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第三章圆专题八圆中的分类讨论

点与圆的位置关系1.

若点P是☉O所在平面内的一点，到☉O各点最小距离

是1，到☉O的最大距离是7，求该圆的半径.解：分点P在☉O内和点P在☉O外两种情况进行讨论.

（1）

（2）综上可知，该圆的半径为3或4.2.

已知☉O的半径为5，弦AB

＝8，P为直线AB上一点，

PA

＝2，求OP的长.解：分点P在☉O内和点P在☉O外进行讨论.

（1）

如图（2），当点P在☉O外时，过点O作OC⊥AB于点

C，并连接OB.

（2）

圆心与两弦的位置关系

解：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA.

如图（1），当AB，AC在圆心O的同侧时.（1）

∴∠OAB＝30°，同理可得∠OAC＝45°，∴∠BAC＝∠OAC－∠OAB＝45°－30°＝15°.如图（2），当AB，AC在圆心O的异侧时.同理可得

∠OAB＝30°，∠OAC＝45°，∴∠BAC＝∠OAC＋∠OAB＝45°＋30°＝75°.综上所述，∠BAC的度数为15°或75°.（2）4.

已知☉O的半径为13

cm，弦AB∥CD，AB＝24

cm，

CD＝10

cm，求AB与CD之间的距离.

（1）在Rt△OAE中，

在Rt△OCF中，

∴EF＝OF－OE＝12－5＝7（cm）.（1）如图（2）所示，当平行弦AB，CD在点O两侧时，连接

OA，OC，过点O作OE⊥AB于点E，延长EO交CD于点

F，则OF⊥CD.

（2）

在Rt△OAE中，由勾股定理可得OE＝5cm，在Rt△OCF中，由勾股定理，得OF＝12cm，∴EF＝OE＋OF＝17（cm）.综上所述，AB，CD之间的距离为7cm或17cm.（2）

点在圆弧上的位置

（1）

又∵OB＝OC，OD⊥BC，∴∠COD＝60°，∴∠BOC＝120°，

（1）

如图（2）所示，当点A在弦BC所对的劣弧上时，同理，

可求得∠BOC＝120°，（2）

圆心与圆内接三角形的位置6.

已知△ABC内接于☉O，AB＝AC，半径OB＝5

cm，

圆心O到BC的距离为3

cm，求AB的长.解：如图（1），当圆心O在△ABC内时，∵OD⊥BC于点D，∴BD＝CD.

（1）又∵AB＝AC，∴点A，O，D在同一直线上.

（1）

如图（2），当圆心O在△ABC外时，同上可得BD＝4cm.（2）

直线与圆的位置关系7.

已知☉O的半径为3，P是直线l上一点，OP长为5，则

直线l与☉O的位置关系是

相离或相切或

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