河北省保定市竞秀区2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题含参考答案

河北省保定市竞秀区2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题含参考答案考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.已知函数$f(x)=x^3-3x+1$，则下列说法正确的是：A.$f(x)$在$x=0$处取得极大值B.$f(x)$在$x=0$处取得极小值C.$f(x)$在$x=0$处没有极值D.$f(x)$在$x=0$处既不是极大值也不是极小值2.设$a>0$，$b>0$，$a+b=1$，则下列不等式成立的是：A.$a^2+b^2\geq\frac{1}{2}$B.$a^2+b^2\leq\frac{1}{2}$C.$a^2+b^2\geq\frac{1}{4}$D.$a^2+b^2\leq\frac{1}{4}$3.已知函数$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$，则$f(x)$的值域为：A.$(-\infty,0)$B.$(-\infty,1)$C.$(0,1)$D.$(1,+\infty)$4.已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=\frac{1}{2^n}$，则数列的前$n$项和$S_n$为：A.$S_n=\frac{1}{2}$B.$S_n=\frac{1}{2^n}$C.$S_n=1-\frac{1}{2^n}$D.$S_n=2^n-1$5.设函数$f(x)=x^2-2ax+a^2$，其中$a$为常数，若$f(x)$的图像与$x$轴有两个交点，则$a$的取值范围是：A.$a<0$B.$a>0$C.$a=0$D.$a$可以为任意实数6.已知等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$，$a_1=1$，$a_4=9$，则$a_7$的值为：A.17B.15C.13D.117.已知函数$f(x)=\sinx+\cosx$，则$f(x)$的最大值为：A.$\sqrt{2}$B.$1$C.$-\sqrt{2}$D.$-1$8.已知函数$f(x)=x^3-6x^2+9x$，则$f(x)$的图像在$x$轴上截距的个数是：A.1B.2C.3D.49.已知等比数列$\{a_n\}$的公比为$q$，$a_1=2$，$a_5=32$，则$q$的值为：A.2B.$\frac{1}{2}$C.4D.$\frac{1}{4}$10.已知函数$f(x)=x^2+2x+1$，则$f(x)$的图像关于直线$x=-1$对称。二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。把答案填在题中的横线上。）11.若$a^2+b^2=2$，则$(a+b)^2$的最大值为______。12.若$\sinx+\cosx=\frac{\sqrt{2}}{2}$，则$\tanx$的值为______。13.若等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$，$a_1=3$，$a_5=13$，则$a_7$的值为______。14.若等比数列$\{a_n\}$的公比为$q$，$a_1=1$，$a_4=16$，则$q$的值为______。15.若函数$f(x)=x^2-2x+1$的图像与$x$轴有两个交点，则$f(x)$的零点为______。16.若函数$f(x)=\sinx+\cosx$的图像在$x$轴上截距的个数为2，则$f(x)$的周期为______。17.若函数$f(x)=x^3-6x^2+9x$的图像在$x$轴上截距的个数为3，则$f(x)$的极值点为______。18.若等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$，$a_1=2$，$a_4=8$，则数列的前$n$项和$S_n$为______。19.若等比数列$\{a_n\}$的公比为$q$，$a_1=3$，$a_5=243$，则数列的前$n$项和$S_n$为______。20.若函数$f(x)=x^2+2x+1$的图像关于直线$x=-1$对称，则$f(x)$的对称轴为______。三、解答题（本大题共4小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）21.（本题10分）已知函数$f(x)=x^3-3x+1$，求$f(x)$的极值。22.（本题20分）已知数列$\{a_n\}$是等差数列，$a_1=3$，$a_4=9$，求$\{a_n\}$的通项公式和前$n$项和。23.（本题20分）已知数列$\{a_n\}$是等比数列，$a_1=2$，$a_4=32$，求$\{a_n\}$的公比和前$n$项和。24.（本题30分）已知函数$f(x)=x^3-6x^2+9x$，求$f(x)$的图像与$x$轴的交点个数、极值点和拐点。四、解答题（本大题共4小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）25.（本题20分）已知函数$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$，求$f(x)$的定义域、值域以及单调区间。26.（本题20分）已知数列$\{a_n\}$是等差数列，$a_1=5$，$a_5=25$，$a_{10}=65$，求$\{a_n\}$的公差和前$n$项和。27.（本题20分）已知数列$\{a_n\}$是等比数列，$a_1=3$，$a_2=9$，$a_4=81$，求$\{a_n\}$的公比和前$n$项和。28.（本题20分）已知函数$f(x)=x^3-6x^2+9x$，求$f(x)$的导数$f'(x)$，并求出$f(x)$的极值点。五、解答题（本大题共4小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）29.（本题20分）已知函数$f(x)=\sinx+\cosx$，求$f(x)$的导数$f'(x)$，并求出$f(x)$的极值点。30.（本题20分）已知数列$\{a_n\}$是等差数列，$a_1=2$，$a_n=52$，$a_{n+1}=56$，求$\{a_n\}$的公差和前$n$项和。31.（本题20分）已知数列$\{a_n\}$是等比数列，$a_1=4$，$a_2=8$，$a_3=16$，求$\{a_n\}$的公比和前$n$项和。32.（本题20分）已知函数$f(x)=x^2+2x+1$，求$f(x)$的二阶导数$f''(x)$，并判断$f(x)$的凹凸性。六、解答题（本大题共4小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）33.（本题20分）已知函数$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$，求$f(x)$的极值点，并判断极值的类型。34.（本题20分）已知数列$\{a_n\}$是等差数列，$a_1=3$，$a_n=15$，$a_{n+1}=20$，求$\{a_n\}$的公差和前$n$项和。35.（本题20分）已知数列$\{a_n\}$是等比数列，$a_1=2$，$a_2=4$，$a_3=8$，求$\{a_n\}$的公比和前$n$项和。36.（本题20分）已知函数$f(x)=x^3-6x^2+9x$，求$f(x)$的导数$f'(x)$，并利用导数研究$f(x)$的单调性。本次试卷答案如下：一、选择题1.C。解析：求导得$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$得$x=\pm1$，代入原函数得$f(-1)=2$，$f(1)=-2$，故$f(x)$在$x=0$处既不是极大值也不是极小值。2.A。解析：由柯西不等式得$(a^2+b^2)(1^2+1^2)\geq(a+b)^2$，即$a^2+b^2\geq\frac{1}{2}$。3.C。解析：$f(x)=\frac{x+1-x}{x(x+1)}=\frac{1}{x(x+1)}$，$x(x+1)>0$，故$f(x)>0$，所以值域为$(0,1)$。4.C。解析：$S_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots+\frac{1}{2^n}=\frac{\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2^n})}{1-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2^n}$。5.B。解析：$f(x)$的图像开口向上，且对称轴为$x=a$，故当$x=a$时，$f(x)$取得极小值，即$f(a)=a^2-2a^2+a^2=0$。6.A。解析：$a_7=a_1+6d=1+6d=17$，解得$d=\frac{8}{3}$。7.A。解析：$f(x)=\sinx+\cosx=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})$，故$f(x)$的最大值为$\sqrt{2}$。8.B。解析：$f(x)$的图像与$x$轴的交点个数等于$f(x)$的零点个数，即$f'(x)=3x^2-12x+9=0$的解的个数，解得$x=1$或$x=3$，故$f(x)$的图像与$x$轴有两个交点。9.C。解析：$q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{9}{2}=4$。10.D。解析：$f(x)=x^2+2x+1=(x+1)^2$，故$f(x)$的图像关于直线$x=-1$对称。二、填空题11.$\sqrt{2}$。解析：由柯西不等式得$(a^2+b^2)(1^2+1^2)\geq(a+b)^2$，即$a^2+b^2\geq\frac{1}{2}$。12.$\frac{\sqrt{2}}{2}$。解析：$\sinx+\cosx=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}$，故$\tanx=\frac{\sinx}{\cosx}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。13.8。解析：$a_7=a_1+6d=1+6d=17$，解得$d=\frac{8}{3}$。14.4。解析：$q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{9}{2}=4$。15.$1$。解析：$f(x)=x^2-2x+1=(x-1)^2$，故$f(x)$的零点为$x=1$。16.$2\pi$。解析：$f(x)=\sinx+\cosx=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})$，故$f(x)$的周期为$2\pi$。17.$x=1$。解析：$f'(x)=3x^2-12x+9=0$，解得$x=1$。18.$S_n=1-\frac{1}{2^n}$。解析：$S_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots+\frac{1}{2^n}=\frac{\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2^n})}{1-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2^n}$。19.$S_n=2^n-1$。解析：$S_n=2+2^2+2^3+\cdots+2^n=\frac{2(1-2^n)}{1-2}=2^n-1$。20.$x=-1$。解析：$f(x)=x^2+2x+1=(x+1)^2$，故$f(x)$的对称轴为$x=-1$。三、解答题21.解析：求导得$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$得$x=\pm1$，代入原函数得$f(-1)=2$，$f(1)=-2$，故$f(x)$在$x=0$处取得极大值$f(0)=1$。22.解析：$d=\frac{a_5-a_1}{4}=\frac{9-5}{4}=1$，$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\timesn=\frac{3+25}{2}\timesn=13n$。23.解析：$q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{9}{2}=4$，$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{3(1-4^n)}{1-4}=3\times\frac{4^n-1}{3}=4^n-1$。24.解析：$f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$，故$f(x)$的极值点为$x=1$和$x=3$，极小值为$f(1)=-2$，极大值为$f(3)=0$。由于$f''(x)=6x-12$，故$f''(x)$在$x=1$和$x=3$处异号，故$f(x)$在$x=1$处取得极大值，在$x=3$处取得极小值。25.解析：$f(x)$的定义域为$x\neq0$且$x\neq-1$，$f(x)$的值域为$(0,1)$，$f(x)$在$(-\infty,-1)$和$(0,+\infty)$上单调递增，在$(-1,0)$上单调递减。26.解析：$d=\frac{a_5-a_1}{4}=\frac{25-5}{4}=5$，$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\timesn=\frac{3+25}{2}\timesn=13n$。27.解析：$q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{9}{2}=4$，$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{3(1-4^n)}{1-4}=3\times\frac