大学二年级线性代数2025年上学期模拟试卷（含答案）

大学二年级线性代数2025年上学期模拟试卷（含答案）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、设矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&2&-1\\3&a&0\\0&5&1\end{pmatrix}\)和\(B=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\2&-1\end{pmatrix}\)。1.若\(A\)可逆，求\(a\)的取值。2.若\(AB=O\)（\(O\)为零矩阵），求\(a\)的取值。二、已知向量组\(\alpha_1=(1,2,3)^T\),\(\alpha_2=(0,1,1)^T\),\(\alpha_3=(t,0,1)^T\)。1.若\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性无关，求\(t\)的取值。2.若\(\alpha_1,\alpha_2\)是\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)的一个最大无关组，求\(t\)的取值。三、考虑线性方程组\(\begin{cases}x_1+2x_2-x_3=1\\2x_1+3x_2+x_3=3\\x_1+x_2+ax_3=b\end{cases}\)。1.讨论当\(a\)和\(b\)取何值时，方程组无解。2.讨论当\(a\)和\(b\)取何值时，方程组有解。若有解，求出其通解。四、设\(A=\begin{pmatrix}4&-2\\2&1\end{pmatrix}\)。1.求\(A\)的特征值。2.对应于特征值\(3\)，求\(A\)的一个特征向量。五、设\(V\)是\(\mathbb{R}^3\)中由向量\(\alpha_1=(1,0,1)^T\)和\(\alpha_2=(1,1,0)^T\)生成的向量空间。1.求\(V\)的维数和一个基。2.判断向量\(\beta=(1,2,3)^T\)是否属于\(V\)。六、设\(n\)阶方阵\(A\)满足\(A^2=A\)（此时称\(A\)为幂等矩阵）。1.证明\(A\)的特征值只能是0或1。2.证明\(I+A\)是可逆矩阵，其中\(I\)是\(n\)阶单位矩阵。试卷答案一、1.\(A\)可逆当且仅当\(|A|\neq0\)。\(|A|=\begin{vmatrix}1&2&-1\\3&a&0\\0&5&1\end{vmatrix}=1\cdot(a\cdot1-0\cdot5)-2\cdot(3\cdot1-0\cdot0)+(-1)\cdot(3\cdot5-a\cdot0)=a-6-15=a-21\)。令\(|A|=a-21\neq0\)，得\(a\neq21\)。2.\(AB=O\)表示矩阵乘法结果为零矩阵。\(AB=\begin{pmatrix}1&2&-1\\3&a&0\\0&5&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\2&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\\3&a\\10&5-a\end{pmatrix}\)。令结果为零矩阵，即\(\begin{pmatrix}1&2\\3&a\\10&5-a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\\0&0\end{pmatrix}\)。由矩阵等式得：\(\begin{cases}1=0\\2=0\\3=0\\a=0\\10=0\\5-a=0\end{cases}\)。显然第一个方程\(1=0\)不成立。因此，方程组无解，意味着\(AB\neqO\)。但是，题目条件是\(AB=O\)。此题按标准答案设定，应无解。若题目意在考察矩阵乘法或矩阵为零的条件，需修正题目条件或答案。此处按标准答案思路，假设题目无误，则此条件\(AB=O\)与\(A,B\)给出形式矛盾。若必须求\(a\)满足\(AB=O\)，则无解。若题目本意考察\(A\)不可逆时的条件，需明确。按标准答案格式，此题可能存在设定问题，但若强行求\(a\)，需满足矩阵乘法结果为\(O\)，即\(a=0\)且\(5-a=0\)，得\(a=0\)。但第一个方程\(1=0\)矛盾。故此题按给定形式无解。若答案为\(a=0\)，则题目条件应改为\(B\)为零矩阵或其他形式。二、1.向量组线性无关即其秩为3（因为共有3个向量）。考虑矩阵\(C=(\alpha_1\,\alpha_2\,\alpha_3)=\begin{pmatrix}1&0&t\\2&1&0\\3&1&1\end{pmatrix}\)。对\(C\)进行行变换：\(R_2=R_2-2R_1\rightarrow\begin{pmatrix}1&0&t\\0&1&-2t\\3&1&1\end{pmatrix}\)。\(R_3=R_3-3R_1\rightarrow\begin{pmatrix}1&0&t\\0&1&-2t\\0&1&1-3t\end{pmatrix}\)。\(R_3=R_3-R_2\rightarrow\begin{pmatrix}1&0&t\\0&1&-2t\\0&0&1-5t\end{pmatrix}\)。秩为3要求\(1-5t\neq0\)，即\(t\neq\frac{1}{5}\)。2.\(\alpha_1,\alpha_2\)是极大无关组意味着：*\(\alpha_1,\alpha_2\)线性无关。*\(\alpha_3\)可由\(\alpha_1,\alpha_2\)线性表示。第一步已分析出\(\alpha_1,\alpha_2\)线性无关当且仅当\(t\neq\frac{1}{5}\)。第二步判断\(\alpha_3\)是否可由\(\alpha_1,\alpha_2\)表示，即是否存在\(x_1,x_2\)使\(t\alpha_1+x_2\alpha_2=\alpha_3\)。即\(t(1,2,3)^T+x_2(0,1,1)^T=(t,0,1)^T\)。得方程组：\(\begin{cases}t=t\\2t+x_2=0\\3t+x_2=1\end{cases}\)。解得\(x_2=-2t\)。代入第二个方程\(3t-2t=1\)，得\(t=1\)。所以，当\(t=1\)时，\(\alpha_3=-2t\alpha_1+\alpha_2\)，即\(\alpha_3\)可由\(\alpha_1,\alpha_2\)线性表示。综上，当\(t=1\)时，\(\alpha_1,\alpha_2\)是\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)的极大无关组。三、考虑增广矩阵\((A|b)=\begin{pmatrix}1&2&-1&1\\2&3&1&3\\1&1&a&b\end{pmatrix}\)。对\((A|b)\)进行行变换：\(R_2=R_2-2R_1\rightarrow\begin{pmatrix}1&2&-1&1\\0&-1&3&1\\1&1&a&b\end{pmatrix}\)。\(R_3=R_3-R_1\rightarrow\begin{pmatrix}1&2&-1&1\\0&-1&3&1\\0&-1&a+1&b-1\end{pmatrix}\)。\(R_3=R_3-R_2\rightarrow\begin{pmatrix}1&2&-1&1\\0&-1&3&1\\0&0&a-2&b-2\end{pmatrix}\)。1.方程组无解的条件是增广矩阵的秩\(r(A|b)\)大于系数矩阵\(r(A)\)。\(r(A)\)：当\(a\neq2\)时，\(a-2\neq0\)，主对角线上有3个非零元素，\(r(A)=3\)。当\(a=2\)时，主对角线上有2个非零元素，\(r(A)=2\)。\(r(A|b)\)：当\(b\neq2\)时，\(b-2\neq0\)，增广矩阵有4个非零元素，\(r(A|b)=3\)（因为第三行第二列下方元素为0，第三行第三列元素非零）。当\(b=2\)时，增广矩阵第三行变为\((0\0\a-2\0)\)，若\(a\neq2\)，则\(r(A|b)=3\)；若\(a=2\)，则第三行全零，\(r(A|b)=2\)。综合判断：*若\(a\neq2\)：\(r(A)=3\)，\(r(A|b)=3\)，方程组有解。*若\(a=2\)：*若\(b\neq2\)：\(r(A)=2\)，\(r(A|b)=3\)，方程组无解。*若\(b=2\)：\(r(A)=2\)，\(r(A|b)=2\)，方程组有解。所以，当\(a=2\)且\(b\neq2\)时，方程组无解。2.方程组有解的条件是\(r(A)=r(A|b)\)。*若\(a\neq2\)：\(r(A)=3\)，此时\(r(A|b)\)也必须为3。由\(r(A|b)=3\)的条件得\(b\neq2\)。此时，方程组有唯一解。通解形式为\(x=C(A|b)\)。\((A|b)=\begin{pmatrix}1&2&-1&1\\0&-1&3&1\\0&0&a-2&b-2\end{pmatrix}\)。回代：\((a-2)x_3=b-2\Rightarrowx_3=\frac{b-2}{a-2}\)。\(-x_2+3x_3=1\Rightarrowx_2=3x_3-1=3\frac{b-2}{a-2}-1=\frac{3(b-2)-(a-2)}{a-2}=\frac{3b-6-a+2}{a-2}=\frac{3b-a-4}{a-2}\)。\(x_1+2x_2-x_3=1\Rightarrowx_1=1-2x_2+x_3=1-2\frac{3b-a-4}{a-2}+\frac{b-2}{a-2}=\frac{(a-2)-2(3b-a-4)+(b-2)}{a-2}=\frac{a-2-6b+2a+8+b-2}{a-2}=\frac{3a-5b+4}{a-2}\)。通解为\(x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{3a-5b+4}{a-2}\\\frac{3b-a-4}{a-2}\\\frac{b-2}{a-2}\end{pmatrix}\)。*若\(a=2\)：*若\(b=2\)：\(r(A)=2\)，\(r(A|b)=2\)，方程组有解。通解形式为\(x=x_p+x_h\)。\((A|b)=\begin{pmatrix}1&2&-1&2\\0&-1&3&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}\)。回代：\(-x_2+3x_3=1\Rightarrowx_2=3x_3-1\)。\(x_1+2x_2-x_3=2\Rightarrowx_1=2-2x_2+x_3=2-2(3x_3-1)+x_3=2-6x_3+2+x_3=4-5x_3\)。令\(x_3=t\)（自由变量），则\(x_2=3t-1\)，\(x_1=4-5t\)。特解\(x_p=\begin{pmatrix}4\\-1\\0\end{pmatrix}\)。齐次方程通解\(x_h=t\begin{pmatrix}-5\\3\\1\end{pmatrix}\)。通解为\(x=x_p+x_h=\begin{pmatrix}4\\-1\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-5\\3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4-5t\\-1+3t\\t\end{pmatrix}\)。*若\(b\neq2\)：方程组无解（已在第一问分析）。四、1.求\(A\)的特征值\(\lambda\)需解\(|A-\lambdaI|=0\)。\(A-\lambdaI=\begin{pmatrix}4-\lambda&-2\\2&1-\lambda\end{pmatrix}\)。\(|A-\lambdaI|=\begin{vmatrix}4-\lambda&-2\\2&1-\lambda\end{vmatrix}=(4-\lambda)(1-\lambda)-(-2)(2)=(4-\lambda)(1-\lambda)+4=4-5\lambda+\lambda^2+4=\lambda^2-5\lambda+8\)。令\(\lambda^2-5\lambda+8=0\)。\(\Delta=(-5)^2-4\cdot1\cdot8=25-32=-7\)。特征值为\(\lambda=\frac{5\pm\sqrt{-7}}{2}=\frac{5}{2}\pm\frac{\sqrt{7}}{2}i\)。2.对应于特征值\(\lambda=3\)，求特征向量\(\alpha\)需解\((A-3I)\alpha=0\)。\(A-3I=\begin{pmatrix}4-3&-2\\2&1-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-2\\2&-2\end{pmatrix}\)。设\(\alpha=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\)。\((A-3I)\alpha=\begin{pmatrix}1&-2\\2&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x-2y\\2x-2y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\)。得方程组：\(\begin{cases}x-2y=0\\2x-2y=0\end{cases}\)。第一个方程\(x=2y\)。取\(y=1\)，则\(x=2\)。特征向量为\(\alpha=k\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\)，其中\(k\)为非零常数。可取\(\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\)。五、1.向量空间\(V\)由\(\alpha_1,\alpha_2\)生成，即\(V=\{t_1\alpha_1+t_2\alpha_2\midt_1,t_2\in\mathbb{R}\}=\{t_1(1,0,1)^T+t_2(1,1,0)^T\midt_1,t_2\in\mathbb{R}\}\)。\(V=\{(t_1+t_2,t_2,t_1)^T\midt_1,t_2\in\mathbb{R}\}\)。令\(t_1=x\),\(t_2=y\)，则\(V=\{(x+y,y,x)^T\midx,y\in\mathbb{R}\}\)。\(V\)可表示为\(\{(x,y,x)^T\midx,y\in\mathbb{R}\}=\{(x,0,x)^T\midx\in\mathbb{R}\}+\{(0,y,0)^T\midy\in\mathbb{R}\}=\text{span}\{(1,0,1)^T\}+\text{span}\{(0,1,0)^T\}\)。\(\alpha_1=(1,0,1)^T\)和\(\alpha_2=(1,1,0)^T\)是否线性无关？若\(t_1\alpha_1+t_2\alpha_2=0\)，即\(t_1(1,0,1)^T+t_2(1,1,0)^T=(0,0,0)^T\)。得方程组：\(\begin{cases}t_1+t_2=0\\t_2=0\\t_1=0\end{cases}\)。解得\(t_1=t_2=0\)。所以\(\alpha_1,\alpha_2\)线性无关。因此，\(\alpha_1,\alpha_2\)是\(V\)的一个基。维数\(\text{dim}(V)=2\)。一个基为\(\{(1,0,1)^T,(0,1,0)^T\}\)。（也可选其他基，如\(\{\alpha_1,\alpha_2\}\)）2.判断\(\beta=(1,2,3)^T\)是否属于\(V\)。若\(\beta\inV\)，则存在\(x,y\in\mathbb{R}\)使\(\beta=(x+y,y,x)^T\)。得方程组：\(\begin{cases}x+y=1\\y=2\\x=3\end{cases}\)。解得\(x=3\)，\(y=2\)。将\(x=3,y=2\)代入第一个方程\(x+y=3+2=5\neq1\)。方程组无解。所以，\(\beta=(1,2,3)^T\notinV\)。六、1.设\(\lambda\)是\(A\)的特征值，\(\alpha\)是对应特征向量，即\(A\alpha=\lambda\alpha\)。因为\(A^2=A\)，所以\(A(A\alpha)=A\lambda\alpha=\lambda(A\alpha)=\lambda^2\alpha\)。另一方面，\(A^2\alpha=A\alpha=\lambda\alpha\)。得\(\lambda^2\alpha=\lambda\alpha\)。对任意非零向量\(\alpha\)，上式成立当且仅当\(\lambda^2=\lambda\)，即\(\lambda(\lambda-1)=0\)。所以\(\lambda=0\)或\(\lambda=1\)。2.证明\(I+A\)可逆。方法一：利用行列式。\(|I+A|=|A+I|\)。\(A\)是幂等矩阵，\(A^2=A\)。\((I+A)^2=I^2+2IA+A^2=I+2A+A=I+3A\)。若\(I+A\)不可逆，则\(|I+A|=0\)。但是\(A\)的特征值为0或1。设\(A=PDP^{-1}\)，其中\(D\)是对角矩阵，对角元为0或1。\(I+A=P(I+D)P^{-1}\)。\(|I+A|=|P||I+D||P^{-1}|=|I+D|\)。