5-1向量的内积、长度及正交性

第一节向量的内积、长度及正交性相似矩阵及二次型一、向量的内积及其性质二、正交向量组、规范正交基三、正交矩阵、正交变换四、小结思考题返回上页下页一、向量的内积1.向量的内积规定

和

的内积为定义

1

设两个

n

维向量，n

维向量的内积是

几何向量内积(也称为点积、点乘、数量积、标量积)的推广.(即，对应分量的乘积之和)返回上页下页说明则，内积可用矩阵记号表示为(1)当

和

都为列向量时(一般做法)，返回上页下页，等号成立当且仅当.④①(交换律)②(结合律)③(分配律)根据定义，容易证明内积具有如下运算性质：(设

,

,

为

n

维实向量，k

为实数)(2)若已知

是行向量，

为列向量，则内积应为上页下页2.向量的长度(2)任意非零向量

，可通过长度进行单位化，是单位向量.即，定义

2

设

n

维向量规定

的长度(或范数)为(1)若，则称向量

为单位向量.说明返回返回上页下页例

1

已知解计算两个向量单位化后的内积.返回上页下页证

参见

.定理

1

向量的内积满足即(称为Cauchy-Schwarz不等式)向量长度的性质：②(齐次性)③(三角不等式)性质①②显然成立，性质③的证明参见

.附录

1附录

2①等号成立当且仅当；(非负性)根据定义，如果非零向量

,

的内积，则夹角

=

90o；反之亦然.返回上页下页3.向量的夹角定义

3

规定

n

维向量

和

的夹角为定理

2非零向量

,

正交(或垂直)的充要条件是说明由于零向量与任何向量的内积为零，因此，也可以说零向量与任何向量正交.因此返回上页下页对于齐次线性方程组Am

n

x=O，即Ax=O

的每个解向量都和矩阵

A

的每个行向量正交.因此，Ax=O

的解集(即解空间)就是与

A

的行向量都正交的全部向量的集合.这是Ax=O

的解空间的一个基本性质.返回上页下页例

2

已知

R3

中的两个向量正交，求一个非零向量

3，使得

1,

2,

3两两正交.分析已知

1,

2

相互正交，故只需求出与

1,

2都正交的一个向量.以

作为行向量构成矩阵

，则

Ax=O

的解和

正交(亦和

1,

2正交).返回上页下页令建立齐次线性方程组Ax=O，解方程组(过程略)，可得基础解系解于是，和

1,

2

都正交的非零向量

3可表示为(

k

为非零实数)即返回上页下页二、正交向量组、规范正交基设是非零正交向量组，1.正交向量组即(非零)(正交)一组两两正交且不含零向量的向量组，称为非零正交向量组.定理

3非零正交向量组是线性无关的.证返回上页下页设(*)对(*)

式两端同时左乘，得由于各向量两两正交，故其中，因此，必有.同理，对(*)

式两端同时左乘，可得.证毕证明线性无关，就是要证明上式中的组合系数必须全为零.返回上页下页2.规范正交基例如，是

R2

的一个规范正交基.是正交单位向量组，则称定义

4

设是

r

维向量空间

V

的一组基.如果是

V

的一个规范正交基.一组两两正交的单位向量，称为正交单位向量组，即设是向量空间

V

的一组规范正交基，返回上页下页设

证

则则向量

在这组基下的坐标向量的第

j

个分量为基坐标向量返回上页下页3.施密特(Schimidt)正交化方法施密特正交化方法：一组线性无关的非零向量与等价的正交单位向量组作特定的线性运算返回上页下页施密特正交化方法的基本步骤和思路：设是一组线性无关的非零向量.②

取求，使得，即

2和

1正交.①取得返回上页下页③

取令，，可得于是，于是返回上页下页④

不断重复以上步骤，直到最后有通过①②③④的正交化步骤，得到正交向量组：即(作为练习，证明都是非零向量)最后，再将单位化为，返回上页下页施密特正交化步骤小结

：首先将线性无关的非零向量组正交化：令返回上页下页再将得到的正交向量组单位化：这是因为：对一组线性无关的单位向量正交化后,可能不再是单位向量.说明(1)正确的顺序是先正交化，再单位化.(2)向量空间的基一般不是规范正交基，但是可以通过施密特正交化步骤，构造出一组规范正交基，这称为：对基进行规范正交化.返回上页下页例

3解用施密特正交化方法将这组基规范正交化.设

R3

的一组基为取首先将正交化：返回上页下页再把单位化，返回上页下页例

4已知解令矩阵，(的解与A的行向量正交，亦即与正交)求两个向量，与共同构成非零正交向量组.即建立方程组，返回上页下页

1,

2线性无关，且都与

正交.再将

1,

2正交化：取于是，

是一个非零正交向量组.解

Ax=O，得基础解系三、正交矩阵、正交变换返回上页下页1.正交矩阵定义

5若

n

阶方阵

A

满足

ATA=E，则

A

为正交矩阵.根据定义，容易证明如下正交矩阵的性质：设

A,B

皆为

n

阶正交矩阵，则①②(即)也是正交矩阵；③AB

也是正交矩阵；④返回上页下页按列分块为设，证定理

4A为

n

阶正交矩阵的充要条件是：A

的列向量组是正交单位向量组.返回上页下页说明Rn

的规范正交基是“(含

n

个

n

维向量的)正交单位向量组”.因此，定理4亦可表述为A为n

阶正交矩阵的充要条件是：A

的列向量组是

Rn

的一组规范正交基”.因此，的充要条件是：证毕返回上页下页A

的列向量都是单位向量，且两两正交，例

4验证是正交矩阵.解故

A

是正交矩阵.返回上页下页2.正交变换【回顾】从变量x1,x2,…,xn

到变量y1,y2,…,ym的“线性变换”可表示为即,记作y=Ax.返回上页下页定义

6若

A

为正交矩阵，则线性变换

y=Ax

称为正交变换.即正交变换的性质设：

n

维列向量

,

A,A(A为正交矩阵)，则向量的内积与长度以及向量间的夹角都保持不变.正交变换返回上页下页证设A为正交矩阵，由前两式，立即有(向量间的夹角不变)(向量的内积不变)(向量的长度不变)返回上页下页2.下列条件等价:(1)

A

为

n

阶正交矩阵；四、小结1.施密特正交化方法：由一组线性无关的非零向量组，通过特定的线性运算，构造出一组正交单位向量组.利用施密特正交化方法，可将向量空间的基规范正交化.A

的列向量组(或行向量组)是正交单位向量组；A

的列向量组(或行向量组)是

Rn

的规范正交基.(注意正确顺序是先正交化、再单位化)返回上页下页已知行向量思考题求：与正交的一个单位行向量.返回上页下页思考题解答用行向量构成矩阵由于Ax=O的解向量

x

(列向量)与正交.故，x

的转置xT

亦与正交.解齐次线性方程组Ax=O，得基础解系于是，与正交.再将单位化，返回