九年级数学-正文1章-4章

第一章勾股定理第1节探索勾股定理第1课时探索勾股定理（1）1.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦。2.勾股定理：直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方。如图，如果用a，b和c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边的长度，那么a2＋b2＝c2。认识勾股定理【例1】在△ABC中，若∠ABC＝90°，则下列选项中正确的是（D）A.BC＝AB＋AC B.BC2＝AB2＋AC2 C.AB2＝AC2＋BC2 D.AC2＝AB2＋BC2归纳总结应用勾股定理时，分清斜边、直角边是解题的关键，直角所对的边是斜边。▶跟踪训练1.下列说法中正确的是（C）A.已知a，b，c是三角形的三边，则a2＋b2＝c2B.在直角三角形中，两边和的平方等于第三边的平方C.在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以BC2＋AC2＝AB2D.在Rt△ABC中，∠B＝90°，所以BC2＋AC2＝AB2应用勾股定理解决问题【例2】如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，底端到左墙脚的距离为0.7m，梯子顶端距离地面2.4m。如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端距离地面2m，那么小巷的宽度为（C）A.0.7m B.1.5mC.2.2m D.2.4m归纳总结本题考查的是勾股定理的应用，先根据勾股定理求出梯子的长，当梯子靠在右边墙上时，梯子的长度不变，同理可得出梯子底端到右墙脚的距离，进而得出答案。▶跟踪训练2.一长方形零件尺寸（单位：mm）如图，其中∠ACB＝90°，则两孔中心A和B的距离为150mm。运用勾股定理求面积【例3】如图，图中所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形A，B的面积分别为12，4，则正方形C的面积是（D）A.10 B.8C.4 D.16归纳总结本题是数形结合思想的应用，在直角三角形中，两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方，而在本题的图形中三边的平方正好可以通过三个正方形的面积表示。▶跟踪训练3.如图是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形。若正方形A，B，C，E的面积分别为2，5，1，10，则正方形D的面积是2。1.如图，直线AO⊥OB，垂足为O，线段AO＝6，BO＝8。以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交射线AO于点C，则OC的长为（B）第1题图A.3 B.4 C.5 D.62.如图，一棵与水平地面垂直的大树于一次大风中在距地面5m处折断，倒下后树顶端着地点A与树底端B的距离为12m，则这棵大树在折断前的高度为（B）第2题图A.10m B.18mC.17m D.20m3.如图，阴影部分长方形的面积是45cm2。第3题图4.如图，若∠BAD＝∠DBC＝90°，AB＝3，AD＝4，BC＝12，则CD＝13。第4题图1.已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边长的平方是（D）A.100 B.28 C.10或14 D.100或282.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，则△ABC的面积为（D）A.5 B.60 C.45 D.303.如图，两个正方形的面积分别是64和49，则AC的长为17。4.在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，则AB2＋AC2＋BC2＝50。5.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，CD＝12，BD＝9。求AB与BC的长。解：因为CD⊥AB，所以∠ADC＝∠BDC＝90°。在Rt△CDB中，CD＝12，BD＝9，由勾股定理得BC2＝CD2＋BD2＝122＋92＝225，所以BC＝15。在Rt△ADC中，AC＝20，CD＝12，由勾股定理得AD2＝AC2－CD2＝202－122＝256，所以AD＝16。所以AB＝AD＋DB＝16＋9＝25。6.已知在△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AD＝8，则边BC的长为21或9。7.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各直角边为直径向外作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”。当AC＝3，BC＝4时，阴影部分的面积为6。8.对角线互相垂直的四边形叫作“垂美四边形”。现有如图所示的“垂美四边形”ABCD，对角线AC，BD交于点O。若AD＝2，BC＝4，求AB2＋CD2的值。解：因为AC⊥BD，所以∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°。由勾股定理得AB2＋CD2＝AO2＋BO2＋CO2＋DO2，AD2＋BC2＝AO2＋DO2＋BO2＋CO2，所以AB2＋CD2＝AD2＋BC2。因为AD＝2，BC＝4，所以AB2＋CD2＝22＋42＝20。9.八年级数学兴趣小组利用所学知识测风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为12m；②根据手中剩余风筝线的长度计算出风筝线BC的长为20m；③牵线放风筝的小亮的身高AB为1.7m。（1）求风筝的垂直高度CE。解：（1）在Rt△CDB中，由勾股定理得CD2＝BC2－BD2＝202－122＝256，所以CD＝16，由题意得DE＝AB＝1.7，所以CE＝CD＋DE＝16＋1.7＝17.7（m）；答：风筝的垂直高度CE为17.7m。（2）小红认为如果想让风筝沿CD方向下降7m，就应该往回收线7m。你同意她的说法吗？请说明理由。解：（2）不同意小红的说法，理由如下：在线段CD上取点M，使CM＝7m。由（1）得CD＝16m，所以DM＝CD－CM＝16－7＝9（m）。在Rt△BDM中，由勾股定理得BM2＝DM2＋BD2＝92＋122＝225，所以BM＝15m，所以BC－BM＝20－15＝5（m）。即应该往回收线5m。第2课时探索勾股定理（2）1.我们通过测量和数格子的方法发现了勾股定理。还可以通过拼图法运用面积相等来验证勾股定理。2.在利用勾股定理解决实际问题时，只要知道直角三角形其中两边的长，即可求出第三边的长。勾股定理的验证【例1】下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（D）归纳总结本题主要考查勾股定理的图形验证，解题的关键是熟练掌握正方形、梯形以及三角形面积公式，利用等面积法建立等量关系，再利用完全平方公式化简得到勾股定理，体现了数形结合的思想。▶跟踪训练1.如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成。若AE＝5，BE＝13，则EF2＝（D）A.32 B.64C.98 D.128勾股定理与全等三角形的结合【例2】如图，直线l上有三个正方形a，b，c。若a，c的面积分别为7和15，则b的面积为（B）A.8 B.22C.24 D.26归纳总结本题主要考查全等三角形和勾股定理的综合运用，根据已知条件可判定△ABC≌△CDE，得出BC＝DE。由勾股定理可知AB2＋BC2＝AC2，从而得到b的面积＝a的面积＋c的面积。▶跟踪训练2.如图，在直线上依次摆着7个正方形，若倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积分别是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝4。勾股定理与轴对称的结合【例3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD是∠BAC的平分线。若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC＋PQ的最小值是245归纳总结本题主要考查轴对称与勾股定理的综合运用。由于点Q关于AD所在直线的对称点在边AB上，则PC＋PQ的最小值即为点C到边AB的垂线段的长度。运用勾股定理求出AB，再运用面积法求出垂线段的长度，即得PC＋PQ的最小值。▶跟踪训练3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝8，点M在BC上，且BM＝2，N是AC上一动点，则BN＋MN的最小值为10。勾股定理的实际运用【例4】某市的一条主路限速70km/h。如图，一辆小汽车在这条主路的直道上行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正前方30m的C处，过了2s后，小汽车行驶至B处，此时小汽车与观测点间的距离AB为50m，请通过计算判断：这辆小汽车是否超速？解：根据题意可知∠ACB＝90°，由勾股定理得BC＝40m＝0.04km，2s＝118000.04÷11800＝72km/h＞70故这辆小汽车超速了。归纳总结本题考查勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形，确定直角边与斜边，根据勾股定理求出BC的距离，然后根据时间求出速度，从而可判断小汽车是否超速。▶跟踪训练4.如图所示，在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现需要在C处进行爆破，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300m，与公路上的另一停靠站B的距离为400m，且CA⊥CB。为了安全起见，爆破点周围半径250m范围内不得进入。在进行爆破时，公路AB段是否需要封锁？请计算并说明理由。解：公路AB段需要暂时封锁，理由如下：如图，过点C作CD⊥AB于点D。因为BC＝400m，AC＝300m，∠ACB＝90°，由勾股定理得AB＝500m。因为S△ABC＝12AB·CD＝12BC·所以CD＝BC·ACAB＝400×300500＝由于240＜250，故有危险，因此公路AB段需要暂时封锁。1.如图，△ABC的顶点分别在由边长为1的小正方形组成的网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（B）第1题图A.245 B.16C.85 D.2.课堂上，王老师给出如图所示的甲、乙两个图形，能利用面积验证勾股定理a2＋b2＝c2的是（C）第2题图A.甲 B.乙 C.甲和乙 D.甲、乙都不行3.如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1和2，则正方形ABCD的面积是5。第3题图4.如图是2002年在北京召开的国际数学大会的会标，它是由四个相同的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形。若大正方形的边长是13cm，每个直角三角形较短的一条直角边的长是5cm，则小正方形的边长为7cm。第4题图5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，求BD的长。解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝15，由勾股定理得AB＝25，因为CD⊥AB，所以12AB·CD＝12AC·所以CD＝20×1525＝12所以在Rt△BCD中，BC2－CD2＝81，所以BD＝9。1.在学习勾股定理时，甲同学用四个相同的直角三角形（直角边长分别为a，b，斜边长为c）构成如图所示的正方形；乙同学用边长分别为a，b的两个正方形和长为b、宽为a的两个长方形构成如图所示的正方形。甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是（A）第1题图A.甲 B.乙 C.甲，乙都可以 D.甲，乙都不可以2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D。若CA＝4，CB＝3，则CD＝（C）第2题图A.35 B.45 C.125 3.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的图形，大正方形的面积为41，小正方形的面积为1。设直角三角形较长的直角边长为b，较短的直角边长为a，则a＋b的值是（B）第3题图A.10 B.9 C.7 D.64.在Rt△ABC中，∠C＝90°。若AC＋BC＝14cm，AB＝10cm，则Rt△ABC的面积为（D）A.48cm2 B.30cm2 C.36cm2 D.24cm25.如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD的中点。若BC＝5，AD＝10，BE＝132，则AB的长是126.如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，D为AB边上一点。（1）试说明：BD＝AE；（2）若线段AD＝5，AB＝17，求线段ED的长。解：（1）因为△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，所以AC＝BC，CD＝CE，所以∠ACB＝∠DCE＝90°。所以∠ACE＋∠ACD＝∠BCD＋∠ACD，所以∠ACE＝∠BCD，所以△ACE≌△BCD（SAS），所以BD＝AE。（2）因为AD＝5，AB＝17，所以BD＝17－5＝12。由（1）得△ACE≌△BCD，△ABC是等腰直角三角形，所以AE＝BD＝12，∠EAC＝∠B＝∠BAC＝45°，所以∠EAD＝90°，由勾股定理得ED＝13。7.一辆装满货物的卡车高3m，宽2.4m，想开进上边是半圆、下边是长方形的桥洞，如图所示，已知半圆的直径为4m，长方形的宽是2.3m。（1）此卡车是否能通过桥洞？请说明你的理由。（2）为了适应车流量的增加，准备把桥洞改为双行道，要使宽为2.4m、高为3m的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少应增加到多少？解：（1）此卡车能通过桥洞，理由如下：如图，记半圆的圆心为O，当卡车从桥洞的正中心通过时，OC＝1.2m，过点C作CD⊥OC，交半圆于点D，连接OD。在Rt△OCD中，OD＝2，OC＝1.2，由勾股定理得CD＝1.6，所以1.6＋2.3＝3.9＞3，所以此卡车能通过桥洞。（2）如图，同理（1），由题意知，若卡车刚好能过，则OF＝2.4，DF＝3－2.3＝0.7，Rt△OFD中，由勾股定理得OD＝2.5，所以2OD＝5，所以桥洞的宽至少要增加到5m。第2节一定是直角三角形吗1.如果三角形三条边的长度a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。2.满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数。勾股数【例1】下列各组数中，是勾股数的为（B）A.6，7，10 B.12，16，20 C.1，2，3 D.0.3，0.4，0.5归纳总结本题考查勾股数，勾股数既要满足a2＋b2＝c2，又要都是正整数。勾股数的正整数倍也是勾股数，如3，4，5是一组勾股数，6，8，10也是一组勾股数。▶跟踪训练1.下列各组整数是勾股数的为（C）A.4，5，6 B.6，8，9 C.8，15，17 D.13，14，15勾股定理逆定理的应用【例2】如图，在△ABC中，D是BC上一点，若AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17，求CD的长和S△ABC。解：在△ABD中，AB＝10，BD＝6，AD＝8，所以BD2＋AD2＝62＋82＝100＝AB2，所以△ABD为直角三角形，∠ADB＝90°，所以∠ADC＝90°。在Rt△ADC中，AD＝8，AC＝17，由勾股定理得DC＝15，S△ABC＝12AD·BC＝12AD·（BD＋DC）＝归纳总结本题考查勾股定理及其逆定理的应用。利用勾股定理的逆定理可判断△ABD为直角三角形，然后利用勾股定理求出DC的长，进而求出BC的长，即可求出三角形的面积。▶跟踪训练2.如图，在△ABC中，AD＝15，AC＝12，DC＝9，B是CD延长线上一点，连接AB。若AB＝20，求△ABD的面积。解：在△ADC中，AD＝15，AC＝12，DC＝9，所以AC2＋DC2＝122＋92＝152＝AD2，所以△ADC是直角三角形，∠ACD＝90°。在Rt△ABC中，AB＝20，AC＝12，由勾股定理得BC＝16，所以BD＝BC－DC＝16－9＝7，所以S△ABD＝12BD·AC＝12×7×12＝1.下列四组数据中，不能作为直角三角形的三边长的是（B）A.6，8，10 B.10，15，20 C.5，12，13 D.7，24，252.在△ABC中，AB＝8，BC＝15，AC＝17，则下列结论正确的是（B）A.△ABC是直角三角形，且∠A＝90° B.△ABC是直角三角形，且∠B＝90°C.△ABC是直角三角形，且∠C＝90° D.△ABC不是直角三角形3.已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，则添加下列条件，不能判定△ABC是直角三角形的是（A）A.a∶b∶c＝2∶2∶1 B.a2＋b2＝c2C.a∶b∶c＝5∶12∶13 D.a∶b∶c＝4∶5∶34.如图，在△ABC中，AB＝12，BC＝13，AC＝5，则BC边上的高AD为（C）A.3 B.4C.6013 D.4.5.木工师傅要制作一张长方形桌面，若桌面的角为直角，则制作合格。做好后量得这个桌面的长为80cm，宽为60cm，对角线为100cm，则这张桌面制作合格。（填“合格”或“不合格”）6.如图，CD是△ABC的高，AC＝4，BC＝3，DB＝95（1）求AD的长。（2）△ABC是直角三角形吗？请说明理由。解：（1）在Rt△BDC中，BC＝3，BD＝95由勾股定理得CD＝125在Rt△ADC中，AC＝4，CD＝125由勾股定理得AD＝165（2）由（1）得AB＝AD＋BD＝165＋95＝所以在△ACB中，AC2＋BC2＝16＋9＝25＝AB2。所以AB2＝AC2＋BC2。所以△ABC是直角三角形。1.若3，4，a是一组勾股数，则a的值为（B）A.2 B.5 C.6 D.72.在△ABC中，若AC2－BC2＝AB2，则（B）A.∠A＝90° B.∠B＝90° C.∠C＝90° D.不能确定3.有五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（C）4.下列说法中，错误的是（D）A.△ABC中，若∠B＝∠C－∠A，则△ABC是直角三角形B.△ABC中，若a2＝（b＋c）（b－c），则△ABC是直角三角形C.△ABC中，若a∶b∶c＝3∶4∶5，则△ABC是直角三角形D.△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，则△ABC是直角三角形5.如图，△ABC在正方形网格中，若小方格的边长为1，则△ABC是（A）第5题图A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上答案都不对6.若一个三角形的三边的比为5∶4∶3，周长为60cm，则它的面积是150cm2。7.如图，在四边形ABCD中，AB＝12，BC＝10，CD＝8，DA＝6，其中∠D＝90°，则四边形ABCD的面积是72。第7题图8.图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，根据安全标准需满足BC⊥CD，现测得AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°），通过计算说明该车是否符合安全标准。解：在Rt△ABD中，BD2＝AD2－AB2＝92－62＝45。在△BCD中，BC2＋CD2＝32＋62＝45，所以BC2＋CD2＝BD2，所以∠BCD＝90°，即BC⊥CD。故该车符合安全标准。9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝40cm，AC＝30cm，动点P从点B出发沿射线BA以2cm/s的速度运动。当运动时间t＝16或25s时，△BPC为直角三角形。10.如图，学校有一块四边形空地，计划在其内部区域种植草皮。经测量，∠B＝90°，AB＝12m，BC＝9m，CD＝20m，AD＝25m。若种植草皮费用为200元/m2，求种植这块草皮的费用。种植此块草皮的费用为19200元。11.我们称满足a2＋b2＝c2的三个正整数a，b，c为勾股数。王老师给出几组数据让学生观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41。学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决。（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11，60，61。（2）如果第一个数用字母a（a为奇数且a≥3）表示，那么后两个数用含a的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律：4＝32－12，12＝52－12，24＝72－1（3）请你验证（2）中用字母a（a为奇数且a≥3）表示出的三个数是勾股数。解：（3）因为a2＋a2－1a2+12所以a2＋a2－1又因为a为奇数，且a≥3，所以a，a2－12第3节勾股定理的应用1.运用勾股定理解决实际问题，关键是构建直角三角形模型，把实际问题抽象为几何问题。2.勾股定理的两种常用方法：一是已知直角三角形的两条边，根据勾股定理求出第三边；二是将直角三角形中的某一边设为未知量，根据勾股定理建立方程，通过解方程求得未知量的值，进而解决问题。直接利用勾股定理解决问题【例1】如图，A，B两个小镇在河流CD的同侧，到河的距离分别为AC＝10km，BD＝30km，且CD＝30km。现在要在河边建一自来水厂，向A，B两镇供水，铺设水管的费用为3万元/km，请你在河流CD上选择建水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少万元。解：作点A关于CD的对称点A'，连接A'B，与CD的交点为M，点M即为所求作的点。如图构造Rt△BA'K，则可得A'K＝CD＝30km。DK＝A'C＝AC＝10km，所以BK＝BD＋DK＝40km，由勾股定理得A'B＝50km，即AM＋BM＝50km，所以总费用为50×3＝150（万元），答：总费用为150万元。归纳总结本题考查勾股定理及轴对称性质的应用，关键是确定自来水厂的位置M，需要作点A的对称点，连接点B和点A的对称点，与河的交点即为自来水厂的位置M，然后构造直角三角形，根据勾股定理求解即可。▶跟踪训练1.一架梯子长25m，如图，将这架梯子斜靠在一面墙上，此时梯子底端到墙脚的距离BO为7m。（1）这个梯子的顶端距离水平地面有多高？这个梯子的顶端距水平地面24m。（2）如果梯子的顶端下滑了4m，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？梯子的底端在水平方向滑动了8m。利用勾股定理构造方程解决问题【例2】荡秋千（图1）是中国古代北方少数民族创造的一种运动。有一天，赵彬在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.5m，将它往前推送1.8m（水平距离BC＝1.8m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝CE＝1.1m，秋千的绳索始终拉直，求绳索AD的长度。解：由题意得∠ACB＝90°，AB＝AD，BC＝1.8m，设绳索AD的长度为xm，则由AC＝AD＋DE－CE，得AC＝x＋0.5－1.1＝（x－0.6）m，在Rt△ACB中，由勾股定理得AC2＋BC2＝AB2，所以x2＝1.82＋（x－0.6）2，解得x＝3，答：绳索AD的长度是3m。归纳总结本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理建立方程是解题的关键。设绳索AD的长度为xm，则AC＝（x－0.6）m，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解方程即可。▶跟踪训练2.池塘中有一株荷花的茎长为OA，无风时露出水面的部分AC＝0.4m，如果把这株荷花向旁边拉至它的顶端A恰好到达池塘的水面B处，此时荷花顶端离原来位置的距离BC＝1.2m，则这株荷花的茎长OA的长为2m。1.如图，货车卸货时支架侧面是Rt△ABC，其中∠ACB＝90°，已知AB＝2.5m，AC＝2m，则BC的长为（A）第1题图A.1.5m B.2m C.2.5m D.3m2.如图是一个三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm，3dm，2dm。A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（B）第2题图A.15dm B.17dm C.20dm D.25dm3.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE的长为（D）第3题图A.78 B.3 C.254 D4.如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝2m。若梯子的顶端沿墙下滑0.5m，这时梯子的底端也恰好外移0.5m，则梯子的长度AB为（A）第4题图A.2.5m B.3m C.1.5m D.3.5m5.山坡上有甲、乙两棵树，由于大风，甲树被从4m处拦腰折断，如图所示，其树顶端恰好落在另一棵树乙的根部C处。已知AB＝4m，BC＝13m，两棵树的水平距离为12m，求甲树原来的高度。甲树原来的高度是19m。1.如图所示的是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm，3dm，2dm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到B点的最短路程为（B）第1题图A.30dm B.25dm C.20dm D.35dm2.如图，一棵垂直于地面且高度为7m的“风景树”被台风折断，树顶A落在离树底部C的1m处，则这棵树折断的位置离地面的高度为（C）第2题图A.5m B.6m C.247m D.2573.如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，离地高度AB＝2.5m，当人体进入感应器的感应范围内时（AD≤2.2m），感应门就会自动打开。一个身高1.6m的学生（CD＝1.6m）正对门，缓慢走到离门1.2m的地方时（BC＝1.2m），感应门会自动打开。（填“会”或“不会”）第3题图4.如图，在离水面高度为8m的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17m，此人以1m/s的速度收绳，7s后船移动到点D的位置。若绳子一直保持是直的，则船向岸边移动了9m。第4题图5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AC上一点。若BD是∠ABC的平分线，则AD＝5。第5题图6.如图所示，某中学院内有一块不规则的四边形空地ABCD，学校计划在空地上铺悬浮地板。经测量，∠ABC＝90°，BC＝6m，AB＝8m，AD＝26m，CD＝24m。（1）求空地ABCD的面积。空地ABCD的面积是144m2。（2）若每铺1m2悬浮地板需要120元，问：总共需投入多少元？总共需投入资金17280元。7.如图，在笔直的公路上，A，B两点相距25km，C，D为两村庄所在位置，DA＝10km，CB＝15km，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B。现要在AB上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求E应建在距A多远处。E应建在距A点15km处。8.在我国古代数学著作《九章算术》的第九章《勾股》中记载了这样的一个问题：“今有开门去（kǔn）一尺，不合二寸，问门广几何。”用数学方法理解意思是：推开如图所示的两扇门AD和BC，门边缘D，C两点到门槛的距离是1尺（即C，D到线段AB的距离为1尺），两扇门的间隙CD为2寸，则门宽AB是多少寸？（1尺＝10寸）门宽AB是101寸。9.森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大。直升机洒水是一种扑灭火源的高效方式。如图所示，有一台救火直升机沿东西方向由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，点C与直线AB上两点A，B的距离分别为600m和800m，且AB＝1000m，直升机中心周围500m以内可以受到洒水影响。（1）着火点C受洒水影响吗？为什么？（2）若直升机的速度为10m/s，要想扑灭着火点C估计需要13s，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭。解：（1）着火点C受洒水影响。理由如下：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D。因为AC＝600m，BC＝800m，AB＝1000m，所以AC2＋BC2＝10002＝AB2，所以△ABC是直角三角形。所以S△ABC＝12AC×BC＝12AB×所以CD＝AC·BCAB＝600×8001因为480＜500，所以着火点C受洒水影响。（2）如图，以点C为圆心，500m为半径作圆，交AB于点E，F。则CE＝CF＝500m。因为CD⊥AB，所以ED＝DF＝12EF在Rt△CDE中，由勾股定理得ED＝140m，所以EF＝2ED＝280m，所以280÷10＝28（s）。因为28＞13，所以着火点C能被扑灭。专题一用勾股定理解决折叠问题折叠后直接利用勾股定理1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD⊥AB，垂足为D，将边AC沿CD翻折，使点A落在AB上的点E处，则线段BE的长度为75折叠后利用勾股定理构造方程解决问题2.如图，在Rt△ACB中，BC＝3，AB＝5，∠BCA＝90°，在AC上取一点E，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△A'BE，使得点A'落在直线BC上，则AE的长度为（C）第2题图A.1.5 B.2 C.2.5 D.33.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，将△ABC沿DE翻折，使得点C与点B重合。若AB＝6，AC＝8，则折痕DE的长度为（B）第3题图A.4 B.154 C.5 D.4.如图，在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，则DN的长度为（B）第4题图A.4 B.5 C.6 D.75.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，按图中所示的方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB上的点C'处。（1）求C'D的长度；DC'的长度为3cm。（2）求△ABD的面积。△ABD的面积为15cm2。☆问题解决策略：反思解决问题之后，对解决问题的过程、方法及问题的变化等方面进行反思，可以加深对问题及解决问题的思路、策略与方法的理解，丰富解决问题的经验，提高解决问题的能力。最短路径问题的解决与反思【例】如图，圆柱形玻璃杯底面周长为30cm，高为35cm，杯底厚1cm。在玻璃杯外壁距杯口2cm的点A处有一只蚂蚁，蚂蚁相对面的内壁底部B处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿杯口爬入内壁去吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短路径长（玻璃杯的壁厚忽略不计）。解：展开玻璃杯的侧面，如图，作点A关于MN的对称点A'，连接A'B，过点B作BC⊥A'A于点C，则BC＝15，A'M＝AM＝2，CM＝35－1＝34，CA'＝CM＋A'M＝36。在Rt△A'BC中，根据勾股定理得A'B＝39cm，所以蚂蚁爬行的最短路径长为39cm。归纳总结1.解决此类问题的关键在于将不在同一平面上两点的最短路径问题转化为展开图中两点之间的线段长度问题，然后构造直角三角形，利用勾股定理求解。2.要理解蚂蚁爬行的最短路径问题只是一种数学模型，现实中蚂蚁很难会沿着最短路径走。3.当圆柱的高和底面半径的比例变化到一定程度时，计算最短路径的方法也会发生改变。▶跟踪训练如图，长方体的底面边长分别为4cm和8cm，高为10cm，一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点。若蚂蚁的爬行速度为1.5cm/s，则20s内蚂蚁能否爬到Q点？解：如图所示，将长方体的侧面展开在同一平面内。因为PA＝2×（8＋4）＝24（cm），QA＝10cm，∠A＝90°，由勾股定理得PQ＝26cm。因为26÷1.5≈17.3（s），17.3＜20，所以20s内蚂蚁能爬到点Q。1.如图，有一个圆柱，它的高为7cm，底面圆的周长为48cm。在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程为25cm。2.如图，长方体的长为10cm，宽为8cm，高为16cm，BC＝4cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，求蚂蚁需要爬行的最短路程。蚂蚁爬行的最短路程是20cm。1.如图是放在地面上的一个无盖的长方体形盒子，其长、宽、高分别为4cm，4cm，6cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的侧面爬到盒顶的点B，你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短行程是多少？解：①如图所示，连接AB即为所求路线。根据题意：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2×4＝8（cm），CB＝6cm，根据勾股定理AB2＝AC2＋BC2＝100，所以AB＝10（cm）。②如图所示，连接AB即为所求路线，根据题意：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6＋4＝10（cm），CB＝4cm，根据勾股定理，AB2＝102＋42＝116，因为100＜116，所以最短行程是10cm。2.如图，小明家住20楼，一天他与爸爸去买了一根长3m的钢管，如果电梯的长、宽、高分别是1.5m，1.5m，2.5m，在不损坏钢管的前提下请你帮小明计算一下这根钢管能否放进电梯内。解：如图所示，由勾股定理得AB2＝1.52＋1.52＝4.5，所以BC2＝AB2＋AC2＝4.5＋2.52＝10.75＞32，所以钢管能放进电梯。3.如图1，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝。（1）现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是图3中的A；（2）求该长度最短的金属丝的长；金属丝的长为20。（3）如图2所示，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，所需金属丝的最短长度为m，则m2的值为2368。第一章复习课勾股定理及逆定理的应用1.如图是一个圆柱形饮料罐，其底面半径是5cm，高是12cm，上底面中心有一个小圆孔，一条长16cm的直吸管底部按图中所示紧贴底部侧面，则吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）是（B）第1题图A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm2.如图，某学校准备举办元旦联欢会，在舞台一侧长5m、高3m的台阶上铺设红地毯。已知台阶的宽为3m，则共需购买红地毯（A）第2题图A.21m2 B.45m2 C.24m2 D.12m23.如图1，在某居民小区内有一块近似长方形的草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，仅仅少走了几步路，却踩伤了花草。如图2，经过测量，AC＝3m，AB＝4m，则走“捷径”BC仅仅少走了2m。勾股定理与网格问题4.如图，在3×3的正方形网格中，A，B，C，D，E是格点，则下列线段长度最长的是（C）第4题图A.AB B.AD C.AC D.AE5.如图是由边长为1的小正方形组成的网格，△ABC的顶点A，B，C均在格点上。若AD⊥BC于点D，则线段AD的长为2。第5题图6.如图1与图2，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画图。（1）在图1中，画一个直角三角形，使每条边的长度都是整数。（2）在图2中，画一个面积为10的正方形。（1）作图如图1所示。图1（2）作图如图2所示。图2利用勾股定理构造方程问题7.图1中有一首现代诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2所示，其中AB＝AB'，AB⊥B'C于点C，BC＝0.5尺，B'C＝2尺。设AC的长度为x尺，则可列方程为x2＋22＝（x＋0.5）2。8.如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D在BC上，DA⊥CA，求BD的长。BD＝72勾股定理的实际应用9.某超市的购物车如图1所示，图2为其侧面简化示意图。现测得支架AC＝8dm，AB＝6dm，两轮中心的距离BC＝10dm，滚轮半径r＝1dm。（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离AD＝13dm，AE＝5dm，且AE⊥DE，AE和BC都与水平地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到水平地面的距离。解：（1）因为AC2＋AB2＝1002＝BC2，所以△ABC是直角三角形。（2）购物车上篮子的左边缘D到水平地面的距离为17.8dm。10.如图，某隧道的截面由半径为5m的半圆构成。（1）如图1，一辆货车宽5.8m，高4m，它能通过该隧道吗？（2）如图2，如果该隧道内设双行道，一辆宽为4m、高为2.7m的货车能驶入这个隧道吗？解：（1）因为OC＝5m，CD＝4m，由勾股定理得OD＝3m，因为2×3＞5.8，所以这辆车能通过该隧道。（2）连接OC，如图所示，由题知CD⊥AB，OD＝4m，因为OC＝5m，由勾股定理得CD＝3m，因为3＞2.7，所以这辆车能驶入该隧道。（3）如图3，如果该隧道内设双行道，为了安全起见，在隧道正中间设有0.6m宽的隔离带，则一辆宽为2.8m、高为4m的货车不能通过该隧道。（填“能”或“不能”）1.国庆节假期小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发到达藏宝点B，则门口A到藏宝点B的直线距离是（D）A.20m B.14mC.11m D.10m2.如图为某公园平面示意图的一部分，四边形ABCD为休闲区域，四周是步道，AB⊥BC，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了步道AC，经测量AB＝9，BC＝12，CD＝8，AD＝17。（1）试说明：AC⊥CD；（2）求四边形ABCD的面积。（1）AC⊥CD。理由：在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝12，由勾股定理得AC2＝AB2＋BC2＝92＋122＝225，因为AD2＝172＝289，CD2＝64，所以AD2＝CD2＋AC2，所以△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°，所以AC⊥CD。（2）四边形ABCD的面积为114。3.如图，有两只猴子在一棵树CD上的点B处，且BC＝4m，它们都要到A处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下再走到离树8m的A处（即AC＝8m），另一只猴子乙先爬到树顶D处后再沿缆绳DA滑到A处。已知两只猴子所经过的路程相等，求这棵树的高。这棵树高6m。4.如图，两条公路l1，l2交于点O，有一学校在公路l2上的点A处，与O点的距离为170m，点A到公路l1的距离AM为80m，一辆大货车从O点出发，行驶在公路l1上，汽车周围100m范围内会受到噪声影响。（1）该货车在公路l1上行驶时，学校是否受噪声影响？为什么？（2）若该货车的速度为90km/h，则学校受噪声影响多少秒？（1）因为AM＝80m＜100m，所以货车开过时学校会受噪声影响。（2）学校受噪声影响4.8s。第二章实数第1节认识实数第1课时认识实数（1）事实上，满足等式a2＝2的a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数。有理数的判别【例1】如图是由12个边长为1的正方形拼成的图形，连接这些小正方形的顶点，可得到一些长度不同的对角线（如最长的对角线是AC，最短的对角线是AE等），从中找出长度是有理数的对角线，用字母表示该对角线并写出它们的长度。长度是有理数的对角线为AC、BD，长均为5。归纳总结判断图形中的线段长度是不是有理数的方法：可将所求线段的长看成某一直角三角形的边长，由勾股定理求出这条线段长的平方，若没有平方等于这条线段长的平方的有理数，则该线段长度不是有理数。▶跟踪训练1.如图，图中是由16个边长为1的小正方形拼成的大正方形，连接CA，CB，CD，CE四条线段，其中长度是有理数的为线段CD。估计非有理数的大小【例2】设面积为10π的圆的半径为x。（1）x的整数部分是多少？（2）将x精确到十分位是多少？解：（1）根据题意，得πx2＝10π，所以x2＝10。因为32＜10＜42，所以3＜x＜4，所以x的整数部分是3。（2）因为3.162＝9.9856，3.172＝10.0489，所以3.16＜x＜3.17，所以x精确到十分位的值是3.2。归纳总结估算非有理数x的大小的步骤和方法：（1）确定x的整数部分。根据平方的定义，把x2夹在两个连续的正整数的平方之间，从而确定x的整数部分，如确定x2＝7的整数部分，因为22＜7＜32，所以2＜x＜3，故x的整数部分是2。（2）确定x的小数部分。整数部分保持不变，将x2夹在两个连续的十分位数字的平方之间，从而可确定十分位数字。依此类推，可确定x的百分位、千分位数字等。如确定x2＝7中x的十分位数字。因为2.62＝6.76，2.72＝7.29，而6.76＜7＜7.29，所以2.6＜x＜2.7，故x的十分位数字为6。▶跟踪训练2.若正数x满足x2＝11，则x精确到十分位的值是3.3。1.下列各数中，不是有理数的为（D）A.3.14 B.－43 C.0.57 D.2.下列一组数：－8，27，π2，3.14，0.1010010001…（每相邻两个1之间依次增加1个0），其中不是有理数的个数为（A.0 B.1 C.2 D.33.如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的边长不是有理数的条数是（C）A.0 B.1 C.2 D.34.（1）估计面积为5的正方形的边长b的值。（结果精确到0.1）2.2。（2）如果结果精确到0.01，那么边长b的值为多少？2.24。1.以下各正方形的边长不是有理数的是（C）A.面积为25的正方形 B.面积为425C.面积为8的正方形 D.面积为1.44的正方形2.若等边三角形的边长为4，则它的高h（D）A.是整数 B.是分数 C.是有理数 D.不是有理数3.下列各数：－8，－312，π2，0.23··，0，9.8181181118…（每两个8之间1的个数逐次加1），0.112134，其中不是有理数的有A.4个 B.3个 C.2个 D.1个4.如图所示，在4×4的正方形网格图中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，每个小正方形的边长均为1，则△ABC是等腰直角三角形。5.如图所示，Rt△ABC的三边长分别是a，b，c。（1）计算：①a＝1，c＝2，b2＝3；②a＝3，c＝5，b2＝16；③a＝0.6，c＝1，b2＝0.64。（2）通过（1）中计算出的b2的值我们知道，b是整数的是②；b是分数的是③；b既不是整数，也不是分数的是①。（均填序号）6.如图是面积分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9的正方形，其边长是有理数的正方形有3个。7.面积为15的正方形的边长的整数部分为a，面积为56的正方形的边长的整数部分为b，求a＋b的值。10。8.已知直角三角形的两直角边长分别是9cm和5cm，斜边长是xcm，则x的整数部分是10，十分位上的数字是2。9.阅读下列材料：设x＝0.3·＝0.333…①，则10x＝3.333…②，则由②－①，得9x＝3，即x＝13，所以0.3·＝0.333…＝13。根据上述方法把下列两个数化成分数：0.7·＝79，1.10.如图所示，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，请你在图中画一个面积为10的正方形。如图所示。（画法不唯一）11.如图的网格是由边长为1的小正方形拼成的。（1）请你把各图带阴影的部分剪开，分别重新拼成同一个大正方形；（2）这些大正方形一样大吗？（3）这些大正方形的边长是有理数吗？解：（1）如图所示。（2）这些大正方形一样大，面积都是5；（3）这些大正方形的边长不是有理数。第2课时认识实数（2）1.事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。2.无限不循环小数称为无理数。3.有理数和无理数统称为实数。4.事实上，每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。也就是说，实数和数轴上的点是一一对应的。无理数的定义【例1】下列各数中哪些是有理数？哪些是无理数？哪些是正分数？哪些是负整数？0.0213，0.07，－13，0，－3.1415926，－6.2·31·，－32，－5，0.313131…，π3，－0.121121112…（有理数：0.0213，0.07，－13，0，－3.1415926，－6.2·31·，－32，－5，0.无理数：π3，－0.121121112…（每相邻两个2之间依次多一个1正分数：0.0213，0.07，－13，0.313负整数：－32，－5。归纳总结有理数和无理数的区别：（1）无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数；（2）有理数可化为分数，无理数不能化为分数。▶跟踪训练1.把下列各数填入表示它所在的数集的大括号里：－227，π，－0.212112…（每相邻两个2之间依次增加一个1），0，－（－2.28），－－4，0.151515正数集合：{π，－（－2.28），0.15151515…，…}；负有理数集合：{－227，－－4，…整数集合：{0，－－4，…}无理数集合：{π，－0.212112…（每相邻两个2之间依次增加一个1）…}。用数轴上的点表示无理数【例2】如图，在数轴上找出表示3的点A，则OA＝3，过点A作直线l垂直于OA，在直线l上取点B，使AB＝2，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点为C，设点C表示的实数为m，则m2＝13。归纳总结在数轴上画表示无理数的点：先依据勾股定理，通过构造直角三角形来得到长度为无理数的线段，再以原点为圆心，上述线段长为半径画弧，弧与数轴的交点便是表示无理数的点。▶跟踪训练2.如图，半径为1的圆在数轴上滚动，开始在数轴上点A处，向右滚动一周至点B处。若点A对应的数是－3，则点B对应的数是2π－3。1.下列说法正确的是（B）A.所有无限小数都是无理数 B.所有无理数都是无限小数C.有理数都是有限小数 D.不是有限数的数不是有理数2.和数轴上的点一一对应的数是（D）A.整数 B.有理数 C.无理数 D.实数3.如图，数轴上两点M，N所表示的实数分别为m，n，则m－n的结果可能是（C）A.－1 B.1 C.2 D.34.下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？－559180，3.97·，－234.10101010…（每相邻两个1之间有1个0），0.123451010010001…（每相邻两个1之间依次多1个有理数：－559180，3.97·，－234.10101010…（每相邻两个1之间有1个无理数：0.123451010010001…（每相邻两个1之间依次多一个0）。5.如图，面积为4的正方形ABCD的边AB在数轴上，且点B表示的数为1。将正方形ABCD沿着数轴水平移动，移动后的正方形记为A'B'C'D'，点A，B，C，D的对应点分别为A'，B'，C'，D'，移动后的正方形A'B'C'D'与原正方形ABCD重叠部分图形的面积记为S。当S＝1时，数轴上点B'表示的数是多少？点B'表示的数为－0.5或2.5。1.下列各数中，无理数有（A）①0.4583；②3.967·；③－π；④－17；⑤A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.已知实数a，b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（C）A.ab＞0 B.a－b＜0 C.a＞－b D.a＜b3.若数轴上的A，B，C三点表示的实数分别为a，1，－1，则a+1表示（BA.A，B两点间的距离 B.A，C两点间的距离C.A，B两点到原点的距离之和 D.A，C两点到原点的距离之和4.如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A，B，C把数轴分成了①②③④四部分，点A，B，C对应的实数分别是a，b，c。已知ab＜0，则原点在（B）A.第①部分 B.第②部分C.第③部分 D.第④部分5.下列命题：①无理数的相反数是无理数；②有理数都是有限小数；③有限小数都是有理数；④无理数都是无限小数；⑤实数与数轴上的点一一对应；⑥没有最大的负实数，但有最小的正实数。其中是假命题的有②⑥。（填序号）6.如图，在数轴上作一个5×5的正方形网格，以点O为圆心，涂色正方形的边长AO为半径画弧，交数轴的正半轴于点B，设点B对应的实数为n，则n2＝13。7.把下列各数的序号填在相应的大括号内：①－2.5；②－0.15··；③0；④8；⑤－45；⑥π2；⑦53；⑧－0.5252252225…（每相邻两个5之间依次增加（1）正数集合：{④⑥⑦…}；（2）负分数集合：{①②⑤…}；（3）整数集合：{③④…}；（4）无理数集合：{⑥⑧…}。8.在数轴的正半轴上找出一个点A，使该点对应的实数a满足a2＝10，保留必要的作图痕迹（不写作法）。实数a对应的点如图所示：9.如图，点A为数轴上一点，对应的实数为a。若－a＜b＜a－1，请写出一个符合条件的整数b的值：－2（答案不唯一）。第9题图10.如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示－1的点重合，将圆沿数轴滚动1周，点A到达点A'的位置，则点A'表示的数是－π－1或π－1。第10题图11.如图所示，已知OA＝OB，OC＝3，BC＝2，则点A所表示的数＜－3.5。（填“＞”或“＜”）第11题图12.如图，4×4方格中每个小正方形的边长都为1。（1）设图1中正方形ABCD的边长为a，则a2＝2；（2）在图2的4×4方格中画一个面积为8的正方形；如图所示，正方形OPQR即为所求正方形；（3）把图2中的数轴补充完整，再用圆规在数轴上找出一个点M，使该点对应的正实数b满足b2＝8。如图，点M即为所求的点。13.小明把两个面积为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形，如图1所示。设大正方形的边长为x，则x2＝2，从而判断x为无理数。（1）小刚受到小明的启发，把图2中每个面积为1的5个小正方形剪拼成图3后，得到y2＝5，其中y为所拼的大正方形的边长，从而判断y为无理数。请你在图2中画出裁剪线（用实线表示）。解：（1）如图1中的实线即为裁剪线；（2）参考小明、小刚的方法，请你将图4中长为5、宽为2的长方形裁剪成若干块，拼成一个大正方形。①求该大正方形的边长z所满足的条件；②请在图4中画出一种满足①中条件的裁剪线（用实线表示）。解：（2）①因为拼成一个面积为10的大正方形，所以大正方形的边长z满足z2＝10；②如图2中的实线为裁剪线，拼成的大正方形如图3。第2节平方根与立方根第1课时平方根与立方根（1）1.一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x就叫作a的算术平方根，记作a，读作“根号a”。特别地，我们规定：0的算术平方根是0，即0＝0。2.当a≥0时，a2＝a，（a）2＝a；当a＜0时，a2＝－a算术平方根的计算【例1】求下列各数的算术平方根：（1）11；11。（2）225；15。（3）0.81；0.9。（4）1211441112（5）（－4）2。4。归纳总结求算术平方根的方法：（1）借助平方运算，求一个非负数的算术平方根；（2）若被开方数为带分数或含有运算，应将其化为假分数或进行整理；（3）开方开不尽的，算术平方根带根号。▶跟踪训练1.求下列各式的值：（1）49；7。（2）25196514（3）0.0.3。（4）－64。－8。运用a2和（a）2的性质【例2】化简下列各式：（1）25；5。（2）（2025）2025。（3）22025。（4）（－2.478。归纳总结在式子a2中，a的取值范围是全体实数，运用a2＝a化简时，一定要先判断出a的符号，然后才能化简。在式子a中，a的取值范围是a≥0，故（a）2＝▶跟踪训练2.化简下列各式：（1）1313。（2）（－25。（3）144；12。（4）（15）2。15。利用算术平方根的非负性求值【例3】若a－3＋（b＋5）2＋c+1＝0，求代数式－解：因为a－3≥0，（b＋5）2≥0，c+1≥0，所以a－3＝0，b＋5＝0，c＋1＝0。所以a＝3，b＝－5，c＝－1。所以－ab＋c＝－3归纳总结“几个非负数和为0”型问题的解题步骤：（1）令：令每一个非负数为0；（2）定：确定各字母的值；（3）代：代入所求的代数式；（4）求：求代数式的值。▶跟踪训练3.已知2x－4＋x+2y－10＝0，运用算术平方根解决实际问题【例4】如图，用R表示足球的半径，球的表面积公式为S＝4πR2，如果做一个足球需要的橡胶布的面积为1936πcm2，那么这个足球的半径R应为多少？解：由题意，得4πR2＝1936π，因为R＞0，所以R＝22。即这个足球的半径R是22cm。归纳总结掌握算术平方根的定义是解决实际问题的基础，在解答过程中，有时会涉及整式的化简求值和“π”的运算，要熟练运用。▶跟踪训练4.全球气候变暖导致一些冰川融化并消失。在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长，且会长成近似圆形，苔藓的直径和其生长年限近似地满足如下的关系式：d＝7×t－12（t≥12）。其中d代表苔藓的直径（单位：cm），t代表冰川消失的时间（单位：（1）计算冰川消失16年后苔藓的直径；冰川消失16年后苔藓的直径为14cm。（2）如果测得一些苔藓的直径是35cm，问：冰川约是在多少年前消失的？冰川约是在37年前消失的。1.下列运算正确的是（C）A.4＝±2 B.52＝±5C.（－7）D.－3＝－2.化简：（－2）2A.±2 B.－2 C.4 D.23.有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x为64时，输出的y是（A）A.8 B.18 C.12 D.84.求下列各数的算术平方根：（1）121；11。（2）96438（3）0.01；0.1。（4）72。7。1.下列语句写成数学式子正确的是（B）A.9是81的算术平方根：±81＝9 B.5是（－5）2的算术平方根：（－5C.±6是36的算术平方根：36＝±6 D.－2是－4的算术平方根：－4＝－2.若一个正数的算术平方根是a，则比这个正数大3的数的算术平方根为（D）A.a＋3 B.a2＋3 C.a＋3 D.a3.若实数x，y满足2x－1＋y－1＝0，则x＋A.1 B.32 C.2 D.4.若用一个x的值说明“x2＝x”是错误的，则x的值可以是－2（答案不唯一，x取值小于0即可）5.已知36＝x，y＝3，z是16的算术平方根，则2x＋y－5z的值为1。6.若（a－5）2＋b－12＋（c－13）2＝0，请判断以a，b以a，b，c为三边的△ABC是直角三角形。7.若一个自然数的算术平方根为a，则与这个自然数相邻的下一个自然数是（B）A.a＋1 B.a2＋1 C.a2+1 D.a8.若a是2025的算术平方根，则2025100的算术平方根是A.a10 B.aC.±a10 D.9.观察表格并回答下列问题。a（a＞0）…0.00010.01110010000…a…0.01x1y100…（1）表格中，x＝0.1，y＝10。（2）①已知6≈2.45，则0.06≈0.245②已知0.0012≈0.03464，2m≈34.64解：②因为0.0012≈0.03464，2m所以根据表格中数据总结规律可知，0.03464的小数点向右移动了3位得到34.64，所以由上述表格可知被开方数0.0012小数点需要向右移动6个单位得到2m，所以0.0012×106＝2m，解得m＝600，所以m的值为600。10.已知x，y互为倒数，c，d互为相反数，a的绝对值为3，m的算术平方根是1。求2025（c＋d）＋2025xy－2022或2028。11.已知x，y满足x－4＋y－8＝0，求以x20。12.观察：2－25＝225，3－310＝3（1）6－66637（2）写出第8个等式。9－982＝（3）写出符合这一规律的一般等式。（用字母n表示，n为自然数，且n≥2）n－nn2+1＝nnn2+1（第2课时平方根与立方根（2）1.一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x就叫作a的平方根（也叫作二次方根）。2.一个正数有两个平方根，若这个正数是a，这两个平方根合起来可以记作±a，读作“正、负根号a”；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。3.求一个数a的平方根的运算，叫作开平方，a叫作被开方数。平方根的计算【例1】求下列各数的平方根：（1）81；±9。（2）10049±107（3）0.0009；±0.03。（4）（－15）2；±15。（5）17。±17。归纳总结求一个数的平方根是利用平方运算和开平方互为逆运算来求的，但应记住：一个正数一定有互为相反数的两个平方根；0只有一个平方根，是它本身；负数没有平方根。任何数的平方都是非负数。▶跟踪训练1.求下列各数的平方根：（1）169；±13。（2）10；±10。（3）1649±47（4）94±32（5）18。±18。平方根与算术平方根的综合应用【例2】已知7－3m＋（n－5）2＝3m－7－4m－3，则m＋2n的平方根为归纳总结算术平方根和平方根的区别类型算术平方根平方根区别个数不同正数的算术平方根只有一个正数有两个平方根表示方法不同a±a取值范围不同正数或0一正一负或都为0▶跟踪训练2.已知3a－1的算术平方根是2，2是3a＋b－1的一个平方根，求a＋2b的平方根。a＋2b的平方根是±5。1.下列说法正确的是（A）A.－1是1的一个平方根 B.两个无理数的和一定是无理数C.无限小数是无理数 D.0没有算术平方根2.下列式子中，正确的是（C）A.36＝±6 B.－36＝－C.36＝6 D.±36＝63.若m与m－2是同一个正数的两个平方根，则m的值为（C）A.－2 B.－1 C.1 D.24.若（a－1）2与b+1互为相反数，则a2026－b25.如果a的平方根等于±2，那么a＝16。1.3的平方根是（D）A.3 B.±3 C.3 D.±32.下列说法中，正确的是（C）A.4是8的算术平方根 B.16的平方根是4C.6是6的平方根 D.－a没有平方根3.下列各式中，正确的是（B）A.（－3）2＝－3 B.－C.（±3）2＝±3 D.4.若ab＝－1，则当a＝25时，b的值为（A）A.－15 B.15 C.125 5.若a－3是16的平方根，则a的值为7或－1。6.求下列各式中x的值：（1）x2＝25；x＝±5。（2）3x2－15＝0；x＝±5。（3）2（x＋1）2－8＝0。x＝1或x＝－3。7.若a是（－4）2的平方根，b的一个平方根是2，则代数式a＋b的值为（C）A.8 B.0 C.8或0 D.4或－48.已知x，y为实数，且y＝1－8x＋8x－1＋12，则9.若一个正数a的平方根是3x－2和5x＋6，则a＝49410.在Rt△ABC中，∠C＝90°，c为斜边，a，b为直角边，则化简（a－b＋c）2－2c－a－b的结果为11.如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a＋a2－4a+412.若m是121的算术平方根，n是169的平方根，求：（1）m＋n的值；24或－2；（2）（m＋n）2的平方根。±24或±2。13.已知x＝1－a，y＝2a－5，且x≠y。（1）如果x的算术平方根为3，求a的值及x＋y＋16的平方根；a＝－8，x＋y＋16的平方根为±2。（2）如果x，y是同一个数的平方根，求这个数。9。14.小华学习了《实数》一章后，进行了如下探究：①（4×9）2＝4×9＝36，（4×9）2＝（4）2×（9）2＝4×9＝36，4×9和4×9都是36的算术平方根，而36的算术平方根只有一个，所以4×9＝4×9。②（25×16）2＝25×16＝400，（25×16）2＝（25）2×（16）2＝25×16＝400，25×16和25×16都是400的算术平方根，而400的算术平方根只有一个，所以＝。（1）请仿照①帮助小华完成②的填空。（2）猜想当a≥0，b≥0时a，b，ab之间有怎样的数量关系，并举例验证你的猜想。（3）运用以上结论，计算49×144－81×121。解：（1）25×1625×16（2）猜想ab＝a·b。举例：（9×16）2＝9×16＝144，（9×16）2＝（9）2×（16）2＝9×16＝144，所以9×16＝9×16。（举例不唯一）（3）原式＝49×144－81×121＝7×12－9×11＝84－99＝－15。第3课时平方根与立方根（3）1.一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x就叫作a的立方根（也叫作三次方根）。2.每个数a都有一个立方根，记作3a，读作“三次根号a”。正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数3.求一个数a的立方根的运算叫作开立方，a叫作被开方数。4.性质：（3a）3＝a；3a3＝立方根的计算【例1】求下列各数的立方根：（1）0.001；0.1。（2）－1；－1。（3）－1216－16（4）8000；20。（5）82723（6）－512。－8。归纳总结（1）立方根的符号和被开方数的符号一致；（2）求一个带分数的立方根时，必须将带分数化为假分数。▶跟踪训练1.化简下列各式：（1）－30－0.4。（2）3－－8。（3）－3－2。（4）－3（5。（5）（3－6）－6。立方根与平方根的综合应用【例2】已知5a＋2的立方根是3，3a＋b－1的算术平方根是4，c是11的整数部分。（1）求a，b，c的值；（2）求3a－b＋c的平方根。解：（1）因为5a＋2的立方根是3，3a＋b－1的算术平方根是4，所以5a＋2＝27，3a＋b－1＝16，所以a＝5，b＝2。因为3＜11＜4，c是11的整数部分，所以c＝3。（2）3a－b＋c＝15－2＋3＝16，16的平方根是±4。归纳总结平方根是开二次方根，立方根是开三次方根，注意问题中隐含条件的作用，熟记平方根与立方根的性质及公式是解题的关键，明确算术平方根和立方根的意义及其表示方法，特别是求字母的值必须满足算术平方根的被开方数为非负数，否则求出的值无意义。▶跟踪训练2.已知实数a＋9的一个平方根是－5，2b－a的立方根是－2。（1）求a，b的值；a＝16，b＝4。（2）求2a＋b的立方根。2a＋b的立方根是336利用立方根解决实际问题【例3】小颖在爸爸的建议下，准备动手制作一个大鸟笼，请你按照下列方案解决问题。（1）如果做一个体积大约为0.125m3的正方体鸟笼，那么这个鸟笼的棱长为多少？（2）如果这个正方体鸟笼的体积为0.729m3，那么这个鸟笼的棱长是多少？解：（1）设鸟笼的棱长为am。根据题意可知a3＝0.125，解得a＝0.5。（2）当正方体鸟笼的体积为0.729m3时，可知a3＝0.729，解得a＝0.9。归纳总结在解决实际问题时，经常需设未知数x，但由于之前只学过一元一次方程，所以遇到二次或三次方程时，只能用平方根或立方根的定义来求解，即若x2＝a，则x＝±a；若x3＝a，则x＝3a▶跟踪训练3.一个正方体的体积是棱长为3cm的正方体体积的8倍，这个正方体的棱长是多少？这个正方体的棱长是6cm。1.下列说法正确的是（C）A.4是16的算术平方根，即±16＝4 B.－3是27的立方根C.64的立方根是2 D.1的立方根是－12.若－b是a的立方根，则下列结论正确的是（A）A.－b3＝a B.－b＝a3 C.b＝a3 D.b3＝a3.16的平方根与－8的立方根之和是（D）A.0 B.－4 C.4 D.0或－44.已知一个正方体的体积是1000cm3，现要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去后余下部分的体积是488cm3。（1）截去的每个小正方体的棱长是多少？截去的每个小正方体的棱长是4cm。（2）截完后余下部分的表面积是多少？截完余下部分的表面积是600cm2。1.下列说法正确的是（C）A.0.8的立方根是0.2 B.1的立方根是±1C.－1的立方根是－1 D.－125没有立方根2.下列结论正确的是（D）A.9的平方根是3 B.－18C.立方根等于本身的数是0 D.3－643.－27的立方根与81的平方根之和是（C）A.6 B.0 C.0或－6 D.6或－64.若a3＝－8，则a的绝对值是（A）A.2 B.－2 C.12 D.－5.（1）若33x－1＝2，则x＝（2）若x＝（3－5）3，则－x－16.若a≠0，则（－3a）3a7.计算：38＋0－1328.把一个长为6cm、宽为4cm、高为9cm的长方体铁块锻造成一个正方体铁块，求锻造后正方体铁块的棱长。锻造后正方体铁块的棱长为6cm。9.已知一个正数的两个平方根分别为3a－5和7－a，则这个正数的立方根是（A）A.4 B.3 C.2 D.110.已知3x－1＝x－1，则x2＋x的值为A.0或1 B.0或2 C.0或6 D.0或2或611.观察下列各式解决问题：（1）已知15≈3.873，1.5≈1.225，则150≈12.25（2）已知310≈2.154，3γ≈0.2154，则γ＝0.0112.已知M＝m－4m+3是m＋3的算术平方根，N＝2m－4n+3n－2M－N的平方根是±2。13.第一个等式：312－1＝－312；第二个等式：329－33328；……根据所给式子的规律，第n个等式为3nn3+1－n＝－n3n第4课时平方根与立方根（4）比较无理数的大小有两种方法：一是取近似值进行比较；二是将两个数同时平方或立方进行比较。值得注意的是比较两个负数的大小时，绝对值大的反而小。估算无理数的近似数【例1】估算下列无理数：（1）13.6（结果精确到0.3.7。（2）32