《复变函数与积分变换》课件 第4、5章 级数、留数

第四章级数§4.1复级数的基本概念§4.2泰勒级数与洛朗级数主要内容

本章介绍复变函数级数的概念,重点是Taylor级数、Laurent级数及其展开.§4.1复级数的基本概念4.1.1复数项级数4.1.2复变函数项级数4.1.3幂级数及其收敛域为复数项级数.称为该级数的前n

项部分和.设是复数列,则称4.1.1复数项级数定义4.1

级数收敛与发散的概念定义4.2如果级数的部分和数列收敛于复数S,则称级数收敛,这时称S为级数的和,并记做如果不收敛，则称级数发散.复数项级数与实数项级数收敛的关系定理4.1

级数收敛的充要条件是都收敛,并且说明复数项级数的收敛问题两个实数项级数的收敛问题解因为级数所以原复数项级数发散.例4.1

考察级数的敛散性发散,而级数收敛,级数收敛的必要条件定理4.2如果级数收敛,则重要结论:

发散.于是在判别级数的敛散性时,可先考察?非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.定义4.3设是复数项级数,如果正项级数收敛,则称级数绝对收敛.

绝对收敛级数的性质定理4.3若级数收敛,则收敛,并且由正项级数的比值判别法知

收敛，解（1）因为注绝对收敛和都绝对收敛.例4.2判定下列级数的敛散性.若收敛，是条件收敛还是绝对收敛?故原级数绝对收敛.但

条件

收敛，解（2）因为例4.2判定下列级数的敛散性.若收敛，是条件收敛还是绝对收敛?故原级数收敛，都收敛，从而原级数为条件收敛. (2)称为区域

D(1)称为区域

D

内的复变函数序列。定义4.4设复变函数在区域

D

内有定义，内的复变函数项级数，简记为4.1.2复变函数项级数(1)称为级数的部分和。定义4.5设为区域D

内的复变函数项级数，称级数在点收敛。z0则称级数在区域

G

内收敛。(3)如果存在区域G

D

，有此时，称(2)如果对

D

内的某一点，有z0则为和函数，G

为收敛域。(1)下面主要是对

型幂级数进行讨论，所得到的结论(Ⅱ)注1.幂级数的概念其中，

为复常数。定义4.5称由下式给出的复变函数项级数为幂级数：(

I

)特别地，当

时有(Ⅱ)只需将换成

即可应用到型幂级数。(

I

)z(2)对于型幂级数，在

点肯定收敛。(Ⅱ)4.1.3幂级数及其收敛域定理4.4(Abel定理)若级数在处收敛，则当时,级数绝对收敛;若级数在处发散，则当时,级数发散.2.幂级数的敛散性(1)

对所有的复数z都收敛.由阿贝尔定理知:级数在复平面内处处绝对收敛.由,幂级数收敛情况有三种:(2)

除z=0外都发散.此时,级数在复平面内除z=0外处处发散.

(3)存在一点z1≠0,使级数收敛(此时,根据阿贝尔定理知,它必在圆周|z|=|z1|内部绝对收敛),

另外又存在一点z2,使级数发散.((肯定|z2|≥|z1|);根据阿贝尔定理的推论知,它必在圆周|z|=|z2|外部发散.)如下图..收敛圆盘收敛半径收敛圆周

在这种情况下,可以证明,存在一个有限正数R,使得级数在圆周|z|=R内部绝对收敛,在圆周|z|=R外部发散.幂级数的收敛范围是以原点为中心的圆域动画演示

幂级数的收敛范围是因此，事实上,幂级数在收敛圆周上敛散性的讨问题：幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?以为中心的圆域.收敛半径根据前面所述的三种情形,分别规定为论比较复杂,没有一般的结论,要对具体级数进行具体分析.例如,级数:收敛圆周上无收敛点;在收敛圆周上处处收敛.收敛半径的计算方法(一)(3)当时,收敛半径(1)当时,收敛半径(2)当时,收敛半径定理4.5

(比值法)设级数如果则收敛半径的计算方法(二)(3)当时,收敛半径(1)当时,收敛半径(2)当时,收敛半径定理4.5

(根值法)设级数如果则例4.3

求下列幂级的收敛半径。解(1)上，在收敛圆收敛，所以原级数在收敛圆上处处收敛例4.3求下列幂级的收敛半径。解(2)时，当收敛，时，当发散.例4.4求幂级数的收敛域与和函数。解幂级数的收敛圆为且在收敛圆上发散，故幂级数的收敛域为和函数为令则在内有定理4.63.幂级数的性质(2)分析性质即3)在收敛圆内可以逐项积分，即1)函数在收敛圆内解析。设则2)函数的导数可由其幂函数逐项求导得到，解令和函数

例4.5求幂级数在收敛圆内的和函数.此级数的收敛圆为两边积分得利用逐项求导§4.2泰勒级数与洛朗级数4.2.1泰勒级数及其展开方法4.2.2洛朗级数及其展开方法实函数在一点的邻域内展开成Taylor级数是非常重要的问题，它是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的一种工具.对于复变函数,我们已经知道幂级数在收敛圆域内收敛于解析函数.在本节我们将证明解析函数在解析点的某邻域内一定能够展开成幂级数—Taylor级数.这是解析函数的重要特征.4.2.1泰勒级数及其展开方法一、泰勒(Taylor)定理含于G，则在K内展开成唯一的定理4.7设函数在区域

G

内解析，任取其中，证明(略)

圆幂级数将函数展开为Taylor级数的方法:1.直接方法;2.间接方法.1.直接方法由Taylor定理计算级数的系数然后将函数f(z)在a

展开成幂级数.二、将函数展开成泰勒级数常见函数的Taylor展开式2.间接方法

借助于一些已知函数的展开式,结合解析函数的性质,幂级数运算性质(逐项求导,逐项积分等)和其它的数学技巧(代换等),求函数的Taylor展开式.间接法的优点:

不需要求各阶导数与收敛半径,因而比直接展开更为简洁,使用范围也更为广泛.例4.6

求在点的Taylor级数.解

例4.7

求在点的Taylor级数.解

例4.8

将函数在处展开成Taylor级数，并指出该级数的收敛范围.收敛范围为解

一、含有负幂次项的“幂级数”1.问题分析引例根据前面的讨论已知，函数

在

点的幂级数展开式为

事实上，该函数在整个复平面上仅有一个奇点，但正是这样一个奇点，使得函数只能在内展开为

z

的幂级数，而在如此广大的解析区域内不能展开为

z

的幂级数。

有没有其它办法呢？一粒老鼠屎，坏了一锅汤！4.2.2洛朗级数及其展开方法一、含有负幂次项的“幂级数”1.问题分析设想

这样一来，在整个复平面上就有由，有从而可得一、含有负幂次项的“幂级数”1.问题分析启示如果不限制一定要展开为只含正幂次项的幂级数的话，即如果引入负幂次项，那么就有可能将一个函数在整个复平面上展开(除了奇点所在的圆周上)。

在引入了负幂次项以后，“幂级数”的收敛特性如何呢？

下面将讨论下列形式的级数:双边幂级数一、含有负幂次项的“幂级数”分析2.级数的收敛特性将其分为两部分：正幂次项部分与负幂次项部分。(A)(B)(1)对于

(A)

式，其收敛域的形式为(2)对于

(B)

式，其收敛域的形式为根据上一节的讨论可知：收敛半径R收敛域收敛半径R2收敛域两收敛域无公共部分,两收敛域有公共部分z0R1R2z0R2R1两收敛域无公共部分,两收敛域有公共部分HH一、含有负幂次项的“幂级数”结论2.级数的收敛特性(1)如果级数收敛，则其收敛域“一定”为环域：①

如果只含正幂次项(或者加上有限个负幂次项)，特别地则其收敛域为：或②

如果只含负幂次项(或者加上有限个正幂次项)，则其收敛域为：

上述两类收敛域被看作是一种特殊的环域。一、含有负幂次项的“幂级数”结论2.级数的收敛特性(1)如果级数收敛，则其收敛域“一定”为环域：而且具有与幂级数同样的运算性质和分析性质。(2)级数在收敛域内其和函数是解析的,

因此，下面将讨论如何将一个函数在其解析环域内展开为上述形式的级数。R2z0R1D二、罗（洛）朗(Laurent)定理设函数在圆环域定理4.8C

为在圆环域内绕的任何一条简单闭曲线。解析,内在此圆环域中展开为则

一定能其中，证明(略)zC说明:函数在圆环域内的洛朗展开式在圆环域内的罗朗(Laurent)级数.注(1)展开式中的系数可以用下面得方法直接给出。二、罗朗(Laurent)定理R2zz0R1CD注(2)罗朗级数中的正幂次项和负幂次项分别称为罗朗级数二、罗朗(Laurent)定理的解析部分和主要部分。(3)一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正负幂次项的级数是唯一的。(4)系数?(5)若函数在圆环内解析，则在在此圆环内的罗朗展开式就是泰勒展开式。三、将函数展开为罗朗级数的方法1.直接展开法

根据罗朗定理，在指定的解析环上R2zz0R1CD直接计算展开系数：

有点繁！有点烦！三、将函数展开为罗朗级数的方法

根据唯一性，利用一些已知的展开式，通过有理运算、代换运算、逐项求导、逐项求积等方法展开。

两个重要的已知展开式2.间接展开法三、将函数展开为罗朗级数的方法都需要根据函数的奇点位置，将复平面(或者题目指定无论是直接展开法还是间接展开法，在求展开式之前，注意的展开区域

)分为若干个解析环。比如设函数的奇点为展开点为则复平面被分为四个解析环：r1r2r312将复平面分为三个解析环：解

将函数进行部分分式分解例4.9试将函数在下列圆环内展开成罗朗级数．解121212(4)当时，例4.10将函数内展开成罗朗级数．在解(2)对于有理函数的洛朗展开式，首先把有理函数分解成多项式与若干个最简分式之和，然后利用已知的几何级数，经计算展成需要的形式。小结：把f(z)展成洛朗(Laurent)级数的方法：

根据区域判别级数方式：在圆域内需要把f(z)展成泰勒(Taylor)级数，在环域内需要把f(z)展成洛朗(Laurent)级数。复数项级数函数项级数充要条件必要条件幂级数收敛半径R复变函数绝对收敛运算与性质收敛条件条件收敛复数列收敛半径的计算Taylor级数Laurent级数本章内容总结NielsHenrikAbel

(1802.8.5-1829.4.6)挪威数学家.牧师的儿子,家境贫困.Abel15岁读中学时,优秀的数学教师B.Holmboe(1795-1850)发现了Abel的数学天才,对他给予指导.1821年进入克利斯安那大学.1824年,他解决了用根式求解五次方程的不可能性问题.Abel短暂的一生中在分析和代数领域作出了极其出色的贡献,然而他的数学成就在当时没有得到应有的注意,生活悲惨,在贫病交迫中早逝.BrookTaylor

(1685.8.18-1731.12.29)英国数学家.曾任英国皇家学会秘书.1715年在《增量方法及其逆》中给出Taylor级数的展开定理.Pierre-AlphonseLaurent(1813-1854)法国数学家.1843年证明了Laurent级数展开定理.第五章留数及其应用§5.1解析函数在孤立奇点的性质§5.2留数§5.3留数在实变量积分计算中的应用主要内容

在本章中，首先以洛朗级数为工具对解析函数的孤立奇点进行分类，然后在此基础上引入留数的概念，建立留数的计算方法及留数定理，最后介绍留数定理的一些应用.§5.1解析函数在孤立奇点处的性质5.1.1孤立奇点的定义5.1.2孤立奇点的分类5.1.3孤立奇点类型的极限判别法

5.1.1孤立奇点的定义

可以看出，孤立奇点是奇点中一种最简单的情形，但却是重要的.根据上一章介绍的洛朗展开式，我们就会发现将函数在圆环域内展开成洛朗级数，实际上都是在孤立奇点处展开的，而且有些展开式中不含有负幂项，有些仅含有限个负幂项，有些含有无穷多个负幂项.因此，我们就可以利用洛朗展开式的含有负幂项个数不同情况对孤立奇点作如下分类.

5.1.2孤立奇点的分类当洛朗展开式(5.1)中

不含

的负幂项,即