理论力学课件 第六章 刚体的基本运动

第六章刚体的基本运动6.1刚体的平行移动在刚体运动的过程中，刚体体内任意一直线的方向永不改变，亦即其方向始终与原来的方向平行，则称刚体作平行移动，简称平动。摆式输送机的料槽夹板锤的锤头直线行驶的列车车厢yxzABOB2A2B1A1BnAn一、平动特点结论：当刚体平行移动时，其上各点的轨迹形状相同；在每一瞬时，各点的速度相同，加速度也相同。因此，研究刚体的平移，可以归结为研究刚体内一点的运动问题来处理。(直线平动、平面曲线、空间曲线)运动方程例题

荡木用两条等长的钢索平行吊起，钢索长为l，当荡木摆动时，钢索的摆动规律为。试求荡木中点M的速度和加速度。解：（1）运动方程以最低点O为起点，规定弧坐标s向右为正，则点A（同时也是点M）的运动方程为：

荡木作平行移动。荡木中点M的运动轨迹、速度和加速度均与点A的速度和加速度相等。（2）速度和加速度上式即为点M的速度和加速度。

在刚体运动的过程中，若刚体上或其延伸部分上有一条直线始终不动，具有这样一种特征的刚体的运动称为刚体的定轴转动，简称转动。该固定不动的直线称为转轴。6.2

刚体的定轴转动不在转轴上的点以轴上的一点为圆心作圆周运动。6.2.1转动刚体的运动描述设平面1固定不动，平面2随刚体一起转动。两平面间的夹角用表示，称为刚体的转角。转角

是一个代数量，它确定了刚体的位置，它的符号规定如下：自z轴的正端往负端看，从固定面起按逆时针转向计算取正值；按顺时针转向计算取负值。并用弧度(rad)表示。刚体的转动规律可由转角表示当刚体转动时，转角j是时间t的单值连续函数，即这就是刚体绕定轴转动的运动方程。转角j对时间的一阶导数，称为刚体的瞬时角速度，用w表示:角速度表征刚体转动的快慢和方向，其单位用rad/s(弧度/秒)表示。角速度是代数量，从轴的正端向负端看，刚体逆时针转动时角速度取正值，反之取负值。

角速度对时间的一阶导数，称为刚体的瞬时角加速度，用字母a（或

）表示，即

角加速度表征角速度变化的快慢，其单位用rad/s2(弧度/秒2)表示。角加速度也是代数量。

如果w与a同号，则转动是加速的；如果w与a异号，则转动是减速的。6.2.2转动刚体上各点的速度和加速度

当刚体绕定轴转动时，刚体内任意一点都作圆周运动，圆心在轴线上，圆周所在的平面与轴线垂直，圆周的半径R等于该点到轴线的垂直距离。动点速度的大小为

设刚体由定平面A绕定轴O转动任一角度j，到达B位置，其上任一点由O'运动到M。以固定点O'为弧坐标s的原点，按j角的正向规定弧坐标s的正向，于是即：转动刚体内任一点速度的大小等于刚体角速度与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向沿圆周的切线而指向转动的一方。

点M的加速度有切向加速度和法向加速度，切向加速度为即：转动刚体内任一点的切向加速度(又称转动加速度)的大小，等于刚体的角加速度与该点到轴线垂直距离的乘积，它的方向由角加速度的符号决定，当a是正值时，它沿圆周的切线，指向角j的正向；否则相反。法向加速度为：即：转动刚体内任一点的法向加速度(又称向心加速度)的大小，等于刚体角速度的平方与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向与速度垂直并指向轴线。如果w与a同号，角速度的绝对值增加，刚体作加速转动，这时点的切向加速度at与速度v的指向相同；如果w与a异号，刚体作减速转动，at与v的指向相反。这两种情况如图所示(1)在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加速度的大小，分别与这些点到轴线的垂直距离成正比。

(2)在每一瞬时，刚体内所有各点的全加速度a与半径间的夹角q都有相同的值。点的全加速度为：例题：

齿轮传动是工程上常见的一种传动方式，可用来改变转速和转向。如图，已知r1、r2、w1、

1，求w2、

2

。解：因啮合点无相对滑动，所以由于于是可得即w1

1r1O1O2r2w2

2v1v2at1at2

例题：

一半径为R=0.2m的圆轮绕定轴O的转动方程为

，单位为弧度。求t=1s时，轮缘上任一点M的速度和加速度（如图）。如在此轮缘上绕一柔软而不可伸长的绳子并在绳端悬一物体A，求当t=1s时，物体A的速度和加速度。

解：圆轮在任一瞬时的角速度和角加速度为求当t=1s时，则为

因此轮缘上任一点M的速度和加速度为

M点的全加速度及其偏角为现在求物体A的速度和加速度。因为上式两边求一阶及二阶导数，则得因此例题：

在刮风期间，风车的角加速度，其中转角θ以rad计。若初瞬时，其叶片半径为0.75m。试求叶片转过两圈（）时其顶端P

点的速度。ω

P解：角速度矢量从转轴上任一点画出，其长度按比例尺由决定，指向由右手法则确定。以表示Z轴的单位矢量，如图，则6.3

点的速度和加速度的矢量表示1、角速度矢量和角加速度矢量对上式求导，则的角加速度矢量

角速度矢量和角加速度矢量均为滑动矢量。当二者方向相同时，刚体越转越快；当二者方向相反时，刚体越转越慢。大小二、以矢积表示转动刚体内点的速度与加速度在轴线上任选一点O为原点，动点的矢径用表示，动点到转轴的距离用R表示，则点M的速度可以用角速度矢与它的矢径的矢量积表示，即方向右手定则将上式对时间求一阶导数，有即于是综上所述：转动刚体上任一点的速度等于刚体的角速度矢量与该点矢径的矢量积；任一点的切向加速度等于刚体的角加速度矢量与该点矢径的矢量积；任一点的法向加速度等于刚体的角速度矢量与该点速度的矢量积。

例题：

刚体绕定轴转动，已知转轴通过坐标原点O,角速度矢为。

求：t=1s时,刚体上点M（0，2，3）的速度矢及加速度矢。解：角速度矢量M点相对于