九年级数学-第3课时　坡度问题

第一章直角三角形的边角关系5三角函数的应用第3课时坡度问题

1.

如图，斜坡AB的坡度为i，倾斜角（坡角）为α，AC

为水平距离，BC为垂直距离，则有i＝tanα＝

.

2.

坡度是一个比值，即斜坡上某一点到底面的垂直距离

与水平距离的比，也称为

坡比

.坡比

坡角与坡度【例1】沿江大堤经过改造后的某处横断面为如图所示的

梯形ABCD，高DH＝12

m，斜坡CD的坡度i＝1∶1.此处大堤的正上方有高压电线穿过，PD表示高压线上的点与堤面AD的最近距离（点P，D，H在同一直线上），在点C处测得∠DCP＝26°.（1）求斜坡CD的坡角α；解：（1）由题意知斜坡CD的坡度i＝1∶1，∴tanα＝DH∶CH＝1∶1＝1，∴α＝45°.即斜坡CD的坡角α为45°.（2）电力部门要求此处高压线离堤面AD的安全距离不低

于18

m，此次改造是否符合电力部门的安全要求？（参考

数据：sin26°≈0.44，tan26°≈0.49，sin

71°≈0.95，tan71°≈2.90）

在坡度问题中，求坡角的度数就是利用正切，当坡

度为特殊值时，坡角为特殊角，所以要熟记30°，45°

和60°的特殊三角函数值；若坡度的比值不为特殊值，

需借助科学计算器进行计算.

综合运用【例2】实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动.有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线MN的距离皆为100

cm.小明观测到高度90

cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72

cm，而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示.已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线MN互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度i＝1∶0.75，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题：（1）若小明的身高为150

cm，且此刻他的影子完全落在

地面上，则他的影子长为多少？

（2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面

一定同在一个垂直于地面的平面内.请直接回答这个猜想

是否正确.解：（2）正确.∵高圆柱在地面的影子与MN垂直，∴太阳光的光线与MN垂直，则在斜坡上的影子也与MN垂直，则过斜坡上的影子的横截面与MN垂直，而横截面与地面垂直，高圆柱也与地面垂直，∴高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内.（3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为100

cm，则高圆柱的高度为多少？解：（3）如图，AB为高圆柱，AF为太阳光，△CDE为

斜坡，CF为圆柱在斜坡上的影子.如图，过点F作FG⊥CE于点G，由题意，得BC＝100cm，CF＝100cm.

设FG＝4kcm，CG＝3kcm，在△CFG中，由勾股定理，得（4k）2＋（3k）2＝1002，解得k＝20，∴CG＝60cm，FG＝80cm，∴BG＝BC＋CG＝160（cm）.再过点F作FH⊥AB于点H.

由题意知同一时刻，90cm矮圆柱的影子落在地面上，其

长为72cm，FG⊥BE，AB⊥BE，FH⊥AB.

本例具有一定的综合性，涉及平行投影、勾股定理

及相似三角形，也包含方程思想和数形结合思想，这样

的例题需要熟练掌握相关知识点，并巧妙结合使用，才

能正确且简洁地解决问题.

A.10

mC.5

m第1题图A2.

如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树

AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下时，在斜

坡上的树影BC长为m，则大树AB的高为（A）第2题图A3.

如图，为了了解山坡上两棵树间的水平距离，数学活

动小组的同学们测得该山坡的倾斜角α＝20°，两树间的

坡面距离AB＝5

m，则这两棵树的水平距离约

为

4.7

m.（结果精确到0.1

m，参考数据：sin20°≈0.342，

cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）4.7第3题图

第4题图（1）求灯杆AB的高度；解：（1）延长BA交CG于点E，如图，则BE⊥CG.

在Rt△ACE中，∠ACE＝30°，AC＝12m，

在Rt△BCE中，∠BCE＝60°，

∴AB＝BE－AE＝18－6＝12（m）.（2）求CD的长度.

第5题图20.62m.

6.

小明去爬山，如图，在山脚看山顶角度为30°，小明

在坡比为5∶12的山坡上走1

300

m，此时小明看山顶的角度

为60°，山高为（B）第6题图B

8.

（河南模拟）如图，AD是土坡AB左侧的一个斜坡，

坡度为55°，村委会在坡底D处建一个高为3

m的平台，

并将斜坡AD改为AC，坡比i＝1∶1，求土坡AB的高度.

（精确到0.1

m，参考数据：sin

55°≈0.82，cos

55°≈0.57，tan

55°≈1.43）第8题图解：过点C作CE⊥AB于点E，如图.设AE＝xm.∵CD⊥BD，AB⊥BD，∴四边形CDBE为矩形.∴BE＝CD＝3m，CE＝DB.

∵斜坡AC的坡比i＝1∶1，∴CE＝AE＝xm.∴AB＝（x＋3）m.

解得x≈6.98，则AB＝x＋3＝9.98≈10.0（m）.答：土坡AB的高度约为10.0m.

9.

某市移动公司为了提升5G网络信号，保证广大市民的

通信质量，临时在坡度为i＝1∶2.4的山坡上加装了信号塔

PQ（如图所示），信号塔底端Q到坡底A的距离为3.9

m.同时为了提醒市民，在距离斜坡底A点4.4

m的水平地面上立了一块警示牌MN.第9题图当太阳光线与水平线成53°角时，测得信号塔PQ落在警示牌上的影子EN长为3

m，则信号塔PQ的高约为（B

）（结果精确到十分位，参考数据：

sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）BA.10.4

mB.11.9

mC.12.9

mD.13.4

m第9题图10.

如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一

块平地.BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB长26

m，斜坡AB

的坡比为12∶5.为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定

对该斜坡进行改造.经地质人员勘测，当坡角不超过50°

时，可确保山体不滑坡.若改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿BC至少向右移

10

m时，才能确保山体不滑坡.（取tan50°＝1.2）10第10题图

（凉山州中考）去年，我国南方某地一处山坡上一座输电