.π6a2 B.π6C.34a2 D.π315.(2024·德州庆云二模)如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，将△ABC绕点A逆时针方向旋转40°得到△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积为 (D)A.143π-6 C.338π-3 D.2516.(2024·盐城阜宁一模)如图，边长为2的正方形ABCD的四个顶点分别在扇形OEF的半径OE，OF和EF上，且点A是线段OB的中点，则EF的长为 (D)A.55π B.54π C.12π 17.如图，将半径为3的圆形纸片，按下列顺序折叠两次.若折叠后的AB和BC都经过圆心O，则图中阴影部分的面积是 (B)A.2743 B.3π C.93 18.如图，正六边形ABCDEF的边长为1，以点A为圆心，AB的长为半径，作扇形BAF，则图中阴影部分的面积为

332-π319.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A′B′C′，其中点B的运动路径为BB'，则图中阴影部分的面积为

54π-320.如图，四个小正方形的边长都是1，若以O为圆心，OG为半径作弧分别交AB，DC于点E，F，则图中阴影部分的面积为

2π321.如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC的斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E.B，E是半圆弧的三等分点，弧BE的长为2π3，则图中阴影部分的面积为

332-22.已知一个圆心角为270°、半径为3m的扇形工件，未搬动前如图所示，A，B两点触地放置，搬动时，先将扇形以B为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A，B两点再次触地时算一次，则n次滚动以后，圆心O所经过的路线长是6nπm.(结果用含π的式子表示)

【核心素养题】已知：如图，以等边△ABC的边BC为直径作☉O，分别交AB，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC交AC于点F.(1)求证：DF是☉O的切线.(2)若等边△ABC的边长为8，求由DE，DF，EF围成的阴影部分面积.【解析】(1)如图，连接CD，OD，∵BC是☉O的直径，∴∠CDB=90°，即CD⊥AB，又∵△ABC是等边三角形，∴AD=BD，∵BO=CO，∴DO是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴DF⊥OD，∴DF是☉O的切线.(2)略高效提分作业第二十四讲平移、旋转与轴对称1.点A(2，-5)关于x轴对称的点的坐标是 (A)A.(2，5) B.(-2，5)C.(-2，-5) D.(-5，2)2.图中由“○”和“□”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直线 (C)A.l1 B.l2 C.l3 D.l43.(2024·南京中考)如图，△A′B′C′是由△ABC经过平移得到的，△A′B′C′还可以看作是△ABC经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称.其中所有正确结论的序号是 (D)A.①④ B.②③ C.②④ D.③④4.(2024·聊城东昌府区一模)已知点A的坐标为(3，2)，O为坐标原点，连接OA，将线段OA绕点O按逆时针方向旋转90°得OA′，则点A′的坐标为(D)A.(-3，2) B.(3，-2)C.(2，-3) D.(-2，3)5.(2024·菏泽牡丹区二模)如图，将△ABC绕点A逆时针旋转110°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠ADE的大小为 (D)A.55° B.50° C.45° D.35°6.(2024·青岛模拟)将点P(-3，y)向下平移3个单位，向左平移2个单位后得到点Q(x，-1)，则x+y=-3.

7.(2024·潍坊诸城一模)若点P(a+b，5)与点Q(-1，3a-b)关于原点对称，则ab=1.

8.(2024·济宁嘉祥一模)如图，图形B是由图形A旋转得到的，则旋转中心的坐标为(0，1).

9.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(1，1)，B(4，1)，C(3，3).(1)将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1.(2)将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2.(3)判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状.(不用说明理由)【解析】(1)如图所示，△A1B1C1即为所求.(2)如图所示，△A2B2C2即为所求.(3)三角形的形状为等腰直角三角形，OB=OA1=16+1=17，A1B=25+9=34，即OB2+OA12=A1B所以三角形的形状为等腰直角三角形.10.(2024·荆门模拟)如图，将Rt△ABC绕直角顶点B逆时针旋转90°得到△DBE，DE的延长线恰好经过AC的中点F，连接AD，CE.(1)求证：AE=CE.(2)若BC=2，求AB的长.【解析】(1)∵将Rt△ABC绕直角顶点B逆时针旋转90°得到△DBE，∴△ABC≌△DBE，∴∠BAC=∠CDF，∵∠BAC+∠ACB=90°，∴∠CDF+∠ACB=90°，∴DF⊥AC，且点F是AC中点，∴DF垂直平分AC，∴AE=CE.(2)∵△ABC≌△DBE，∴BE=CB=2，∴CE=AE=2，∴AB=AE+BE=2+2.11.(2024·河北模拟)如图，在4×4的正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影，若再从图中4个序号表示的小正方形中选一个涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形是轴对称图形，那么不符合条件的小正方形是 (A)A.① B.② C.③ D.④12.如图，面积为6cm2的△ABC纸片沿BC方向平移至△DEF的位置，平移的距离是BC长的2倍，则△ABC纸片扫过的面积为 (D)A.18cm2 B.21cm2 C.27cm2 D.30cm213.如图，直线y=-33x+2与x轴、y轴分别交于A，B两点，把△AOB沿直线AB翻折后得到△AO′B，则点O′的坐标是 A.(3，3) B.(3，3)C.(2，23) D.(23，4)14.小军同学在网格纸上将某些图形进行平移操作，他发现平移前后的两个图形所组成的图形可以是轴对称图形.如图所示，现在他将正方形ABCD从当前位置开始进行一次平移操作，平移后的正方形顶点也在格点上，则使平移前后的两个正方形组成轴对称图形的平移方法有 (C)A.3个 B.4个 C.5个 D.无数个15.在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系.如图，在平面上取一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径.点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度(规定逆时针方向转动角度为正)来确定，即P(3，60°)或P(3，-300°)或P(3，420°)等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是 (D)A.Q(3，240°) B.Q(3，-120°)C.Q(3，600°) D.Q(3，-500°)16.如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP+PN的最小值是 (B)A.12 B.1 C.2 17.对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图所示，点O为对角线的交点，过点O折叠菱形，使B，B′两点重合，MN是折痕.若B′M=1，则CN的长为 (D)A.7 B.6 C.5 D.418.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，则∠B的度数为15°.

19.如图，在Rt△AOB中，直角边OA，OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，将△AOB绕点B逆时针旋转90°后，得到△A′O′B，且反比例函数y=kx的图象恰好经过斜边A′B的中点C.若S△ABO=4，tan∠BAO=2，则k=620.(2024·德州德城区一模)阅读材料：对于线段的垂直平分线我们有如下结论：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上.即如图①，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上.请根据阅读材料，解决下列问题：如图②，直线CD是等边△ABC的对称轴，点D在AB上，点E是线段CD上的一动点(点E不与点C，D重合)，连接AE，BE，△ABE经顺时针旋转后与△BCF重合.(1)旋转中心是点________，旋转了________度.

(2)当点E从点D向点C移动时，连接AF，设AF与CD交于点P，在图②中将图形补全，并探究∠APC的大小是否保持不变？若不变，请求出∠APC的度数；若改变，请说出变化情况.【解析】略21.(2024·临沂兰陵一模)如图，正方形ABCD中，AB=25，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF(1)如图1，求证：AE=CF.(2)如图2，若A，E，O三点共线，求点F到直线BC的距离.【解析】(1)∵将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，∴∠EDF=90°，DE=DF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC=90°，∴∠ADC=∠EDF，∴∠ADE=∠CDF，又DE=DF，AD=CD，∴△ADE≌△CDF(SAS)，∴AE=CF.(2)如图2，过点F作FP⊥BC交BC的延长线于点P，则线段FP的长度就是点F到直线BC的距离.∵点O是BC中点，且AB=BC=25，∴BO=5，∴AO=AB∵OE=2，∴AE=AO-OE=3.∵△ADE≌△CDF，∴AE=CF=3，∠DAO=∠DCF，∴∠BAO=∠FCP，且∠ABO=∠FPC=90°，∴△ABO∽△CPF，∴CFAO=PFBO，∴35∴PF=35∴点F到直线BC的距离为35【核心素养题】【问题解决】一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3.你能求出∠APB的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数；思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP′B，连接PP′，求出∠APB的度数.请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程.【类比探究】如图2，若点P是正方形ABCD外一点，PA=3，PB=1，PC=11，求∠APB的度数.【解析】(1)思路一：如图1，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，∴△ABP′≌△CBP，∴∠PBP′=90°，BP′=BP=2，AP′=CP=3，在Rt△PBP′中，BP=BP′=2，∴∠BPP′=45°，根据勾股定理得，PP′=2BP=22，∵AP=1，∴AP2+PP′2=1+8=9，∵AP′2=32=9，∴AP2+PP′2=AP′2，∴△APP′是直角三角形，且∠APP′=90°，∴∠APB=∠APP′+∠BPP′=90°+45°=135°.(2)如图2，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，∴△ABP′≌△CBP，∴∠PBP′=90°，BP′=BP=1，AP′=CP=11，在Rt△PBP′中，BP=BP′=1，∴∠BPP′=45°，根据勾股定理得，PP′=2BP=2，∵AP=3，∴AP2+PP′2=9+2=11，∵AP′2=(11)2=11，∴AP2+PP′2=AP′2，∴△APP′是直角三角形，且∠APP′=90°，∴∠APB=∠APP′-∠BPP′=90°-45°=45°.高效提分作业第二十五讲相似形1.(2024·重庆中考A卷)如图，△ABO∽△CDO，若BO=6，DO=3，CD=2，则AB的长是 (C)A.2 B.3 C.4 D.52.(2024·滨州无棣模拟)如图，△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，则以下结论错误的是 (