2025年考研工学控制理论模拟训练试卷（含答案）

2025年考研工学控制理论模拟训练试卷（含答案）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（每小题2分，共10分）1.已知某线性定常系统的传递函数为$G(s)=\frac{2}{s(s+1)}$，则该系统的类型是（）。A.0型系统B.I型系统C.II型系统D.III型系统2.若系统的特征方程为$s^3+2s^2+3s+4=0$，则该系统（）。A.稳定B.不稳定C.可能稳定，可能不稳定D.无法判断3.在频域分析中，描述系统低频段特性的性能指标是（）。A.上升时间B.超调量C.峰值时间D.稳态误差4.已知某系统的开环传递函数为$G(s)H(s)=\frac{K}{s(s+2)}$，绘制其根轨迹时，实轴上的分离点位于（）。A.-2B.0C.-1D.-45.下列关于状态空间法的叙述中，错误的是（）。A.状态空间法适用于线性定常系统B.状态空间法可以分析系统的能控性和能观测性C.状态空间法只能用于系统的分析和综合D.状态空间法可以得到系统的传递函数二、填空题（每小题2分，共10分）1.控制系统的传递函数定义为系统输出信号的拉普拉斯变换与输入信号的拉普拉斯变换之比，且假设系统的初始状态为零。2.频率响应曲线中的幅频特性描述了系统对不同频率正弦输入信号的幅值放大或衰减情况。3.根轨迹法是一种图解分析系统性能的方法，它可以根据开环传递函数的参数变化，绘制出闭环系统特征根的变化轨迹。4.线性定常系统的状态方程描述了系统状态变量随时间的变化规律，其一般形式为$x(t)=Ax(t)+Bu(t)$。5.最优控制理论旨在寻找使某个性能指标最优的控制策略，以实现对被控对象的最佳控制。三、计算题（每小题10分，共30分）1.已知某系统的结构图如下所示，其中$G(s)=\frac{1}{s+1}$，$H(s)=1$。试求该系统的传递函数$G(s)$。[此处应有一个结构图，但没有按照要求不写]2.已知某系统的特征方程为$s^4+4s^3+6s^2+4s+1=0$。试用劳斯判据判断该系统的稳定性。3.已知某系统的传递函数为$G(s)=\frac{2s+1}{s^2+3s+2}$。试求该系统在单位阶跃输入下的响应，并计算其上升时间、峰值时间和超调量。四、证明题（10分）证明：若线性定常系统的状态方程为$x(t)=Ax(t)+Bu(t)$，且$A$可逆，则该系统是状态完全能控的。五、综合题（20分）已知某单位负反馈控制系统的开环传递函数为$G(s)=\frac{K}{s(s+1)(s+2)}$。试求：1.当$K=10$时，该系统的单位阶跃响应，并计算其稳态误差。2.为使该系统在单位阶跃输入下无超调，试确定$K$的取值范围。3.若要求该系统的上升时间小于2秒，试确定$K$的取值范围。试卷答案一、选择题1.B2.B3.D4.C5.C二、填空题1.控制系统的传递函数定义为系统输出信号的拉普拉斯变换与输入信号的拉普拉斯变换之比，且假设系统的初始状态为零。2.频率响应曲线中的幅频特性描述了系统对不同频率正弦输入信号的幅值放大或衰减情况。3.根轨迹法是一种图解分析系统性能的方法，它可以根据开环传递函数的参数变化，绘制出闭环系统特征根的变化轨迹。4.线性定常系统的状态方程描述了系统状态变量随时间的变化规律，其一般形式为$x(t)=Ax(t)+Bu(t)$。5.最优控制理论旨在寻找使某个性能指标最优的控制策略，以实现对被控对象的最佳控制。三、计算题1.解：根据结构图，系统的传递函数为$G(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}=\frac{\frac{1}{s+1}}{1+\frac{1}{s+1}}=\frac{1}{s+2}$2.解：系统的特征方程为$s^4+4s^3+6s^2+4s+1=0$。列写劳斯表：|$s^4$|1|6|1||---|---|---|---||$s^3$|4|4|0||$s^2$|2|1|||$s^1$|$\frac{3}{2}$||||$s^0$|1|||劳斯表第一列元素符号变化一次，故该系统不稳定。3.解：系统在单位阶跃输入下的响应为$c(t)=1-e^{-2t}+e^{-3t}$。上升时间$t_r\approx0.693\ln2\approx0.23$秒。峰值时间$t_p\approx\frac{\pi}{\omega_d}\approx2.2$秒，其中$\omega_d=\sqrt{3}$。超调量$\sigma\%=e^{-\frac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^2}}}\approx5\%$，其中$\zeta=\frac{3}{2\sqrt{2}}$。四、证明题证明：系统状态完全能控的充分必要条件是存在一个非奇异变换矩阵$P$，将状态方程$x(t)=Ax(t)+Bu(t)$变换为$\bar{x}(t)=\bar{A}\bar{x}(t)+\bar{B}u(t)$其中$\bar{A}=PAP^{-1}$，$\bar{B}=PB$，使得$\bar{B}$为非奇异矩阵。由于$A$可逆，取$P=\begin{bmatrix}B&AB&A^2B&\cdots&A^{n-1}B\end{bmatrix}$，则$P$为非奇异矩阵。将状态方程变换为$\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}=A\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}+B\begin{bmatrix}u_1\\u_2\\\vdots\\u_n\end{bmatrix}$$\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}=A\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}b_0&b_1&\cdots&b_{n-1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_1\\u_2\\\vdots\\u_n\end{bmatrix}$由于$P$非奇异，对任意的$\bar{x}(0)$，都存在唯一的$x(0)$，使得$\bar{x}(0)=Px(0)$。对上式进行拉普拉斯变换，得$\bar{X}(s)=(sI-\bar{A})^{-1}\bar{X}(0)+(sI-\bar{A})^{-1}\bar{B}U(s)$由于$(sI-\bar{A})^{-1}$和$\bar{B}$非奇异，故对任意的$\bar{X}(0)$和$U(s)$，都存在唯一的$\bar{X}(s)$，使得上式成立。因此，系统状态完全能控。五、综合题1.解：当$K=10$时，系统的闭环传递函数为$G(s)=\frac{10}{s(s+1)(s+2)+10}=\frac{10}{s^3+3s^2+2s+10}$系统的特征方程为$s^3+3s^2+2s+10=0$，其根为$s_1\approx-1.17+j3.12$，$s_2\approx-1.17-j3.12$，$s_3\approx-0.67$。系统的稳态误差为$e(\infty)=\lim_{s\to0}s\frac{1}{1+G(s)}\cdot\frac{1}{s}=0$。2.解：为使系统在单位阶跃输入下无超调，要求系统的阻尼比$\zeta\geq1$。系统的特征方程为$s^3+3s^2+2s+K=0$，其根为$s_{1,2}=-1.5\pmj\sqrt{3.25-\frac{K}{2}}$，$s_3=-0.5$。要使$\zeta\geq1$，需要满足$\sqrt{3.25-\frac{K