实数的初步认识（知识梳理+27个高频易错考点）解析版-2024八年级数学上册（苏科版）

实数的初步认识（知识梳理+27个高频易错考点）

考点分类目录指引

考点讲练1：求一个数的算术平方根.........................................................3

考点讲练2：利用算术平方根的非负性解题...................................................4

考点讲练3：估计算术平方根的取值范围.....................................................5

考点讲练4：与算术平方根有关妁规律探索题.................................................5

考点讲练5：算术平方根的实际应用.........................................................7

考点讲练6：平方根概念理解...............................................................8

考点讲练7：求一个数的平方根.............................................................9

考点讲练8：求代数式的平方根............................................................10

考点讲练9：已知一个数的平方根，求这个数................................................11

考点讲练10：利用平方根解方程...........................................................12

考点讲练11：立方根概念理解.............................................................13

考点讲练12：求一个数的立方根...........................................................13

考点讲练13：已知一个数的立方根，求这个数...............................................15

考点讲练14：立方根的实际应用...........................................................16

考点讲练15：算术平方根和立方根的综合应用...............................................17

考点讲练16：无理数......................................................................19

考点讲练17：无理数的大小估算...........................................................19

考点讲练18：无理数整数部分的有关计算...................................................20

考点讲练19：实数概念理解...............................................................21

考点讲练20：实数的分类.................................................................21

考点讲练21：实数的性质.................................................................22

考点讲练22：实数与数轴.................................................................23

考点讲练23：实数的大小比较.............................................................24

考点讲练24：程序设计与实数运算.........................................................25

考点讲练25：求一个数的近似数...........................................................26

考点讲练26：求近似数的精确度...........................................................26

考点讲练27：近似数推断取值范围.........................................................27

口外知识梳理技巧点拨

知识点重点归纳常见易错点

1.概念：如果一个正数出的平方等于Q,即概念中特别强调c为正数

/=Q,那么这个正数Z叫做。的算术平方根。

算术平方根2.表不方法：平方根的符号与除号很像，但不

同。

3.性质：①规定：0的算术平方根是0；②非负性0的算术平方根是0,是一个规定。

1.概念：如果/=Q（Q，20）,那么这个数E叫做a此处概念当中没有说2是正是负。

的平方根，也叫二次方根。注意与算术平方根的概念区别.

2.表示方法：士y/a

平方根

3.性质：①一个正数有两个平方根，这两个平方正数的平方根有两个：互为相反

根互为相反数;②0的平方根是0;③负数没有平数。

方根。

1.概念：求一个数的平方根的运算叫做开平方。注意理解平方根是数，是开平方

开平方2.关系：开平方与平方互为逆运算。运算的结果；而开平方是一种运

算。

1.概念：一般的如果/=。，那么这个数c叫做a从立方根的记号可以看出，一个

的立方根，也叫三次方根。数的立方根只有一个，而且一个

立方根2.表不方法：y/~a数的立方根与这个数区身符号相

同。

3.性质：①正数的立方根是正数;②0的立方根

是0;③负数的立方根是负数。

1.概念：求一个数的立方根的运算叫做开立方。开立方和立方根的区别：开立方

开立方

2.关系：开立方与立方互为逆运算。是一种运算，立方根是个数。

L概念：有理数与无理数统称为实数。注意带根号的数不一定都是无理

2.分类：实数分成有理数与无理数。数:例如：/4,因为，4=2,属

3.无理数的常见形式：于有理数范围；带7T的数也不一定

①根号型：如,通②万型：化简后仍带有7T

实数是无理数，例如：（7T-1）0,因为

的数，如2不，5③构造型：如（a一1）0=1是有理数

0.1010010001……

4.实数与数轴上的点是一一对应的关系。数轴上的点与实数一一对应

5.实数的大小比较方法：

方法1：将要比较的数画在数轴上，借助数轴比

注意根据题目条件选择合适的方

较

法

方法2：将要比较的数化成小数再比较；

方法3：平方（立方）后比较

6.有理数的运算性质及运算律实数范围内适

要注意混合运算的运算顺序。

用。

1.准确值：与实际完全相同相同数据叫作准确

值。

近似值2.能够在一定程度上反被考察对象的大小与准

确值非常接近，但又不完全相等的数据称为近似

值。

3.精确度：一个近似值四舍五人到哪一位，就

说这个近似值精确到哪一位。

4.取近似值的方法：四舍五入法、去尾法、进

一法

口用高频易错考点讲练

考点讲练1:求一个数的算术平方根

1.（2425八年级上-广东深圳•期中）9的算术平方根是（）

A.-3B.3C.±3i）.81

【答案】B

【思路引导】本题考查算术平方根的概念，需明确算术平方根的定义.

根据算术平方根的定义，即可解答.

【规范解答】解：9的算术平方根是3.

故选B.

2.（22-23八年级上•福建厦门•开学考试）数学解密：若第一个式子是百="+«,第二个式子是

V25=V9+V4,第三个式子是闹=后+71i,第四个式子是＞/^丽=而+闹…，观察以上规律并猜

想第六个式子是.

【答案】V4225=V1089+x/1024

【思路引导】本题主要考查了算术平方根，分析题意，找出规律是解题关键.

/.m-4=0,n—9=0,即m=4,n=9,

二的平方根是±4=±Jl=±f.

故答案为:±g.

考点讲练3：估计算术平方根的取值范围

5.（23-24九年级上•重庆九龙坡•期末）估计（质+回）+花的值应该在（）

A.6和7之间B.7和8之间C.8和9之间D.5和6之间

【答案】A

【思路引导】本题考查二次根式的运算及无理数的估算，将原式计算后进行估算即可，将原式进行正确的

计算是解题的关键.

【规范解答】（闹+\丽）+通

=\^16+V8

=4+V8,

V4<8<9,

/.2<V8<3,

/.6<4+V8<7,

・•・原式的值在6和7之间，

故选：A.

6.（24-25八年级上•四川成都•阶段练习）若一个边长为a正方形的面积为30,则a的取值范围是

（）

A.3<a<4B.4<a<5C.5<a<6D.6<a<7

【答案】C

【思路引导】此题主要考查了估计无理数以及算术平方根等知识，得出历的大致范围是解题关键，首先利

用<^<同<廊，进而得出答案.

【规范解答】•••一个边长为a的正方形的面积为30,

a—V30,

•••V25<V30<V36，

5<a<6,

故选:C.

考点讲练4：与算术平方根有关的规律探索题

7.（24-25八年级上-辽宁锦州•期中）按要求填空:

（1）填表并观察规律：

a0.00040.044400

（2）根据你发现的规律填空：

已知：x/5^8=2.408,则闻U=_____；

已知：V0.0068=0.0825,Vx=8.25,则*=______；

⑶从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明，

【答案】（1）见解析

⑵24.08,68

（3）求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点

向左（或右）移动1位

【思路引导】本题考杳了与算术平方根有关的规律问题，熟练掌握算术平方根的性质是解题关键.

（1）先求出每个数的算术平方根，再填表即可：

（2）根据（1）可得规律：求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则

它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位，由此即可得；

（3）根据（1）解题过程找出规徂即可.

【规范解答】（1）解：V0.022=0.0004,0.22=0.04,22=4,202=400,

V0.0004=0.02,VO.04=0.2,V4=2,V400=20,

填表如下：

a0.00040.044400

0.020.2220

（2）解：由（1）可知，求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它

的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位，

7x^8=2.408,

・•・被开方数5.8的小数点向右移动2位得到580,则它的算术平方根的小数点向右移动1位，即旃

=Z4.08；

VVo.0068=0.0825,Vx=8.25,

・•・将被开方数0.0068的小数点向右移动4位即可得到x,

.,.X=68：

故答案为：24.08,68.

（3）解：从以上问题的解决过程中，发现的规律：求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左

（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位.

8.（23-24七年级上•湖北•期中）已知倔而40.1732,则7^而4.

【答案】17.32

【思路引导】本题主要考查算术平方根，解决本题的关键是掌握算术平方根的运算.运用算术平方根解题

即可.

【规范解答】解：•••VS而々0.1732,V300=VM3xV10000?

r.V0.03=100V0,03«17.32.

故答案为：17.32.

考点讲练5:算术平方根的实际应用

9.（24-25八年级上•河北石家庄-期中）【问题发现】（1）如图1,把两个边长为1的小正方形分别沿对

角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为

【知识迁移】（2）爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形.如图2,将

两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空

小正方形的大正方形，所得到的小正方形EFGH的边长为________；大正方形ABCD的面积为________；边长

为________•

【拓展延伸】（3）小明想用一块面积为900cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为740cm2的长

方形纸片，使它的长与宽之比为5：4.请通过计算说明是否可行.

【答案】（1）2,V2；（2）1,13,V13；（3）不可行，理由见详解

【思路引导】本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是掌握正方形和长方形的面积计算方法以及算术

平方根.

（1）根据大正方形的面积=2个小正方形的面积和，即可得解：

（2）根据大正方形的面枳=4个直角三角形的面枳+小正方形的面积即可解答；

（3）设截出的长方形纸片的长为5xcm,宽为4xcm,根据题意列出方程，计算即可解答.

【规范解答】解•：（1）由题意得：所得到的大正方形面积为1+1=2,边长为我：

（2）由题意得：所得到的小正方形EFGH的边长为：3-2=1；大正方形ABCD的面积为：4x1x3x2+l2

=13；边长为，百；

（3）不可行，理由如下：

设截出的长方形纸片的长为5xcm,宽为4xcm,

则Sx-4x=740,

Ax=V37（负值舍去），

，截出的长方形纸片的长为5历cm=V925cm>30cm,

・•・小能用一块血积为900cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块血积为740cm2的长方形纸片，使它的长

与宽之比为5:4.

10.（23-24七年级下-陕西安康-期中）如图，这个正方体的体积是：27cm3且相对面上的算式相同，则

这个正方体的展开图中算式结果是奇数的面的面积之和是co?.

/1+V49/

【答案】36

【思路引导】本题考查了立方根的应用、算术平方根的应用、有理数的混合运算，求出正方体的边长为3

cm,计算出1+屈=8,V25-V16=1,7121=11,得到这个正方体的展开图中算式结果是奇数的面

共有4个，由此即可得解.

【规范解答】解：•••这个正方体的体积是27cm3,

・••这个正方体的边长为面=3cm,

v1+V49=1+7=8,V25-V16=5-4=1,7121=11,

这个正方体的展开图中算式结果是奇数的面共有4个，

这个正方体的展开图中算式结果是奇数的面的面积之和是4x3x3=36cm2,

故答案为：36.

考点讲练6：平方根概念理解

11.（21-22七年级下•北京・期中）已知某正数的两个平方根分别是a+4和2a—16,则a的值是.

【答案】4

【思路引导】本题考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0：

负数没有平方根.根据正数有两个平方根，且它们互为相反数，依此列式计算即可.

【规范解答】解：由题意得，a+4+2a-16=0,

解得：a=4,

故答案为:4.

12.（23-24七年级下•全国•单元测试）有下列说法：①后的平方根是±4；

②-e表示6的算术平方根的相反数：

③一64的立方根是一4；④一3是（一3产的平方根.

其中,正确的说法有（）

A.1个B.2个C.3个【）.4个

【答案】C

【思路引导】本题考查了平方根、立方根的相关概念，掌握相关结论即可.

【规范解答】解：0>/16=4,4的平方根是±2,故①错误；

②-6表示6的算术平方根的相反数，故②正确；

③-64的立方根是一4,故③正确；

④（_3产=9,一3是9的平方根，故④正确；

故选:C

考点讲练7：求一个数的平方根

13.（24-25八年级上•广东揭阳•阶段练习）一捺的立方根是,质的平方根是,

2-遍的绝对值是.

【答案】±3V5-2/-2+VS

【思路引导】此题主要考查了平方根，算术平方根和立方根和绝对值.直接利用立方根以及算术平方根和

平方根、绝对值的性质分别分析得出答案.

【规范解答】解：・・・（-93二一5，

:.—尚的立方根是—I；

忖=9的平方根是±3；

V4<5

A2<V5

2—V5V0

，|2-何=V5-2,

・•・2—后的绝对值是后一2.

故答案为：一g，±3,\/S—2.

14.(24-25八年级上•全国•阶段练习)已知a+b=5,ab=-6,求：

(I)a2+b2的值:

(2)a—b的值.

【答案】(1)37

(2)±7

【思路引导】本题主要考查了已知式子的值，求代数式的值，平方根以及完全平方公式的应用.

(1)将a?+b2变形为(a+b)2—2ab,将a+b=5,ab=—6,代入求解即可.

(2)先求出(a—b)2=(a+b)2-4ab,再求(a—b>的平方根即可.

【规范解答】(1)解：・・・a+b=5,ab=-6,

(a+b)2=25,

:.a2+b2=(a+b)2—2ab=25—2x(—6)=37

(2)解：*/a+b=5,ab=—6,

(a+b)2=25,

/.(a—b)2=(a+b)2—4ab=25—4x(-6)=49,

/.a-b=±7.

考点讲练8：求代数式的平方根

15.(22-23七年级下•福建莆田•期中)已知2a—1的算术平方根是3,3a+b—1的平方根是±4,。是g

的整数部分，求3a+2b—c的平方根.

【答案】±4

【思路引导】先依据算术平方根和平方根的定义列出关于a、b的方程组求得a、b的值，然后估兑出后的大

小，可求得c的值，接下来，求得a+2b-c的值，最后求它的平方根即可.

【规范解答】解：由题意得：

a=5,b=2.

•.•9v13<16,

:.3<V13<4.

c=3.

:.3a4-2b—c=16.

.•.a+2b-c的平方根是±4.

【考点剖析】本题主要考查的是算术平方根、平方根的定义、估算算术平方根的整数部分，熟练掌握相关

定义和方法是解题的关键.

16.已知2a—1的算术平方根是3,b—l的平方根是±4,c是VT5的整数部分，求a+2b—c的平方根.

【答案】±6

【思路引导】根据平方根与算术平方根的定义分别求出a、b、c的值；进而得出a+2b—c的值，求出它的平

方根即可：

【规范解答】解：・・・2a-l的算术平方根是3：b-l的平方根是±4,

.\2a-l=9,b-1=16,

/.a=5,b=17.

•••c是g的整数部分，3<V13<4,

.*.c=3.

/.a+2b—c-5+17x2—3—36.

•••36的平方根是±6.

・・・a+2b-c的平方根为±6.

【考点剖析】本题考查了考查了平方根与算术平方根；熟练掌握平方根与算术平方根的定义是解题的关键.

考点讲练9:已知一个数的平方根，求这个数

17.（24-25八年级上•江苏南京•期中）若一个正数的平方根是2a—3和4—a,则这个正数是.

【答案】25

【思路引导】本题考查了平方根的知识点，解题的关键是根据一个正数的两个平方根互为相反数列出方程

求解.

根据一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数得出2a—3+4—a=0,即可求出a的值，从而求出这个

正数.

【规范解答】解：根据题意得，2a-3+4-a=0,

解得a=-1,

...4-a=4-(-l)=4+l=5,

・•・这个正数是52=25,

故答案为：25.

18.(23-24八年级上•福建泉州•期末)一个正数x的两个平方根分别是一a+2与2a—1.

⑴求a和正数x的值.

(2)求x+a的立方根.

【答案】(l)a=-1,x=9

(2)2

【思路引导】本题考查了平方根和立方根的定义.

(1)根据平方根的定义可得一个正数的两个平方根互为相反数，则有a—2+2a—1=0,解方程得a=l,

即一个正数的两个平方根分别为-1和1,利用平方根的定义即可求解；

(2)根据立方根的定义解答即可.

【规范解答】(1)解：•••一个正数的两个平方根分别为一a+2和2a-1,

—a+24-2a—1=0,

•••a——1,

二这个正数为(1+2)2=9.

x=9；

(2)解：•••a=-1,x=9,

x+a=9—1=8,

•••'+2的立方根为强=2.

考点讲练10:利用平方根解方程

19.(21-22九年级上•广西河池•期中)解方程：(X—2产=9

【答案】x=5或x=—1

【思路引导】本题考查了利用平方根的定义解方程，掌握平方根的定义是解题的关键.

根据平方根的定义得到X-2=±3,再解一元一次方程即可.

【规范解答】解：(X-2)2=9

x—2=+3,

解得：x=5或x=—1.

20.(24-25八年级上•江苏宿迁・期末)解方程：

⑴2(x+l)2=18；

(2)(X-2)3-3=5.

【答案】(1八=2或*=-4

(2)x=4

【思路引导】本题考查了根据立方根和平方根解方程，熟练掌握知识点是解题的关键.

(1)根据平方根的定义解方程即可；

(2)根据立方根的定义解方程即可.

【规范解答】(1)解.：2(x+l)2=18,

・・・(X+1)2=9,

x+1=3或x4-1=-3,

解得：x=2或x=—4；

(2)解:(x-2)3-3=5,

.\(x-2)3=8,

Ax-2=2,

解得：x=4.

考点讲练11:立方根概念理解

21.(2023七年级•全国•专题练习)当x取时，VTK有意义.

【答案】任意实数

【思路引导】本题考查了“.方根，理解3方根的定义是止确解答的关键.

根据立方根的定义，可得出x的取值范围.

【规范解答】解：•・・任何实数都有立方根，

・・・2-x可取任意实数，

・・・x可取任意实数.

故答案为：任意实数.

22.(2024八年级_L•全国-专题练习)若反不耳与而V互为相反数，求x的值.

【答案】x=13

【规范解答】本题考查了立方根的性质以及相反数的定义.由立方根的性质及相反数的定义可得

3x+5+8-4x=0,据此即可求解；

解：・・・底?不与际不互为相反数，

，3x+5+8—4x=0,

解得x=13.

考点讲练12：求一个数的立方根

23.（24-25八年级上•甘肃天水•期中）计算.其中第（2）题运用乘法公式计算.

（1）-23xJ（一4尸+|-2|xV27

S、982+98X4+4

⑵~1012-1-

【答案】（1）-26

⑵署

【思路引导】（1）首先计算有理数的乘方，算术平方根和立方根，绝对值，然后计算乘法，最后计算加法;

（2）分子利用完全平方公式化简，分母利用平方差公式化简，然后求解即可.

【规范解答】（1）-23x7（-4）2+|-2|XV27

=—8x44-2x3

=一26；

（982+98x4+4

982+2x98x2+22

=1012-12

（98+2）2

=（101-1）（101+1）

1002

=100x102

50

=51,

【考点剖析】此题考查了有理数的乘方，算术平方根和立方根，绝对值，完全平方公式，平方差公式，解

题的关键是掌握以上运算法则.

24.（24-25八年级上-江苏无锡・期末）计算：

（1）V16-V27：

（2）712-（H-3.14）°-|1-V3|.

【答案】（1）1

⑵K

【思路引导】（1）根据算术平方根、立方根的定义化简，再合并即可：

（2）根据二次根式的性质、零指数累、绝对值的性质化简，再合并即可；

本题考查了实数的混合运算，二次根式的加减运算，掌握实数和二次根式的运算法则是解题的关键.

【规范解答】（1）解：原式=4-3

=1;

（2）解：原式=275—1一（75一1）

=2>/3—1—>/3+1

=瓜

考点讲练13：已知一个数的立方根，求这个数

25.（24-25八年级上•山西长治•期中）一个正数的两个不同的平方根是3a—14和a+6,b+11的立方根

是-3,c是e的整数部分.

（1）求a-b+c的值.

⑵求4a-b+9c的平方根.

【答案】（1）42

⑵士8

【思路引导】本题考杳了平方根的定义，3方根的定义，无理独的估算，代数式求俏，熟练掌樨平方根和

立方根相关概念是解题关键.

（1）根据平方根的定义，求得a=2；再根据立方根的定义，求得b=-38：然后利用无理数的估算，求

得c=2,代入求值即可得到答案；

（2）根据（1）求出4a—b+9c的值，再根据平方根的定义进行计算，即可得到答案.

【规范解答】（1）解：•••一个正数的两个不同的平方根是3a—14和a+6,

3a—14+a+6=0,

a=2.

••・b+11的立方根是一3,

b+11=（-3）3=-27,

b=-38,

••・c是区的整数部分，2<V6<3,

•，•c2,

a-b+c=2-（-38）+2=42.

（2）解：由（1）,得a=2,b=—38,c=2,

4a—b4-9c=4x2—（—38）+9x2=8+38+18=64,

・・・4a-b+9c的平方根是±8.

26.（24-25八年级上•福建漳州•期中）已知某正数x的两个平方根分别是a-4和2a—5,y的立方根是

一2,z是遍的整数部分，求x+y+8z的平方根.

【答案】±3

【思路引导】本题考查了平方根，立方根，无理数的整数部分，先得出a=3,贝口=1,结合y的立方根是

一2,z是我的整数部分，分别得出y=-8,z=2,然后求出x+y+8z=9,最后求出其的平方根，即可

作答.

【规范解答】解：•・•某正数x的两个平方根分别是a-4和2a—5,

/.a—44-2a—5=0,

/.a=3,

则a—4=3—4=—1,

.・.x=（-1）2=1,

的立方根是一2,z是如的整数部分，H,V4<V8<V9,

・・.y=（_2）3=-8,2<V8<3,

,\z=2.

.*.x+y+8z=l—84-8x2=9,

・・・9的平方根是±3.

考点讲练14:立方根的实际应用

27.（24-25八年级上•山西晋中•期中）某地气象资料表明：当地雷雨持续的时间t（h）可以用公式12=焉

来估计，其中d（km）是雷雨区域的直径.

⑴如果某场雷雨区域的直径是10km,那么这场雷雨大约能持续多长时间？（结果保留根号）

（2）如果这场雷雨持续了20min,那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到0.1km；参考数据：

V100~4.64）

【答案】（1）这场雷雨大约能持续孚h

（2）这场雷雨区域的直径大约是4.6km

【思路引导】本题主要考杳了算术平方根，立方根的应用，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键.

（1）根据t2=盛，其中d=10km是雷雨区域的直径，开算术平方，可得答案；

（2）根据t2=盖，其中t=；h,是雷雨持续时间，开立方，可得答案.

VUUO

【规范解答】（1）解：把d=10km代入t2=^,得t2=孺=部.

小=牌=梁h）

答：这场雷雨大约能持续当h；

（2）解：20min=1h

把t=gh代入t2=嬴，得偿）=嘉

，d=V100a4.64«4.6（km）.

答：这场雷雨区域的直径大约是4.6km.

28.（23-24七年级下•河南商丘•阶段练习）如图，是一块体积为343cm3的立方体铁块.

（2）现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成两个小立方体铁块，其中一个的体积为218cm3,求另一个小立

方体铁块的棱长.

【答案】（1）这个铁块的棱长为7cm

⑵另一个小立方体铁块的棱长为5cm

【思路引导】本题考查立方根的应用，熟练掌握相关的知识点是解题的关犍.

（1）根据正方体的体积公式和立方根的定义进行解答；

（2）根据题意列出式子再进行计算即可.

【规范解答】（1）根据题意，得

铁块的棱长为V5布=7（cm）,

答：这个铁块的棱长为7cm.

（2）设另一个小立方体铁块的棱长为acm,

Ma3=343-218=125.

V53=125,

/.a=5.

答：另一个小立方体铁块的棱长为5cm.

考点讲练15:算术平方根和立方根的综合应用

29.（24-25八年级上•四川成都•期中）已知2b—2的立方根是一2,4a+3b算术平方根是3.

(1)求a、b的值;

(2)求2a-b的平方根.

【答案】(l)a=(b=-3

⑵士2V3

【思路引导】本题考查了立方根、平方根、算术平方根.

(1)根据立方根和算术平方根的定义得出2b—2=(-2尸=-8,4a+3b=3?=9,求解即可：

(2)先求出2a—b的值，再求出平方根即可.

【规范解答】(1)解：・・・2b-2的立方根是-2,4a+3b算术平方根是3.

2b—2=(-2)3=—8,4a4-3b=32=9,

解得：a=b=-3；

9

(2)解：由(1)可得a=i，b=-3,

9

/.2a—b=2x--(-3)=9+3=12,

・・.22—1)的平方根为±a^=±273.

30.(23-24七年级下•天津•期中)己知5a-1的算术平方根是2,b—9的立方根是2,c是V诵的整数部

分.

⑴求a+b+c的值；

(2)若x是g的小数部分，求x—履+28的平方根.

【答案】(1)21

⑵±5

【思路引导】本题考查了平方根，立方根概念，

(1)根据平方根，立方根的定义，估算求出的a,b,c的值，代入计算即可得出答案；

(2)先得出x的值，即可得出结果：

【规范解答】(1)・・・5a-l的算术平方根是2,

.\5a-l=4,解得：a=1

・・飞一9的立方根是2

Ab-9=8,解得：b=17

•・・c是疝的整数部分，而3＜反＜4,

/.c=3,

a+b4-c=1+17+3=21：

（2）由（1）可知，g的整数部分是3,

是g的小数部分，

•**x—V12—3,

:.x—712+28=V12—3—V12+28=25,

・・・'一短+28的平方根是±5.

考点讲练16:无理数

31.（24-25八年级上•甘肃天水•期中）在实数一90,3.16,回冲，无理数有（）

A.1个B.2个C.3个I）.4个

【答案】A

【思路引导】本题考查无理数，无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可.

【规范解答】解：一^是分数，不是无理数；

。是整数，不是无理数；

3.场是无限循环小数，不是无理数；

眄=3是整数，不是无理数：

J是无限不循环小数，它是无理数，

所以，无理数有1个，

故选：A.

32.（23-24八年级上・广东梅州-期中）下列四个数中，属于元理数的是（）

A.-5B.-3.14C.yD.V3

【答案】I）

【思路引导】根据无理数的定义，判断各选项是否为无限不循环小数或不能表示为整数之比.

【规范解答】解：由无理数的定义可得，四个数中只有仃是无理数，

故选:D.

考点讲练17:无理数的大小估算

33.（24-25八年级上•北京•期末）比较大小：（1）再6：（2）V12-13

【答案】><

【思路引导】本题主要考查了实数大小比较及无理数的估算，根据（、丽>=40>62=6,（V12）2=12<42

=16得到函>6,V12<4,据此可得答案.

【规范解答】解：V（A/40）2=40>62=6,

，闻>6,

V（\/12）2=12<42=16,

Ax^L2<4,

<3.

故答案为：>:V.

34.（2025•江苏扬州・中考真题）如图，数轴上点A表示的数可能是（）

-1012345

A.V2B.V3C.V7D.V10

【答案】C

【思路引导】本题考查实数与数轴，尢理数的估算，设点A表示的数为a,根据点在数轴上的位置，判断出a

的范围，夹逼法求出无理数的范围进行判断即可.

【规范解答】解•：设点A表示的数为a,由图可知：2<a<3,

•・・Cv企V",即：1<N/2<2,故选项A不符合题意；

•・•<!〈百〈四，即：1<V3<2,故选项B不符合题意；

V\/4<V7<V9,即：2<V7<3,故选项C符合题意；

•:炳〈国〈氏,即：3<V10<4,故选项D不符合题意；

故选C.

考点讲练18:无理数整数部分的有关计算

35.（24-25八年级上•广东梅州•期中）已知a是后的整数部分，则（a—l>的值是.

【答案】1

【思路引导】本题主要考查了无理数的估算，求代数式的值，根据题意得到2VeV3是解题的关键.先

估算出2〈遍v3,可得a=2,再代入，即可求解.

【规范解答】解：・・,4<6V9,

・・.2<V6<3,

•・z是通的整数部分，

a=2,

.\(a-l)2=(2-l)2=1.

故答案为：1.

36.（24-25八年级上-四川宜宾•期中）设3+g的整数部分是a,3+小数部分是b,贝必一b=.

【答案】9-V13/-VT34-9

【思路引导】本题考查与无理数整数有关的计算，先利用夹逼法求出a,原数减去a得到b,再进行计算即可.

【规范解答】解：•・•西<旧〈网，

/.3<>/13<4,

；・6<34-V13<7,

•*.a=6,b=3+V13—6=V13—3,

a—b—6—713+3=9—V13：

故答案为：—V13.

考点讲练19：实数概念理解

37.（21-22七年级下•新疆阿克苏•期末）一V7的相反数是（）

A.V7B.一手C.±V7D.-y/7

【答案】A

【思路引导】直接利用相反数的定义，进而得出答案.

【规范解答】解：一位的相反数是V7.

故选:A.

【考点剖析】本题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键.

38.（2022七年级上-上海・专题练习）若有一个实数为3-V5,则它的相反数为（）

A.3+V5B.—y/s4-3C.\fs—3D.—3—V5

【答案】C

【思路引导】根据相反数的定义亿简即可得出答案.

【规范解答】解：・・・一（3—向）=-3+的=0-3,

・•.3—遍的相反数为后一3,

故选：C.

【考点剖析】本题考查了实数，相反数，掌握一个数a的相反数是一a是解题的关键.

考点讲练20：实数的分类

39.（20-21八年级上•河南驻马店-期末）在3.14159,4,1.1010010001-（每两个1之间0的个数依次

加I）,4.21,IT,母中，无理数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【思路引导】无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是

整数与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数.由此即可判定选

择项.

【规范解答】解：3.14159是有限小数，属于有理数；

4是整数，属于有理数：

4.21是有限小数，属于有理数;

等是分数，属于有理数；

无理数有1.1010010001…（每两个1之间0的个数依次加1）,兀共2个.

故选：B.

【考点剖析】本题主要考查了尢理数的定义，其中初中范围内学习的尢理数有：五，2元等；升方升小尽的

数；以及像0.1010010001…，等芍这样规律的数.

40.（21-22八年级上-广东佛山-期末）下列实数是无理数的是（）

A.Vl9B.—11C.n2D.2022

【答案】C

【思路引导】根据无理数的定义逐个判断即可.

【规范解答】解：A.V9=3,是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；

B.?是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；

C.T是无理数，故本选项符合题意：

I）.2022是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意：

故选：C.

【考点剖析】本题考查了无理数的定义，能熟记无理数的定义是解此题的关键，注意：无理数是无限不循

环小数.

考点讲练21：实数的性质

41.（24-25七年级下•内蒙古赤峰•期中）的相反数是;后的平方根是；面的算术平

方根是.

【答案】V3±23

【思路引导】本题考查了相反数的定义，算术平方根和平方根的定义，熟练掌握知以点是解答本题的关键.

根据相反数的定义，算术平方根和平方根的定义，即可解答.

【规范解答】解：①一百的相反数是百；

②4,

・・・4的平方根是±2,

即属的平方根是±2：

③：质二9

・・・9的算术平方根是3,

即前的算术平方根3.

故答案为百，±2,3.

42.（21-22八年级下-广东江门-阶段练习）实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+J（b—a）2

的结果是（）

---------1-------------------1-------1-------->

b0a

A.2a—bB.—2a+bC.—bI）,b

【答案】A

【思路引导】先根据题意得到b—a<0,然后化简绝对值和二次根式即可得到答案.

【规范解答】解：由题意得bvOva,

b-a<z0,

/.|a|+J（b-a）2=a+（a—b）=a+a-b=2a-b,

故选A.

【考点剖析】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质，二次根式的化简，正确得到b-aV0是解题的关

键.

考点讲练22:实数与数轴

43.（24-25八年级上•北京•期末）如图，正方形ABCD的面积为3,顶点A在数轴上，且点A表示的数为

2,数轴上有一点E在点A的左侧，若AD=AE,则点E表示的数为（）

c

B

DC/

E2

A.V3B.2-V3C.-V3D.V3-2

【答案】B

【思路引导】本题主要考查了实数与数轴，求一个数的算术平方根，根据正方形面积计算公式可得

AE=AD=V3,再根据数轴上两点距离计算公式求解即可.

【规范解答】解：•・•正方形ABCD的面积为3,

.,.AD=V5,

AE=AD=V5»

•・•点A表示的数为2.

・••点E表示的数为2—国，

故选:B.

44.（24-25八年级上•江苏盐城•期末）如图，数轴上表示V5的点是（）

ABCD

11.1■1■A

-2-1012

A.点4B.点、3C.点CD.点〃

【答案】C

【思路引导】本题考查了实数与数轴，无理数的估算.先估算出仃的范围，再找出符合条件的数轴上的点

即可.

【规范解答】解：・・・1V百＜2,

・••数轴上表示旧的点是点C,

故选：C.

考点讲练23:实数的大小比较

45.（23-24八年级上•辽宁沈阳•期末）已知，如图所示，点A在数轴上，且0A=0B.回答下列问题：

（1）写出数轴上点火表示的数a：

（2）比较a与-2.5的大小；（写出简要过程）

（3）设点N在数轴上，点N表示的数是n,且满足avnv通，如果n是非零整数，直接写出符合条件的*点有

几个？

【答案】（l）a=-V5

（2）a>-2.5

（3）四个

【思路引导】本题主要考查勾股定理.，数轴上的点所对应的实数，无理数的估算，解题的关键是掌握勾股

定理.

（1）先利用勾股定理求出0B的长度，再根据OA=OB即可得到0A的长度，从而得到力对应的数.

（2）根据无理数的大小比较方法比较即可；

（3）根据（2）的结果求解即可.

【规范解答】（1）VOB=^12+22=Vs,a<0

=—V5；

（2）V（V5）2=5,2.52=6.25,

；・、尺<2.5,

—y[S>—2.5,

（3）*.*2<V5<2.5,—2>—娓>—2.5,

・•・满足一0Vn<0的非零整数有一2,—1,1,2共四个.

46.（20-21九年级上-四川乐山-期中）比较大小依一遥V7一通.（填或“<”）

【答案】>

【思路引导】先用（夕一后）减去（石一花），再进行整理，然后两边平方得出与0的大小关系，最后进行移

项，即可得出答案.

【规范解答】解：:（近一连）一（遥一遥）=（夕+而）一2遍，

又，•（近+四>一（通+通>=2（735-736