河南省焦作市解放区2024-2025学年高三下学期高考第一模拟考试（一模）数学试卷及答案

河南省焦作市解放区2024-2025学年高三下学期高考第一模拟考试（一模）数学试卷及答案考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题要求：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若函数$f(x)=\sinx+\cosx$的图像上存在两点$A$、$B$，且$\angleAOB=90^\circ$，则$\triangleAOB$的周长为：A.$\sqrt{2}$B.$2\sqrt{2}$C.$4\sqrt{2}$D.$6\sqrt{2}$2.已知等差数列$\{a_n\}$的前5项和为15，前10项和为70，求该数列的第15项。A.8B.10C.12D.143.若函数$f(x)=x^3-3x+1$的图像上存在两点$P$、$Q$，且$PQ$的斜率为1，则$\triangleOPQ$的面积为：A.1B.$\frac{1}{2}$C.$\frac{3}{2}$D.34.若复数$z$满足$|z-1|=|z+i|$，则$z$在复平面内的轨迹为：A.圆B.线段C.直线D.点5.若等比数列$\{a_n\}$的前三项为1，3，9，则该数列的公比为：A.1B.3C.9D.276.若函数$f(x)=\lnx+x$的图像上存在两点$M$、$N$，且$MN$的中点为$(2,3)$，则$\triangleOMN$的周长为：A.10B.11C.12D.137.已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=2^n-1$，则该数列的前5项和为：A.31B.63C.127D.2558.若函数$f(x)=\frac{1}{x}$的图像上存在两点$A$、$B$，且$AB$的中点为$(1,1)$，则$\triangleOAB$的面积为：A.1B.$\frac{1}{2}$C.$\frac{3}{2}$D.39.已知等差数列$\{a_n\}$的前4项和为8，公差为2，则该数列的第10项为：A.18B.20C.22D.2410.若函数$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$的图像上存在两点$P$、$Q$，且$PQ$的斜率为1，则$\triangleOPQ$的面积为：A.1B.$\frac{1}{2}$C.$\frac{3}{2}$D.3二、填空题要求：本题共10小题，每小题5分，共50分。1.函数$f(x)=\lnx$的图像上存在两点$A$、$B$，且$A(1,0)$，$B(a,b)$，则$ab=$______。2.已知等差数列$\{a_n\}$的前5项和为15，公差为2，则该数列的第10项为______。3.函数$f(x)=\frac{1}{x}$的图像上存在两点$A$、$B$，且$AB$的斜率为2，则$A$、$B$两点的坐标分别为______。4.已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=2^n-1$，则该数列的前5项和为______。5.函数$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$的图像上存在两点$A$、$B$，且$AB$的斜率为1，则$\triangleOPQ$的面积为______。6.若复数$z$满足$|z-1|=|z+i|$，则$z$在复平面内的轨迹方程为______。7.已知等比数列$\{a_n\}$的前三项为1，3，9，则该数列的公比为______。8.若函数$f(x)=\sinx$的图像上存在两点$A$、$B$，且$\angleAOB=90^\circ$，则$\triangleAOB$的周长为______。9.已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=3^n-1$，则该数列的前5项和为______。10.函数$f(x)=\lnx$的图像上存在两点$A$、$B$，且$A(1,0)$，$B(a,b)$，则$\triangleABP$的面积为______。三、解答题要求：本题共10小题，每小题10分，共100分。1.已知函数$f(x)=x^2-4x+3$，求函数$f(x)$的单调区间。2.已知等差数列$\{a_n\}$的前5项和为15，公差为2，求该数列的前10项和。3.已知函数$f(x)=\sinx$的图像上存在两点$A$、$B$，且$\angleAOB=90^\circ$，求$\triangleAOB$的周长。4.已知复数$z$满足$|z-1|=|z+i|$，求$z$在复平面内的轨迹方程。5.已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=2^n-1$，求该数列的前5项和。6.已知函数$f(x)=\lnx$的图像上存在两点$A$、$B$，且$A(1,0)$，$B(a,b)$，求$\triangleABP$的面积。7.已知等比数列$\{a_n\}$的前三项为1，3，9，求该数列的公比。8.已知函数$f(x)=\frac{1}{x}$的图像上存在两点$A$、$B$，且$AB$的斜率为2，求$A$、$B$两点的坐标。9.已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=3^n-1$，求该数列的前5项和。10.函数$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$的图像上存在两点$A$、$B$，且$AB$的斜率为1，求$\triangleOPQ$的面积。四、解答题要求：本题共10小题，每小题10分，共100分。4.已知函数$f(x)=\frac{x^2}{x-1}$，求证：对于任意实数$x\neq1$，都有$f(x)+f(1-x)=2$。5.已知数列$\{a_n\}$是等比数列，且$a_1=2$，$a_2+a_3=10$，求该数列的通项公式。6.已知函数$f(x)=x^3-6x^2+11x-6$，求函数$f(x)$的极值点和拐点。本次试卷答案如下：一、选择题1.B解析：函数$f(x)=\sinx+\cosx$可以写成$f(x)=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})$，因此函数的振幅为$\sqrt{2}$，周期为$2\pi$。由于$\angleAOB=90^\circ$，所以$OA=OB=\frac{\sqrt{2}}{2}$，因此$\triangleAOB$的周长为$2\sqrt{2}$。2.B解析：等差数列的前5项和为$S_5=5a_1+\frac{5\times4}{2}d=15$，前10项和为$S_{10}=10a_1+\frac{10\times9}{2}d=70$。解得$a_1=1$，$d=2$。第15项$a_{15}=a_1+14d=1+14\times2=29$。3.A解析：设$P(x_1,y_1)$，$Q(x_2,y_2)$，则$PQ$的斜率为$\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=1$。由于$PQ$在函数$f(x)=\sinx+\cosx$上，所以$y_1=\sinx_1+\cosx_1$，$y_2=\sinx_2+\cosx_2$。根据斜率公式，得到$\sinx_2-\sinx_1=x_2-x_1$。由于$\sinx$的周期为$2\pi$，所以$x_2-x_1=2\pi$。因此，$PQ$的长度为$2\pi$，$\triangleOPQ$的面积为$\frac{1}{2}\times\text{底}\times\text{高}=\frac{1}{2}\times2\pi\times1=\pi$。4.C解析：由$|z-1|=|z+i|$可知$z$到点$(1,0)$和点$(0,-1)$的距离相等，因此$z$在复平面上的轨迹是一条垂直于实轴的直线。5.B解析：等比数列的前三项为1，3，9，公比$q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{3}{1}=3$。6.A解析：函数$f(x)=\lnx$的图像上存在两点$M$、$N$，且$MN$的中点为$(2,3)$，则$f(2)=3$，即$\ln2=3$。由于$\ln2$的值小于3，所以不存在这样的点$M$和$N$。7.D解析：数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=2^n-1$，前5项和为$S_5=(2^1-1)+(2^2-1)+(2^3-1)+(2^4-1)+(2^5-1)=31$。8.B解析：函数$f(x)=\frac{1}{x}$的图像上存在两点$A$、$B$，且$AB$的中点为$(1,1)$，则$f(1)=1$，即$\frac{1}{1}=1$。由于$f(x)$在$x=1$处的值为1，所以不存在这样的点$A$和$B$。9.A解析：等差数列的前4项和为$S_4=4a_1+\frac{4\times3}{2}d=8$，公差$d=2$。第10项$a_{10}=a_1+9d=1+9\times2=19$。10.A解析：函数$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$的图像上存在两点$A$、$B$，且$AB$的斜率为1，则$f(1)=1$，即$\frac{1}{\sqrt{1}}=1$。由于$f(x)$在$x=1$处的值为1，所以不存在这样的点$A$和$B$。二、填空题1.1解析：由$A(1,0)$，$B(a,b)$，得到$b=\lna$，因此$ab=a\lna$。2.29解析：同选择题第2题解析。3.$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$，$(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$解析：由于$AB$的斜率为2，所以$y=2x+b$。将$A$、$B$两点的坐标代入，解得$b=\frac{1}{2}$，因此$AB$的方程为$y=2x+\frac{1}{2}$。4.31解析：同选择题第7题解析。5.$\pi$解析：同选择题第3题解析。6.$|z-1|^2=|z+i|^2$解析：展开得到$z^2-2z+1=z^2+2iz-1$，化简得到$2z=-2iz$，解得$z=-i$。7.3解析：同选择题第5题解析。8.2解析：同选择题第1题解析。9.127解析：数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=3^n-1$，前5项和为$S_5=(3^1-1)+(3^2-1)+(3^3-1)+(3^4-1)+(3^5-1)=127$。10.$\frac{1}{2}$解析：同选择题第5题解析。三、解答题4.解析：由$f(x)+f(1-x)=\frac{x^2}{x-1}+\frac{(1-x)^2}{1-x-1}=\frac{x^2}{x-1}+\frac{(1-x)^2}{-x}=\frac{x^2-(1-x)^2}{x-1}=\frac{x^2-1+2x-x^2}{x-1}=\frac{2x-1}{x-1}=2$。5.解析：由$a_2+a_3=10$，得到$2a_1q+a_1q^2=10$，代入$a_1=2$，解得$q=3$。因