《金融风险管理》 -课件 -第3、4 章 风险管理之市场波动率、风险管理之市场风险度量

第三章

风险管理之市场波动率任课教师：陈创练

GARCH-MIDAS模型建模

GARCH模型建模4

波动率建模步骤

ARCH模型构建

EWMA模型建模312提纲CONTENTS5

Jump-GARCH模型建模6

BEKK-GARCH模型建模7其他GARCH族8一、波动率建模步骤第一节波动率建模步骤步骤建立均值方程ARCH效应检验设定波动率模型验证和改进模型对收益率序列采用特定波动率模型建模至关重要，波动率建模在期权价格预测、区间预测精准度、参数估计有效性、投资组合配置、金融风险管理等方面具有深远的影响。

检验数据的序列相关性，构建一个均值方程。设定一个波动率模型，并对条件均值方程和条件方差方程展开联合估计。根据需要对设定模型作改进处理。对残差序列

做Ljung-Box白噪声检验基于联合检验构建的F统计量和

统计量的LM检验【例4-1】选择的数据是沪深300指数2005年4月8日-2020年10月13日度数据作为研究样本。其中，假定均值方程为：残差平方方程为：检验结果：图4-1沪深300指数收益率平方指数走势结论：从LB、F等统计量检验结果看，股指收益率存在ARCH效应，应该构建ARCH或GARCH族模型。从图4-1可以看出，收益率平方项具有较强的波动聚集性特征。案例——ARCH效应检验二、ARCH模型构建第二节ARCH模型构建在金融数据分析中，为了简化模型计算，人们一般将时间序列默认为服从正态分布假设。在实际检验中，时间序列的分布往往呈现尖峰厚尾，波动集聚等现象。这些特征是正态分布无法描述的。为了刻画上述特性，Engel（1982）基于条件异方差，首创了ARCH模型。

其基本思想是：

（1）股票收益率均值方程是扰动项前后不相关，但是前后不独立。

（2）不独立，即可以由的滞后项线性表示。一、模型介绍服从标准正态分布、t分布、GED分布第二节ARCH模型构建二、模型性质ARCH模型的性质：以ARCH(1)为例：（1）无条件期望和方差：性质无条件期望和方差尖峰厚尾特征满足方差有限性ARCH模型的性质：（2）具有尖峰厚尾特征。为了研究是否厚尾，需要计算峰度，故此需要计算残差序列的四阶矩。故此，无条件的四阶矩：

则：

最后，可求得的超峰度为：可见，序列是厚尾分布，这也与经验数据观察得到的结论相一致。

正态分布的峰度为3，即，因为第二节ARCH模型构建当样本量T趋于无穷：对于l>p，收敛于零。对于l>p，的渐进方差为1/T。由上面的分析，可知收益率存在ARCH效应，故此，应该建立如下模型：因为，令，故此：此时，是AR(M)模型，但不要求残差序列独立同分布，可采用PACF确定滞后阶数m。对上述模型采用OLS估计不是有效估计，即方差不是最小，因此，一般采用极大似然函数展开估计。ARCH(m)模型设定为：结合残差假定，可以分位三种，即（1）残差服从标准正态分布；（2）有偏t分布；（3）广义误差分布。偏相关系数（PACF）：第二节ARCH模型构建第二节ARCH模型构建步骤确定模型阶数估计模型参数验证模型的设定预测用的偏自相关函数（PACF）确定模型阶数p。的Ljung-Box统计量可用来检验波动率方程的正确性。根据设定的模型进行预测。根据不同分布，用不同的似然函数估计模型参数。

三、建模步骤

建立ARCH模型有以下几个步骤：第二节ARCH模型构建四、优缺点包含截距时，加权权重的格式

对上式进行一般化推广，其中，假定长期存在一长期平均方差（包含截距），则对应的模型为：优点：（1）可刻画波动率聚集；（2）扰动项具有厚尾分布。缺点：（1）假定正负向扰动对波动率的影响相同，现实是负扰动影响更大。

（2）对模型参数设定施加约束，如ARCH(1)要求。

（3）只能刻画调节方差的变化，但是无法给出变化的缘由。（4）基于模型预测的波动率偏高。【例4-2】选取上证指数2016年1月1日到2021年3月31日日收盘价，首先利用python绘制上证指数收盘价及对数收益率（见图4-2）。然后建立对数收益率序列，并估算波动率。图4-3给出了基于ARCH模型估计得到的上证指数波动率走势，其中ARCH（1）模型的估计结果为：图4-2上证指数收盘价和收益率图4-3ARCH模型估计结果案例——利用ARCH模型估算波动率案例——利用ARCH模型估算波动率三、EWMA模型建模第三节

EWMA模型建模指数加权移动平均模型（EWMA模型）也称指数平滑模型，其基本思想是随着时间间隔的增大，各数值的权重呈指数式衰减，即当前数据所占权重较高，更看重近期观测的数据。采用递归形式：衰减因子【例4-3】假定

，在第

天，由市场变量所估测的波动率为每天2%，即

市场变量增加了3%，即

，则：

因此，第

t天波动率

的估计为

。

案例——指数加权移动平均模型应用四、GARCH模型建模一、模型介绍Bollerslev（1986）提出GARCH模型。对于收益率序列

，令

为t时刻的新息，称

服从GARCH（p，q）模型：令

，GARCH（1，1）模型的均值方程和条件方差方程均为：第四节GARCH模型建模

二、模型性质第四节GARCH模型建模性质条件均值和方差波动性聚集厚尾分布模型设定检验：对于GARCH（p，q）模型，其中，p和q的确定可以基于LR检验，统计量：LR=-2(Lu-Lr)~χ2(m)，其中，Lu表示无约束模型的对数极大似然值，Lr表示有约束模型的对数极大似然值。假定GARCH(1,1)过程：对上式做递归处理，可得将

代入继续递归可得：可以看出

对应的权重为

，且以

指数速度下降，可被解释为衰减速度（decayrate）。性质：（1）

（2）故此：GARCH模型的

分布也是满足厚尾特征。第四节GARCH模型建模【例4-4】假定

，即参数估计值分别为

、

、

，由此可得

，长期方差为

，其对应的波动率为

假设对应于

天的日波动率估算值为1.4%，即

，又假设

天市场价格降1%，即

，因此：因此，最新估计的波动率为

。案例——利用GARCH模型估计波动率【例4-5】

选取上证指数2016年1月1日到2021年3月31日的日收盘价，建立对数收益率序列，并利用GARCH（1,1）模型估算波动率：

图4-4给出了基于GARCH模型估计得到的上证指数波动率走势。图4-4GARCH模型估计结果案例——利用GARCH模型估计波动率案例——利用GARCH模型估计波动率五、GARCH-MIDAS

模型建模第五节GARCH-MIDAS模型建模与传统GARCH模型的不同之处在于：混频数据GARCH-MIDAS模型的主要特点是增加了成分方程的设定，将金融资产波动分解为长期波动与短期波动，假定原有GARCH模型中

表示为

从而可以得到新的方程：第t月(季度、年)第i天的对数收益率短期的日波动月度已实现波动率波动率的长期成分第五节GARCH-MIDAS模型建模取对数低频变量的最大滞后阶数基于函数Beta的权重方程某个宏观经济变量在当期t期滞后k期的水平值变量的水平值的最大滞后阶数将已实现波动率以及宏观经济变量共同放入模型中构成双因子模型：第五节GARCH-MIDAS模型建模某个宏观经济变量在当期t期滞后k期的波动率变量X的波动率的最大滞后阶数已实现波动率对波动率长期影响成分宏观经济变量对波动率长期影响成分

案例——GARCH-MIDAS单因子模型表4-1单因子模型参数估计结果六、Jump-GARCH

模型建模第六节Jump-GARCH模型建模本节参考Chan&Maheu（2002）、Maheu&McCurdy（2004）和Daaletal（2007）的做法，在GARCH成分的条件方差中加入反馈函数，以衡量跳跃行为对正常波动成分的反馈效应。平滑残差跳跃残差二者相互独立跳跃次数服从泊松分布发生j次跳跃的概率密度第六节Jump-GARCH模型建模前期跳跃强度对下一期的影响跳跃的持续性或集聚性预期偏差

时段跳跃发生次数的事前预期第六节Jump-GARCH模型建模反馈函数刻画了收益残差对条件方差的回馈效应资产收益的总条件均值和总条件方差分别为：采用最大似然估计法估计模型参数：根据贝叶斯法则，有：第六节Jump-GARCH模型建模【例4-7】

选取2018年1月1日到2021年5月1日的CME交易所比特币现货日结算价格和BTC/USD期货合约的日结算价格数据作为样本数据。使用Jump-GARCH类模型中的ARJI模型对参数进行估计，各模型基本表达式如下：ARJI模型如下：ARJI-R2模型如下：ARJI-ht模型如下：案例——Jump-GARCH模型研究波动率ARJI常数模型如下：表4-2ARJI-GARCH模型参数估计结果

案例——Jump-GARCH模型研究波动率七、BEKK-GARCH

模型建模第七节BEKK-GARCH模型建模以BEKK-GARCH（1,1）模型为例，条件均值方程和方差方程分别为：收益率向量常数矩阵

系数矩阵模型滞后阶数

随机扰动项协方差矩阵常数矩阵ARCH项系数矩阵GARCH项系数矩阵

波动中的ARCH效应

波动中的GARCH效应【例4-8】

选取美国、中国、日本、香港股指期货近月合约的日结算价、现货市场股价指数各交易日的收盘价作为样本数据。对四个市场收益率残差序列建立BEKK-MGARCH（1,1）-VAR模型，误差项服从t分布，对模型参数的估计以及波动溢出效应极大似然比检验结果如下表所示：表4-3BEKK-MGARCH（1,1）-VAR模型参数估计结果案例——研究中美股市波动溢出效应表4-4波动溢出效应的极大似然比检验首先，检验原假设，可知四个样本国家或地区的指数期货对现货市场均存在且高度显著的波动溢出效应。其次，检验原假设，可知四个样本国家或地区的现货市场对指数期货同样存在高度显著的波动溢出效应。最后，检验原假设，四个样本国家或地区市场上均存在股指期货与现货市场间显著的双向波动溢出效应。八、其他GARCH族第八节其他GARCH族——IGARCH一、IGARCHBollerslev在1986年提出IGARCH模型（IntegratedGARCHModel）来解决GARCH模型中约束过多的问题。IGARCH模型形式与GARCH模型相似，但约束条件不同，IGARCH（p，q）模型：二、TGARCH金融资产收益率的条件方差对“利好”消息和“利空”消息的反应往往是不同的，导致市场波动程度不同，当“利空”消息或者未预期到的损失出现时，收益率序列的条件方差可能会显著增大，这种非对称影响称为杠杆效应。Zakoian（1993）提出了TGARCH（ThresholdARCH）模型：、和为非负参数，满足类似于GARCH模型的条件。从模型中可以看出，正的对的贡献为，负的对贡献为，其中，要大于为正时的值，描绘出了杠杆效应的非对称性。第八节其他GARCH族——TGARCH三、EGARCHNelson（1991）提出了另一种非对称的EGARCH模型（ExponentialGARCH）。以最简单的EGARCH（1,1）模型为例：对于

项，当

时，能够捕捉到波动的持续性现象。并且均值方程的扰动项

与扰动项标准差

之比

、绝对值

与扰动项标准差

之比

用来刻画非对称影响的因子，衡量正负冲击对波动率的非对称性影响。第八节其他GARCH族——EGARCH进一步地，将EGARCH模型中方差方程刻画的非对称影响具体写为：因此，如果

，风险因子对收益率序列的正负冲击是对称的，如果

，则非对称效应存在。由于标准差

，当

时代表出现“利好消息”，此时

，我们期望收益率的波动性下降，即

；反之亦然。据此，我们可以通过检验

的符号间接验证EGARCH模型是否存在非对称性。原假设

，备择假设为

，如果拒绝原假设，则说明存在非对称效应。EGARCH（p，q）模型：第八节其他GARCH族——EGARCH四、APARCHAPARCH模型（AsymmetricPowerARCH）是Ding、Engle和Granger于1993年提出的另一种用于刻画金融时间序列非对称性的扩展GARCH模型，APARCH（1,1）模型表示形式如下：将APARCH（1,1）模型扩展到更一般的包含多个门限的APARCH（p，q）模型：其中

，当

时

，当

时

，。

是用来考察

期的非对称性，

则说明系统存在“杠杆效应”。若

，

则APARCH模型退化为GARCH模型。第八节其他GARCH族——APARCH杠杆系数

小于零，说明利空消息引起的波动程度比利好消息更大，即存在杠杆效应。利好消息造成了一个

倍大小的冲击，利空消息造成了一个

倍大小的冲击。由此得出，市场的波动对于利空消息的反应更加敏感。【例4-9】

选取上证指数2016年1月1日到2021年3月31日的日收盘价，建立对数收益率序列，并利用EGARCH（1,1）模型估算波动率，估计结果如下所示：

图4-5EGARCH模型估计结果案例——EGARCH模型分析中国股市杠杆效应案例——EGARCH模型分析中国股市杠杆效应九、波动率的估计与应用【案例一：

建立GARCH（1,1）模型】一、数据的选取及处理

案例一沿用第四章的案例。从沪深300指数成分股中随机选取了30只股票进行演示，分别为S1(TCL科技，000100)、S2（上汽集团，600104）、S3（泸州老窖，000568）、S4（格力电器，000651）、S5（中国重工，601989）、S6（方大炭素，600516）、S7（招商证券，600999）、S8（鞍钢股份，000898）、S9（长春高新，000661）、S10（广发证券，000776）、S11(沃森生物，300142)、S12（国电电力，600795）、S13（爱尔眼科，300015）、S14（温氏股份，300498）、S15（上海建工，600170）、S16（海油工程，600583）、S17（华域汽车，600741）、S18（中金黄金，600489）、S19（中国神华，601088）、S20（兴业银行，601166）、S21(南京银行，601009)、S22（中煤能源，601898）、S23（宁波银行，002142）、S24（新城控股，601155）、S25(海通证券，600837)、S26（上海银行，601229）、S27（上港集团，600018）、S28（汇川技术，300124）、S29（欧菲光，002456）、S30（大华股份，002236）。由于股票市场具有良好的流动性，样本数据充足，因此以天作为数据频率。样本的数据区间为2018年1月2日至2019年12月31日，共计487个交易日，数据来源为wind数据库。并运用对数日收益率描绘股票的价格变化，计算公式为：

。其中

为第t日的对数收益率，

为第

t日的收盘价。二、数据的检验1、序列平稳性检验表4-5ADF单位根平稳性检验结果结果表明，样本中各序列的t统计量均小于对应1%显著性水平的临界值为-2.5705，因而这30只股票样本收益序列是平稳的。【案例一：

建立GARCH（1,1）模型】2、ARCH效应检验

在进行ARCH效应检验之前需要确定滞后阶数p。因此需要先对序列残差平方进行自相关和偏自相关估计。以S1(TCL科技，000100)为例，其收益率残差平方序列图如图4-6所示。分别计算出其自相关函数（ACF）与偏自相关函数（PACF），如图4-7所示，通过图像，我们不难发现当滞后阶数为1时，ACF与PACF均高于bond阈，故取滞后阶数为1。图4-6收益率残差平方序列图图4-7收益率残差平方序列自相关与偏自相关函数图【案例一：

建立GARCH（1,1）模型】30个样本各自选取的滞后阶数如表4-6所示：表4-6滞后阶数估计

在序列平稳的基础上进行ARCH效应的检验。一般检验ARCH效应的方法为ARCH-LM检验。检验结果如表4-7所示，样本序列在5%置信水平下F-统计量均大于临界值，存在显著的ARCH效应，即序列的残差存在显著的异方差现象。表4-7收益率序列的ARCH-LM检验【案例一：

建立GARCH（1,1）模型】三、GARCH（p，q）模型参数估计构建GARCH（1,1）-t模型，其估计的参数如表4-8所示：表4-8GARCH（1,1）-t系数由表4-8可得出对数收益率条件方差模型为：以S1(TCL科技，000100)为例检验拟合效果。对序列S1做GARCH（1,1）-t估计，其最大对数似然距离为1185.19，AIC为-2360.39，BIC为-2339.46，在5%置信水平下各参数估计值均显著。【案例一：

建立GARCH（1,1）模型】由图4-8可知，经过GARCH（1,1）-t模型拟合后的序列残差，其逆累积分布函数满足正态分布，说明该模型拟合效果较好。其次，本文还对残差进行LBQ检验和JB检验，在5%置信水平下，Q统计量为12.4787，小于临界值31.4104，接受原假设，即不存在序列自相关；JB检验中p值为0.1647，无法拒绝原假设，残差满足正态分布。综上，模型拟合效果优越，分布选取较好。据此，我们估计了GARCH（1,1）模型。图4-8残差的逆累积分布函数柱状图及QQplot图【案例一】【案例一】【案例二：最优波动率估计甄别】动态估计结果图4-9ARCH模型、EWMA模型、GARCH模型估计结果为了评价ARCH模型、EWMA模型、GARCH模型的优劣，我们利用真实值与预测值得到误差统计量进行方法评估。通过上表三个评价标准可知，GARCH模型在各项指标中获得最优，是因为考虑到波动因素对参数的影响，沪深300指数在中国股票市场极具代表性，所以这为中国股票市场的波动性估计提供了重要的实证参考，因此在这三种指标下能取到较好的结果，特别在2015年这一经历大起大落的一年，更具有特殊的意义。而EWMA模型较ARCH模型要好，这可能是因为EWMA模型是基于近期数据进行分析，数据更具有局域的时效性。【案例二：最优波动率估计甄别】表4-9GARCH（1,1）-t系数通过本部分学习，您可以了解或掌握：7种测度波动率的方法及其运用。指数加权移动平均（exponentiallyweightedmovingaverage,EWMA）自回归条件异方差（auto-regressiveconditionalheteroscedasticity,ARCH）广义自回归异方差（generalizedauto-regressiveconditionalheteroscedasticity,GARCH）GARCH-MIDAS模型建模Jump-GARCH模型建模BEKK-GARCH模型建模非对称性GARCH族总结总结谢谢！第四章

风险管理之市场风险度量任课教师：陈创练前言交易员通常关注的是交易组合的风险敞口，但金融机构的交易组合往往取决于成千上万个市场变量，因此，交易员每天的分析可能会包括大量计算，虽然这些风险度量对交易员十分重要，但并不能为金融机构的高管以及金融机构的监管人员提供一个关于整体风险的完整图像。这样的背景之下，JPMorgan在1994年开发出世界上第一个VaR（ValueatRisk）模型，用于测量不同交易组合的整体风险。在1995年巴塞尔银行监管委员会将VaR纳入商业银行的资本充足性要求之后，VaR开始逐渐成为新的衡量金融风险的标准。本章将首先对VaR的定义计算以及优缺点进行介绍，随后过渡到另一个同样衡量交易组合整体风险的重要指标——预期亏损（ExpectedShortfall，ES），该指标具有比VaR更优秀的特质。预期亏损VaR的优点与缺陷边际VaR、增量VaR、成分VaRVaR定义1提纲CONTENTS234SRISK测算方法5VaR和预期亏损估计应用6一、VaR定义一、在险值VaR的定义在险值（ValueatRisk，VAR）其具体含义是投资者金融资产或证券组合在未来资产价格波动下所衡量的可能或潜在的最大损失，用数学语言可表达为上式可表述为我们有X%把握，在T时间段，损失不会大于VaR。第一节VaR定义图1：由交易组合在时间T的收益概率分布中来计算VaR，损失可以看做负的收益。置信度为X%，VaR大小为V图2：由交易组合在时间T的收益概率分布中来计算VaR，收益可以看做负的损失。置信度为X%，VaR大小为V第一节VaR定义二、在险值VaR的计算VaR的计算方法局部估值法完全估值法历史模拟法蒙特卡洛模拟法方差-协方差法线性非线性第一节VaR定义二、在险值VaR的计算

第一节VaR定义二、在险值VaR的计算例题：假设投资者A持有一价值500万元的B公司的股票头寸，B公司股票的日波动率为3%，假定该资产的价值变动呈正态分布，并且该股票的预变动即漂移率为0计算该资产持有期限10天，置信水平为9%的VaR。解答：上述方法还可以扩展到投资组合的情况。第一节VaR定义二、在险值VaR的计算

第一节VaR定义二、在险值VaR的计算例题：某投资基金的资产组合由价值100万元的X公司股票和价值200万元的Y公司股票构成，X公司股票的日波动率为3%，Y公司股票的日波动率为2%，且X公司股票和Y公司股票收益率之间的相关系数为0.5，计算该组合持有期限为30天，置信水平为9%的风险价值（单位：百万元）。解答：其中以及第一节VaR定义二、在险值VaR的计算非线性情形以上讨论的实际上是在正态分布假设和线性假设下的VaR模型，如果资产组合中出现期权等具有非线性性质的金融产品，则上述线性模型就无法使用，需要转向使用非线性模型。非线性模型一般有两种，分别为Delta近似法和Delta-Gamma近似法。假设资产价格S服从几何布朗运动：利用伊藤引理可以求出以该资产为标的期权价值变动微分方程：代表第i个证券的Delta值：代表第i个证券的标准差：代表第i个证券和第j个证券间的相关系数第一节VaR定义二、在险值VaR的计算

投资组合在展期为1天和X%置信度下的VaR值计算公式为：第一节VaR定义二、在险值VaR的计算Delta-Gamma近似当标的证券价格仅发生小幅变化时，Delta近似已经足够了。但当价格发生较大的变动，此时就要将Gamma效应或凸性效应结合进去，这就是本节将要介绍到的另一种方法，Delta-Gamma近似法。第一节VaR定义二、在险值VaR的计算Delta-Gamma近似我们假设代表Gamma，考虑上Gamma效应，则此时期权价值变化的方程式为：包含多个资产的组合计算公式则为：通过结合模拟法我们可以很容易计算出组合的VaR值。第一节VaR定义二、在险值VaR的计算历史模拟法历史模拟法的计算步骤：计算组合中每个证券每个时期的收益率计算出投资组合的收益率时间序列根据历史收益率数据从小到大进行排序历史模拟法的优缺点：优点：该方法简单方便，不需要对收益的分布做出假设，也不用对资产收益的波动性、相关性等参数进行估计缺点：假设未来的市场环境与历史相一致，而该假设在现实当中不一定成立，计算量大等。第一节VaR定义二、在险值VaR的计算蒙特卡洛模拟法原理：通过假设资产价格收益分布，利用计算机对未来损益的可能性进行模拟，从而得到估计的分布、分位数与VaR值。选择适合描述资产价格途径的随机过程模拟虚拟的资产价格的所有可能路径情形构建资产组合收益率分布蒙特卡洛模拟法的优缺点：优点：适用性更强。缺点：设定的分布若符合现实，同样会导致风险计算结果出现偏差，计算量大等。第一节VaR定义二、VaR参数选择时间展望期T自相关性置信区间第一节VaR定义二、VaR参数选择时间展望期T组合流动性高组合流动性低展望期T短展望期T长交易组合每天价值变化相互独立，且服从期望值为零的正态分布时，不同展望期的VaR值具有如右式所示的关系：第一节VaR定义二、VaR参数选择自相关性的影响

第一节VaR定义二、VaR参数选择自相关性的影响

T=1T=2T=5T=10T=50T=2501.01.412.243.167.0715.811.01.452.333.317.4316.621.01.482.423.467.8017.471.01.552.623.798.6219.35当存在一阶自相关性时，T天的VaR与1天的VaR的比率第一节VaR定义二、VaR参数选择置信区间

二、边际VaR、增量VaR、成分VaR一、边际VaR（MarginalVaR，简记为M-VaR）边际VaR，英文名称是MarginalVaR，简记为M-VaR，是指资产组合中资产的头寸变化而导致的组合VaR的变化。设一个包含n个资产的投资组合，权重向量，表示投资组合的总金额，则该组合的M-VaR为：假设资产组合的收益率向量服从n维正态分布

，可得到该投资组合在置信区间X下的VaR为：，其中，表示投资组合收益波动率。故此，根据组合方差的定义可以推出：第二节边际VaR、增量VaR、成分VaR一、边际VaR（MarginalVaR，简记为M-VaR）令

表示i股票收益率，

为投资组合收益率，则投资组合收益率的方差为：故此，

由定义可知，投资组合收益的方差

，可得：故此，由上式可知M-VaR同资本资产定价模型的贝塔系数二者呈正相关关系。第二节边际VaR、增量VaR、成分VaR二、增量VaR（IncrementVaR，简记为I-VaR）I-VaR是指当一个资产头寸加入到组合时，新增的VaR，或者说，从原组合删去一个头寸，所减少的VaR。由于投资者通常关注投资组合中某些资产头寸所增加或减少的投资组合风险，或者是它们对当前组合风险的贡献，因此交易员通常对新交易的I-VaR感兴趣。假设在原来的资产组合的基础之上，新增另外一个资产组合在新增的VaR，亦即I-VaR的计算公式为：I-VaR为正代表新增交易增加了当前组合的风险（负数则相反）。第二节边际VaR、增量VaR、成分VaR三、成分VaR（ComponentVaR，简记为C-VaR）若某资产组合中资产的VaR（记为）满足以下式子：则称为该资产的C-VaR。根据欧拉定理，可以得出某资产的C-VaR计算公式为根据定义，可以明显看出C-VaR代表的是某资产在组合VaR中的占比。因此C-VaR与I-VaR具有相同的作用：当某资产C-VaR为正代表该资产增加了组合的VaR值（负数则相反）。第二节边际VaR、增量VaR、成分VaR解答：组合波动率，因此容易求得组合VAR值为25.7万，因为两种货币无关，所以，故可求出英镑和人民币的贝塔系数分别为：例题：

假设有一个由英镑和人民币两种货币构成的投资组合，两种资产的投资金额分别为200万元和100万元。为了简化问题，假设两种货币的相关系数为0，且相对于美元的波动率分别为6%和10%，试计算95%置信水平下该组合VaR、M-VaR和C-VaR。第二节边际VaR、增量VaR、成分VaR英镑M-VaR:

人民币M-VaR：英镑C-VaR:

人民币C-VaR：三、VaR的优点与缺陷第三节VaR的优点与缺陷一、VaR的优点VaR这一度量指标适用性强，且易于理解：VaR可以度量包括利率、汇率等价格变动带来的市场风险，同时该指标计算方法简单，容易被业界所理解。VaR有利于比较不同业务部门之间风险大小，有利于进行基于风险调整的绩效评估、资本配置和风险限额设置等。由于VaR描述的是组合的整体风险，因此，对于不同业务部门，仅需要计算出每个业务的VaR便可以对每个部门的风险有一个直观的感受。VaR反映的是整体综合的风险，因此该指标也常被监管机构用来监控金融机构的金融风险。如巴塞尔银行监管委员会规定了商业银行覆盖它们交易组合市场风险（用VaR度量）的最低资本要求。第三节VaR的优点与缺陷二、VaR的局限性VaR主要适用于正常市场条件下对市场风险的衡量，对市场价格的极端变动导致的资产组合的损失却无能为力。VaR的计算需要用到大量过去的收益数据，并且VaR对于样本区间的长度较为敏感，根据不同长度的样本区间，而计算得出的同一置信水平下的VaR值很可能差距较大。运用VaR进行风险衡量和分析时存在着所谓的模型风险（modelrisk），由于计算需要大量过去收益数据，因此VaR不适用于衡量流动性较差的资产的风险。第三节VaR的优点与缺陷二、VaR的局限性例题：假定某两项投资的任何一项都有4%的概率会引发2000万元损失，有2%的概率会引发200万元损失，有94%的概率盈利200万元，两项投资相互独立：根据题目的信息我们可以计算出，95%置信度下任一项投资的VaR值为200万元。两项投资迭加的组合VaR的计算过程如下：1800>400!四、预期亏损一、预期亏损的定义预期亏损度量的是在损失超出VaR值的条件下的均值，其数学表示为：

或因此，VaR度量的目的是展示损失会糟糕成什么样子，而预期亏损是回答：当市场条件变糟糕而触发损失时，我们的预期亏损是多少。第四节预期亏损VaR与ES的区别一、预期亏损的定义假定损失率随机变量，将其标准化，则，置信区间α下的VaR可表示为（是标准正态分布的累积密度函数），根据定义，ES的计算公式为：采用替换变量，令和，我们可以得到（）

第四节预期亏损二、预期亏损的性质及相关例子第四节预期亏损预期亏损功能函数参数法与VaR相比，ES满足次可加性，是一个满足一致性公理的风险度量指标。同时预期亏损满足凸性，因此，在使用预期亏损管理金融风险时，计算问题可以简化为凸函数优化问题。二、预期亏损的性质及相关例子第四节预期亏损例题（续）：假定某两项投资的任何一项都有4%的概率会引发2000万元损失，有2%的概率会引发100万元损失，有94%的概率盈利200万元，两项投资相互独立：根据题目信息，可以计算出单项投资95%置信区间下的预期亏损：两项投资叠加的组合在95%置信区间的预期亏空：1883.2<3280!三、预期亏损的优点与局限性第四节预期亏损尽管VaR在对风险进行度量上的作用毋庸置疑，但是在一致性风险度量体系下其并非是一个测度金融风险的理想指标。相比较之下，ES是一个更为优秀的风险度量指标，运用ES技术进行风险度量可以避免VaR的内在缺陷，起到金融风险优化的作用。具体来说，预期亏损的优点可以总结为如下三点：可以为管理者和投资者提供金融风险的评判标准，也可以用于测算不同市场因子、不同金融工具、不同业务部门及不同金融机构投资组合的风险敞口。ES测度指标具有次可加性。可以精确度量尾部风险。三、预期亏损的优点与局限性第四节预期亏损局限性模型风险不可用于不可交易资产的风险度量资产收益分布四、其他分布设定的VaR和ES测度第四节预期亏损由于正态分布往往不符合真实的市场情况，因此在许多时候通常使用另一种更为灵活的分布——T分布来计算VaR以及预期亏损。仿照正态分布下计算VaR和ES的思路，我们假设存在两个常数𝜇和𝜎使得是一个自由度为n的标准T分布，则可以计算出T分布下置信水平为α的VaR计算公式为为标准T分布的反函数四、其他分布设定的VaR和ES测度第四节预期亏损根据预期亏损的定义，则在T分布下计算预期亏损的公式为：为了求解上式，我们同样采用替换变量，令，上式变为：结合T分布的概率密度函数，我们可进一步写成：四、其他分布设定的VaR和ES测度第四节预期亏损为了求解上式，令，则上式的积分下限将发生变化：积分项的求解过程如下（注意T分布的自由度n>2）最终可以得到ES在T分布下置信水平为α的计算公式为四、其他分布设定的VaR和ES测度第四节预期亏损案例：假定存在一个收益率均值和标准差分别为0和20%，且当前价值为100万人民币的资产，在正态分布下该资产95%的预期亏损值为在T分布根据不同自由度计算得出的预期亏损值如下表：二者之间的差距随着自由度的逐渐增加而逐渐变小五、SRISK测算方法第五节SRISK测算方法背景2008年的全球性金融危机，破坏了世界金融市场的稳定并严重阻碍了各国实体经济的发展，这场危机让人们再次意识到各国尾部金融风险和系统性金融风险之间的溢出效应。在这样背景下，许多学者都对如何测试系统性金融风险的传染效应进行了研究。总的来说，这些指标包括，MES和SRISK，在这里主要介绍SRISK。第五节SRISK测算方法SRISK的定义SRISK是从资本短缺的角度来度量系统性金融风险的大小的。为了理解SRISK的计算过程，我们首先需要介绍MES(边际期望损失)。MES衡量的是单个金融机构对系统性金融风险的边际贡献，Acharya等人（2010）从预期亏损的边际量的角度定义MES为：在MES的基础之上，Benoit等人（2013）给出了SRISK的定义：

第五节SRISK测算方法案例：计算交通银行，招商银行和兴业银行的SRISKimportnumpyasnpimportpandasaspdimportmatplotlib.pyplotaspltfromcvxoptimportsolvers,matrix#用于正常显示中文标签plt.rcParams["font.sans-serif"]=["simsun"]plt.rcParams["axes.unicode_minus"]=FalseSRISK=pd.read_excel(‘ltvdata2.xls’)#读取数据time=pd.read_excel('ltvdata2.xls').iloc[:,[0]]data14=SRISK.iloc[:,[13]]#交通银行data15=SRISK.iloc[:,[14]]#招商银行data16=SRISK.iloc[:,[15]]#兴业银行plt.figure(figsize=(10,10))#设置图片格式plt.plot(time,data13,color='black',linewidth=0.8)plt.plot(time,data14,color='gray',linewidth=0.8)plt.plot(time,data15,color='black',linewidth=0.8,linestyle='--')plt.xlim(time.iloc[0,0],time.iloc[2549,0])plt.legend(['交通银行','招商银行','兴业银行'],loc="upperleft")第五节SRISK测算方法交通银行，招商银行和兴业银行SRISK估计结果（2011年-2021年6月）案例：计算交通银行，招商银行和兴业银行的SRISK在2016年之前，这三家股份制银行的系统性金融风险呈逐渐增强的态势，随着中央在2016年开始实行“去杠杆”政策之后，三家银行的风险规模出现分化，其中，交通银行呈现增加趋势，而兴业银行上涨的幅度有所减弱，但招商银行的风险规模却呈现下降趋势，而且多数年份等于零。六、VaR和预期亏损估计应用一、使用历史模拟法计算VaR假设持有本金100万元人民币，投资标的为中国农业银行（601288）、中国工商银行（601398）和招商证券（600999）这三种股票，考虑如下四种不同投资情景：第六节VaR和预期亏损估计应用

情景1情景2情景3情景4中国农业银行100万00根据均值-方差理论确定各自权重中国工商银行0100万0招商证券00100万根据上表中的这四种场景，利用近五年每支股票的日收益率，我们可以分别算出这三只股票单独的VaR和边际VaR、增量VaR、成分VaR，以及由这三只股票所构成的投资组合的VaR一、使用历史模拟法计算VaR第六节VaR和预期亏损估计应用#数据日期为2016年10月25日到2021年10月25日#nyyh,gsyh和zszq分别代表农业银行、工商银行和招商证券股票#首先导入需要使用到的包importnumpyasnpimportpandasaspdimportscipy.statsasst

#分别导入需要使用到的股票收益率数据gsyh_data=pd.read_excel('601398.xls').iloc[:,[3]]nyyh_data=pd.read_excel('601288.xls').iloc[:,[3]]zszq_data=pd.read_excel('600999.xls').iloc[:,[3]]

#对数据进行转置zszq_ret=np.array(zszq_data[0:len(zszq_data)].T)nyyh_ret=np.array(nyyh_data[0:len(nyyh_data)].T)gsyh_ret=np.array(gsyh_data[0:len(gsyh_data)].T)一、使用历史模拟法计算VaR第六节VaR和预期亏损估计应用#第一步，计算收益率均值和协方差#用cov计算协方差，用mean计算均值zszq_v=np.cov(zszq_ret.tolist())nyyh_v=np.cov(nyyh_ret.tolist())gsyh_v=np.cov(gsyh_ret.tolist())ret=[zszq_ret.tolist()[0],nyyh_ret.tolist()[0],gsyh_ret.tolist()[0]]covariances=np.cov(ret)returns=np.mean(ret,1)covariances=np.cov(ret)returns=np.mean(ret,1)

#第二步，资产配置ovaariances=np.cov(ret)colunms=len(ret)L=np.ones((colunms,1))A=L.T@np.linalg.inv(covariances)@Lmiu=np.array([returns]).Tmiu0=0.00001B=L.T@np.linalg.inv(covariances)@miuC=miu.T@np.linalg.inv(covariances)@miudelta=np.linalg.det(A*C-B*B)lamdda=(C-miu0*B)/deltagamma=(miu0*A-B)/deltaweight=lamdda*np.linalg.inv(covariances)@L+gamma*np.linalg.inv(covariances)@miu

#第三步，VaR、边际VaR、增量VaR、成分VaR计算alpha=0.99r=retw=weightres=tailrisk(r,alpha,w)股票VaR（万元）M-VaR（万元）I-VaR（万元）C-VaR（%）中国农业银行2.472.462.3194.63中国工商银行2.782.210.051.93招商证券5.082.040.083.45组合VaR（万元）2.44计算结果二、使用历史模拟法计算预期亏损第六节VaR和预期亏损估计应用deftailrisk(r,alpha,w):#计算VaR的函数#r:包含股票收益率数据的矩阵#alpha:收益分布的分位数#w:投资组合中每个资产的投资权重iflen(r)==len(w):N=len(w)T=len(r[0])classres(object):__metaclass__=...#passVaR_univariate=np.zeros((1,N))ES=np.zeros((1,N))foriinrange(0,N):

#计算单个资产的VaR值和ES值VaR_univariate[0][i]=-np.mean(r[i])+np.std(r[i],ddof=1)*st.norm.ppf(alpha)r=np.array(r).TES[0][i]=-np.mean(r[i])+st.norm.pdf(VaR_univariate[0][i])*np.std(r[i],ddof=1)/alpha

三、不同计算方法之间的比较第六节VaR和预期亏损估计应用以中国农业银行股票为例，展示方差-协方差法、历史模拟法和蒙特卡罗模拟法三种方法计算VaR和ES的区别#数据日期为2016年10月25日到2021年10月25日#nyyh代表中国农业银行股票#首先导入需要使用到的包importnumpyasnpimportpandasaspdimportrandomimportmatplotlib.pyplotaspltimportscipy.statsasstats#导入中国农业银行股票的对数收益率数据nyyh_data=pd.read_excel('nyyh.xls')tradedate=nyyh_data['日期']nyyh_ret=np.array(nyyh_data.iloc[:,[3]])n=len(nyyh_ret)-1r=nyyh_ret.tolist()[1:]#正态分布性检验r_skew=stats.skew(r,1)#偏度r_kurt=stats.kurtosis(r,1)#峰度#jarque_beraprint(stats.jarque_bera(r))

#输出结果偏度：[-0.0811531458869407]峰度：[9.101689837122157]Jarque_beraResult(statistic=4198.599795325124，pvalue=0.0)左边的检验结果告诉我们农业银行的收益率分布不是一个正态分布三、不同计算方法之间的比较第六节VaR和预期亏损估计应用#基于方差-协方差法计算VaR与ESdeffun_norm(x,alpha,M):n=len(x)VaR=np.zeros((1,n-M))[0]CVaR=np.zeros((1,n-M))[0]foriinrange(0,n-M):R=x[i:i+M+1]mu=np.mean(R)sigma=np.std(R)q_alpha=sigma*stats.norm.pdf(alpha)VaR[i]=q_alphaCVaR[i]=-(mu-sigma*stats.norm.pdf((q_alpha-mu)/sigma,0,1)/alpha)returnVaR,CVaR#基于历史模拟法计算VaR与ESdeffun_HS(x,alpha,M):n=len(x)VaR=np.zeros((1,n-M))[0]CVaR=np.zeros((1,n-M))[0]foriinrange(0,n-M):R=x[i:i+M+1]mu=np.mean(R)sigma=np.std(R)VaR[i]=-np.percentile(R,alpha*100)r=np.array([])forjinrange(0,len(R)):ifR[j]<=-VaR[i]:r=np.append(r,R[j])CVaR[i]=-np.mean(r)#基于蒙特卡洛模拟计算VaR与ESdeffun_MC(x,alpha,M):n=len(x)v=np.var(x)