15.2.2坐标上的轴对称 课件 2025-2026学年人教版数学八年级上册

幻灯片1：封面标题：15.2.2坐标上的轴对称副标题：数字与图形共舞，探索对称新篇背景图：在平面直角坐标系中，绘制一个关于y轴对称的简单图形（如直角三角形，直角顶点在y轴上），坐标系网格线清晰可见，突出“坐标”与“轴对称”的融合主题。幻灯片2：学习目标理解平面直角坐标系中，点关于x轴、y轴对称的坐标变化规律，能准确写出已知点关于坐标轴的对称点坐标。掌握简单平面图形（如三角形、四边形）顶点坐标的变化规律，进而画出其关于x轴、y轴的轴对称图形。能运用坐标上的轴对称知识，解决生活中的实际问题（如地图上对称地点的坐标确定），体会数学与生活的紧密联系。通过观察、归纳、验证坐标变化规律的过程，培养逻辑推理与数学抽象能力。幻灯片3：导入——生活中的“坐标对称”生活情境：展示城市地图，标注出一条河流（看作x轴），河流两岸有两个对称分布的公园A、B，提问：若已知公园A在地图坐标系中的坐标，如何确定公园B的坐标？（引导学生思考点在关于x轴对称时坐标的变化）。知识回顾：回顾平面直角坐标系的构成（横轴x、纵轴y、原点O）以及点的坐标表示方法（有序数对(x,y)），提问：在坐标系中，一个点的位置由什么决定？（横坐标x和纵坐标y），为探究坐标上的轴对称做铺垫。幻灯片4：点关于x轴对称的坐标规律探究活动：在平面直角坐标系中，画出点A(2,3)，过点A作x轴的垂线，垂足为M。思考1：点A到x轴的距离是多少？（3个单位长度，即纵坐标的绝对值）。思考2：若点A关于x轴对称的点为A'，那么A'到x轴的距离是多少？（同样是3个单位长度）。思考3：A'的横坐标与A的横坐标有什么关系？纵坐标呢？动画演示：将点A沿x轴折叠，得到对称点A'，展示折叠过程，测量A与A'的坐标（A(2,3)，A'(2,-3)）。归纳总结：点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y)，即横坐标不变，纵坐标互为相反数。验证练习：给出点B(-1,4)、C(3,-2)，让学生口答它们关于x轴的对称点B'、C'的坐标（B'(-1,-4)，C'(3,2)）。幻灯片5：点关于y轴对称的坐标规律类似探究：在坐标系中画出点P(-3,2)，过点P作y轴的垂线，垂足为N。思考1：点P到y轴的距离是多少？（3个单位长度，即横坐标的绝对值）。思考2：点P关于y轴对称的点P'到y轴的距离是多少？（也是3个单位长度）。思考3：P'的横坐标与P的横坐标有什么关系？纵坐标呢？动画展示：将点P沿y轴折叠得到P'，测量坐标（P(-3,2)，P'(3,2)）。总结规律：点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y)，即纵坐标不变，横坐标互为相反数。巩固练习：已知点Q(4,1)、R(-2,-3)，写出它们关于y轴的对称点Q'、R'的坐标（Q'(-4,1)，R'(2,-3)）。幻灯片6：画简单图形（三角形）关于x轴的轴对称图形已知条件：在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(1,2)、B(3,4)、C(5,1)，求作△ABC关于x轴的轴对称图形△A'B'C'。作图思路：根据点关于x轴对称的坐标规律，求出A、B、C三点关于x轴的对称点A'、B'、C'的坐标，再顺次连接这三个对称点。计算过程：点A(1,2)关于x轴的对称点A'(1,-2)。点B(3,4)关于x轴的对称点B'(3,-4)。点C(5,1)关于x轴的对称点C'(5,-1)。作图步骤：在坐标系中标出A'(1,-2)、B'(3,-4)、C'(5,-1)。用直尺顺次连接A'、B'、B'、C'、C'、A'，得到△A'B'C'。性质验证：测量△ABC与△A'B'C'的对应边长度（AB与A'B'、BC与B'C'、AC与A'C'），发现对应边相等；测量对应角（∠A与∠A'、∠B与∠B'、∠C与∠C'），发现对应角相等，符合轴对称图形性质。幻灯片7：画简单图形（四边形）关于y轴的轴对称图形已知条件：四边形DEFG的顶点坐标为D(-2,3)、E(-4,1)、F(-1,-2)、G(1,0)，求作其关于y轴的轴对称图形D'E'F'G'。解题步骤：求对称点坐标：点D(-2,3)关于y轴的对称点D'(2,3)。点E(-4,1)关于y轴的对称点E'(4,1)。点F(-1,-2)关于y轴的对称点F'(1,-2)。点G(1,0)关于y轴的对称点G'(-1,0)。在坐标系中标出D'、E'、F'、G'。按顺序连接D'、E'、E'、F'、F'、G'、G'、D'，得到四边形D'E'F'G'。特殊情况：若图形的边与坐标轴平行（如四边形DEFG中EF平行于x轴），其对称边（E'F'）也平行于x轴，且对应边长度相等，强调利用图形与坐标轴的位置关系简化作图。幻灯片8：复杂图形（含曲线）在坐标上的轴对称已知条件：在平面直角坐标系中有一半圆形，圆心坐标为(0,0)，半径为2，其方程为\(y=\sqrt{4-x^{2}}\)（\(y\geq0\)），对称轴为y轴，求作其轴对称图形。作图思路：对于曲线图形，先在曲线上取多个关键点，根据坐标轴对称规律求出对称点，再用平滑曲线连接对称点。取关键点：在半圆上取点A(-2,0)、B(-1,\(\sqrt{3}\))、C(0,2)、D(1,\(\sqrt{3}\))、E(2,0)。求对称点：点A(-2,0)关于y轴的对称点A'(2,0)。点B(-1,\(\sqrt{3}\))关于y轴的对称点B'(1,\(\sqrt{3}\))。点C(0,2)的对称点C'(0,2)（在对称轴上，对称点与自身重合）。点D(1,\(\sqrt{3}\))关于y轴的对称点D'(-1,\(\sqrt{3}\))。点E(2,0)关于y轴的对称点E'(-2,0)。描点连线：在坐标系中标出A'、B'、C'、D'、E'，用平滑曲线连接，得到完整圆形（符合半圆关于y轴对称的性质）。生活应用：展示地图上以河流（y轴）为对称轴的对称区域（如城市的两个对称城区，有不规则边界，类似含曲线图形），说明如何用此方法确定对称区域的坐标边界，体现坐标轴对称在实际中的应用。幻灯片9：坐标上轴对称的易错点与技巧易错点1：坐标符号混淆：错误表现：求点关于x轴或y轴对称点坐标时，记错横、纵坐标的变化规律，如将点(3,-4)关于x轴的对称点错写为(-3,-4)。纠正方法：牢记“关于x轴对称，横不变纵相反；关于y轴对称，纵不变横相反”，可通过多画坐标系、多练习简单点的对称点坐标来强化记忆。易错点2：图形顶点顺序混乱：错误表现：画多边形关于坐标轴的轴对称图形时，连接对称点顺序错误，导致图形变形，如原四边形顶点顺序为A→B→C→D，连接对称点时错连为A'→C'→B'→D'。预防方法：在原图顶点旁标注顺序（1、2、3…），对称点旁标注对应序号（1'、2'、3…），按序号顺序连接。技巧分享：对于关于x轴对称的图形，可将原图形沿x轴“翻转”想象，辅助确定对称点位置。若图形有顶点在坐标轴上，其对称点位置较易确定（在x轴上的点关于x轴对称点是本身，关于y轴对称点横坐标变号；在y轴上的点反之），可先确定这些特殊点，再找其他点的对称点。幻灯片10：课堂练习——分层提升基础练习1：已知点P(5,-3)，求点P关于x轴、y轴的对称点P₁、P₂的坐标（学生独立完成，教师随机提问回答）。基础练习2：在平面直角坐标系中，已知线段AB，A(2,1)，B(4,3)，求作线段AB关于y轴的轴对称图形A'B'（学生在练习本上画图，教师巡视指导，展示学生作品并点评）。提升练习3：已知△MNO，M(-1,2)、N(0,4)、O(2,1)，画出△MNO关于x轴的轴对称图形△M'N'O'，并计算△MNO与△M'N'O'的面积（强调面积计算方法，巩固图形轴对称与面积知识）。拓展练习4：给出一个由直线和曲线组成的不规则图形（类似公园地图轮廓）在坐标系中的部分图形及对称轴（x轴），小组合作补全完整的轴对称图形，并标注关键顶点坐标（培养学生合作能力与解决复杂问题能力）。幻灯片11：课堂小结核心规律：点(x,y)关于x轴对称的点为(x,-y)，关于y轴对称的点为(-x,y)。画图形关于坐标轴的轴对称图形，关键是求出图形顶点（或关键点）的对称点坐标，再按顺序连接。解题流程：确定图形类型（点、简单图形、复杂图形）→分析对称轴（x轴或y轴）→根据规律求关键点对称点坐标→在坐标系中标出对称点→连接对称点得到轴对称图形。知识关联：坐标上的轴对称与之前学的平面直角坐标系、点的坐标、图形的轴对称性质紧密相关，是用代数方法（坐标）研究几何图形（轴对称）的重要体现。幻灯片12：课后作业教材习题：完成教材中3道关于坐标轴对称的基础题目，包括求点的对称点坐标、画简单图形的轴对称图形，要求写出详细计算过程与作图步骤。实践作业：观察家里的物品（如书架、窗户），以房间的墙面交线（可看作坐标轴）为对称轴，画出物品在坐标系中的一半图形，再补全完整的轴对称图形，标注至少3个关键点坐标，并说明作图思路。拓展作业：设计一个在平面直角坐标系中的城市规划草图，包含住宅区、商业区、公园等区域，使整个规划图关于x轴或y轴对称，标注各区域关键地点坐标，阐述设计理念中如何运用坐标轴对称知识实现布局的合理性与美观性。2024人教版数学八年级上册授课教师：

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15.2.2坐标上的轴对称第十五章

轴对称aiTujmiaNg如图，是一幅老北京城的示意图，其中西直门和东直门是关于中轴线对称的.如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为x轴和y轴建立平面直角坐标系.根据如图所示的东直门的坐标（3.5，4），你能说出西直门的坐标吗？新课导入已知点A和一条直线MN，你能画出这个点关于已知直线的对称点吗?AMNO平面直角坐标系中的轴对称知识点问题1：新课讲解AA′MN∴A′就是点A关于直线MN的对称点.O（2）延长AO至A′,使OA′=AO.（1）过点A作AO⊥MN，垂足为点O.新课讲解xyO如图，在平面直角坐标系中你能画出点A关于x轴的对称点吗?A(2,3)A′(2,–3)你能说出点A与点A'坐标的关系吗？问题2：新课讲解xyO在平面直角坐标系中画出下列各点关于x轴的对称点.C(3,–4)C'(3,4)B(–4,2)B

'(–4,–2)(x,y)关于x轴对称(,)x–y做一做:新课讲解关于x轴对称的点的坐标的特点是:横坐标相等,纵坐标互为相反数.（简称：横同纵反）归纳总结新课讲解练一练1.点P(–5,6)与点Q关于x轴对称，则点Q的坐标为__________.2.点M(a,–5)与点N(–2,b)关于x轴对称，则a=_____,b=_____.(–5,–6)–25新课讲解如图，在平面直角坐标系中你能画出点A关于y轴的对称点吗?xyOA(2,3)A′(–2,3)你能说出点A与点A'坐标的关系吗？问题3：新课讲解xyO在平面直角坐标系中画出下列各点关于y轴的对称点.C(3,–4)C'(3,4)B(–4,2)B

'(–4,–2)(x,y)关于y轴对称(,)–xy做一做:新课讲解关于y轴对称的点的坐标的特点是:横坐标互为相反数,纵坐标相等.（简称：横反纵同）归纳总结新课讲解练一练1.点P(–5,6)与点Q关于y轴对称，则点Q的坐标为__________.2.点M(a,–5)与点N(–2,b)关于y轴对称，则a=_____,b=_____.(5,6)2–5新课讲解例1

如图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(–5,1),B(–2,1),C(–2,5),D(–5,4),分别画出与四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形.xyABCDA′′B′′C′′D′′A′B′C′D′O在平面直角坐标系内作轴对称图形新课讲解方法点拨

对于这类问题,只要先求出已知图形中的一些特殊点(如多边形的顶点)的对称点的坐标,描出并连接这些点,就可以得到这个图形的轴对称图形.

(一找二描三连）新课讲解平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（0,4），B（2,4），C（3，–1）.（1）试在平面直角坐标系中，标出A、B、C三点；（2）若△ABC与△A'B'C'关于x轴对称，画出△A'B'C'，并写出A'、B'、C'的坐标.新课讲解解：如图所示：xyOA(0,4)B(2,4)C(3,–1)A'(0,–4)B'(2,–4)C'(3,1)新课讲解例2

已知点A(2a–b，5＋a)，B(2b–1，–a＋b)．(1)若点A、B关于x轴对称，求a、b的值；(2)若A、B关于y轴对称，求(4a＋b)2016的值．新课讲解利用轴对称在平面直角坐标系内求字母的值解：(1)∵点A、B关于x轴对称，∴2a–b＝2b–1，5＋a–a＋b＝0，解得a＝–8，b＝–5；(2)∵A、B关于y轴对称，∴2a–b＋2b–1＝0，5＋a＝–a＋b，解得a＝–1，b＝3，∴(4a＋b)2016＝1.解决此类题可根据关于x轴、y轴对称的点的特征列方程(组)求解．新课讲解已知点A(2a＋3b，–2)和点B(8，3a＋2b)关于x轴对称，则a＋b＝

．若M(a，–

)与N(4，b)关于y轴对称，则a，b的值分别为

，MN＝

．2–4，8新课讲解利用轴对称在平面直角坐标系内求字母的取值范围例3已知点P(a＋1，2a–1)关于x轴的对称点在第一象限，求a的取值范围．新课讲解解：依题意得点P在第四象限，解得