2026年高考数学知识复习（全国）：专题01 立体几何初步（知识清单）（原卷版）

专题01立体几何初步01理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。02盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。【知能解读01】空间几何体的结构特征【知能解读02】空间几何体的表面积和体积【知能解读03】空间几何体的外接球与内切球【知能解读04】点、直线、平面之间的位置关系【知能解读05】直线、平面平行的判定与性质【知能解读06】直线、平面垂直的判定与性质【重难点突破01】几何体展开图最短距离问题【重难点突破02】空间几何体中的截面问题【重难点突破03】外接球和内切球的解题思路【重难点突破04】空间几何体中的探索性问题04辨·易混易错：辨析易混易错知识点，夯实基础。【易混易错01】对斜二测画法的规则掌握不牢【易混易错02】空间点、线、面位置关系不清【易混易错03】线面平行定理的理解不够准确【易混易错04】对折叠与展开问题认识不清致误【方法技巧01】求空间几何体表面积【方法技巧02】求空间几何体的体积【方法技巧03】共线共点共面证明方法【方法技巧04】证明直线与平面平行的方法【方法技巧05】证明面面平行的常用方法【方法技巧06】证明线线垂直的方法【方法技巧07】证明线面垂直的方法【方法技巧08】证明面面垂直的方法【方法技巧09】面面垂直性质的应用【方法技巧10】求异面直线所成角的求法【方法技巧11】直线与平面所成角的求法【方法技巧12】二面角的求法【方法技巧13】空间距离的求法理思维导图牌积是immaa单单而融立体几何初步I/aI/aL盘盘名称棱台图形互相平行且全等多边形互相平行且相似(1)侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形.(2)底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥.特别地，各棱长均相等的正三棱锥叫做正四面体.反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的【注意】(1)棱柱的所有侧面都是平行四边形，但侧面都是平行四边形的几何体却不一定是棱柱.(2)棱台的所有侧面都是梯形，但侧面都是梯形的几何体却不一定是棱台.(3)注意棱台的所有侧棱相交于一点.3、旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形半圆形旋转轴任一边所在的直线任一直角边所在的直线所在的直线直径所在的直线母线互相平行且相等，垂相交于一点延长线交于一点圆侧面展开图4、空间几何体的直观图(1)画法：常用斜二测画法.(2)规则：所在平面垂直.②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.(3)直观图与原图形面积的关系A.4√6B.8√3C.8√6知能解读02空间几何体的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积=S侧+2S底锥体(棱锥和圆锥)S表面积=S侧十S底台体(棱台和圆台)球几何体的表面积和侧面积的注意点①几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表②组合体的表面积应注意重合部分的处理.2、柱体、锥体、台体侧面积间的关系(1)当正棱台的上底面与下底面全等时，得到正棱柱；当正棱台的上底面缩为一个点时，得到正棱锥，(2)当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥，3、柱体、锥体、台体体积间的关系放置时，水面恰好过侧棱AA₁的中点，当侧面AA₁BB水平放置时，水面恰好与AC交于点D,则AD等于A.2B.4C.3√2知能解读03空间几何体的外接球与内切球 3.在棱长为a的正四面体中，外接球半径,内切球半径7.接球的球心，斜边长的一半为外接球的半径.【真题实战】(2025·四川达州·模拟预测)已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的04点、直线、平面之间的位置关系1、四个公理(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.(2)公理2:过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.【拓展】公理2的三个推论推论1:经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面.推论2:经过两条相交直线有且只有一个平面.推论3:经过两条平行直线有且只有一个平面.作用：公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线.作用：公理3是证明三线共点或三点共线的依据(4)公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.2、等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.3、直线与直线的位置关系(1)空间两条直线的位置关系位置关系特点同一平面内，有且只有一个公共点同一平面内，没有公共点异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点(2)异面直线所成的角①定义：设a,b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a'//a,b'//b,把a'与b′所成的锐角(或②范围：[0°,90°].4、直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面a内直线a在平面a外直线a与平面α平行公共点无数个公共点一个公共点没有公共点图形表示5、两个平面的位置关系位置关系公共点没有公共点有无数个公共点(在一条直线上)图形表示【真题实战】(2025·甘肃定西·模拟预测)在直三棱柱AC=AB=AA₁=2,∠BAC=120,D是棱B₁C₁的中点，则异面直线AD与B₁C)05直线、平面平行的判定与性质1、直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义：直线1与平面α没有公共点，则称直线1与平面α平行.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与(1)平面与平面平行的定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示一个平面内的两条相交直线与另一两个平面平行，则其中一个平面内的如果两个平行平面同时和第三个平面平行”;而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向是由题目的具体条件而定的，0为正方形ABCD的中心，则()D.EO//FCD.EO//FC06直线、平面垂直的判定与性质(1)定义：直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线1与平面α互相垂直.(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直线平行2、直线和平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0.(2)范围：(1)二面角的有关概念①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.(2)平面和平面垂直的定义两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言一个平面过另一个平面的内垂直于交线的直线与另一个平面垂直(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直.(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.4、垂直关系之间的转化在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件.同时抓住线线、作辅助线来解决.【真题实战】(2025-湖北·模拟预测)在长方体AB破重难点突破01几何体展开图最短距离问题解决空间几何体表面距离最短问题，需通过展开，把问题转化为平面两点间线段最短问题.多面体表面展开图可以有不同的形状，要观察并想象立体图形与表面展开图的关系.BB₁,CC₁,DD₁上一点，则AE+EF+FG+GA)A.√281B.√283【典例2】(2025高三·全国月考)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知P,M分别为线段BD₁,BB₁上的动点，N为B₁C的中点，则PMN的周长的最小值为()重难点突破02空间几何体中的截面问题(1)直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交(2)延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。(3)平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线α截正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁所得的截面是()A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形的平面α与直线D₁E垂直，则α截正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁所得截面的面积为()重难点突破03外接球和内切球的解题思路(1)根据球的截面的性质，利用球的半径R、截面圆的半径r及球心到截面圆的距离d三者的关系(2)将几何体补成长方体，如本例(2),利用该几何体与长方体共有外接球的特征，由外接球的直径等于长方体的体对角线长求解.2、解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是：第二步作截面：选准最佳角度作截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各素间的关系),达到空间问题平面化的目的；,侧棱长都等于A.12πB.15πC.20π柱与球的体积之比为λ,表面积之比为μ,则()A.λ=μB.λ<μ重难点突破04空间几何体中的探索性问题1、立体几何中的探索性问题立体几何中的探索性问题的主要①探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么.②探索结论，即在给定的条件下，探索命题的结论是什么.①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明.②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性.③把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件.3、对命题结论探索的方法首先假设结论成立，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾的结果就否定假设.【典例1】(2025高三·陕西咸阳·期中)如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCDE为棱AA的中点，AB=2,AA₁=3.(1)求三棱锥A-BDE的体积.(2)在DD₁上是否存在一点P,使得平面PA₁C//平面EBD.如果存在，请说明P点位置并证明.如果不存在，请说明理由.【典例2】(2025高三·全国月考)如图，直角梯形ABCD中，AD//BC,AB⊥BC,BC=3AB,AD=2AB,E为AD的中点.把△ABE折起，使A至A',若点P是线段CA′上的动点，则有下列结论：①存在点P,使DP//平面A'BE;②对任意点P,使DP与A'E成异面直线；③存在点A',使AB⊥平面A'BE;其中不正确的序号是_.易混易错01对斜二测画法的规则掌握不牢直观图，A'D′=2,B'C′=A'B'=1,则平面图形ABCD中对角线A.√5B.√3A.18B.8√2C.12√2辨析：空间点、线、面位置关系的组合判断是考查学生对空间点、线、面位置关系判断和性质掌握程度的A.直线HG与直线A₁B异面B.直线EF,HG,DC交于同一点D.动点K在侧面A₁ADD内(含边界),且KE=AA₁,则动点K的轨迹长度为√3πM,N分别为棱C₁D₁,C₁C)A.直线AM与BN是平行直线B.直线BN与MB是异面直线C.直线MN与AC所成的角为60°03线面平行定理的理解不够准确辨析：在应用线面平行的判定定理进行平行转化时，定要注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立易混易错04对折叠与展开问题认识不清致误辨析：注意折叠或展开过程中平面图形与空间图形中的变量与不变量，不仅要注意哪些变了，哪些没变，还要注意位置关系的变化.中点E,将等腰梯形ABCD沿线段DE翻折，使得二面角A-DE-B为60°,连接AB、AC得到如图所示的四棱锥A-BCDE,F为AD的中点.(2)求四棱锥A-BCDE的体积.AD=DE=2,CE=1,将VADE沿AE向上翻折，使点D到点P的位置，构成四棱锥P-ABCE.(1)若点F在线段AP上，且EF//平面PBC,试确定点F的位置；点点方法技巧01求空间几何体表面积2、求旋转体的表面积：可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它3、求不规则几何体的表面积：通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱圆锥的底面直径是()柱的体积相同，则正四棱柱与该圆柱的侧面积之比为()方法技巧02求空间几何体的体积1、处理空间几何体体积的基本思路(1)转：转换底面与高，将原本不容易求面积的底面转换为容易求面积的底面，或将原来不容易看出的高(2)拆：将一个不规则的几何体拆成几个规则的几何体，便于计算；(3)拼：将小几何体嵌入一个大几何体中，如有时将一个三棱锥复原成一个三棱柱，将一个三棱柱复原乘2、求体积的常用方法(1)直接法：对于规则的几何体，利用相关公式直接计算；(2)割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规(3)等体积法：选择合适的底面来求几何体的体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面作方体的棱长相等，则下列结论正确的是()A.三棱锥的表面积为SB.三棱柱的表面积为C.三棱锥、三棱柱、正方体的高之比为D.三棱锥、三棱柱、正方体的体积之比为方法技巧03共线共点共面证明方法1、证明点或线共面问题的2种方法(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合.2、证明点共线问题的2种方法(1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；(2)直接证明这些点都在同一条特定直线(如某两个平面的交线)上.3、证明线共点问题的常用方法先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.一个充分不必要条件是()C.ab,且c⊥bD.a,b,c两两相交中点，G在D₁C₁上，且平面EFG与棱B₁B所在直线交于点H,则BH=()BC,BD,AC,AD的中点，则下列选项正确的是()A.MF⊥ENB.MN=MEC.MF=END.EN//CD方法技巧04证明直线与平面平行的方法2、线面平行的判定定理：关键是找到平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边、成比例线段出现平行线或过已知直线作一平面找其交线.3、面面平行的性质：①两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面，即a//β,acα=a//β;②两个平面平行，不在两个平面内的一条直线与其中一个平面平行，则这条直线与另一平面AB⊥AD,AD//BC,AD=AP=2AB=2BC=2,PA⊥平面ABCD,E为棱PD上的动点.(1)当E为棱PD的中点时，证明：EC//平面PAB;(2)若PE=2ED,求平面EAC与平面PAB夹角的余弦值.PA=√3AD,AB⊥PD,∠PAD=150°,E为线段PD的中点.(2)求直线AE与平面PAC所成角的正弦值.【典例3】(2025高三·广东广州月考)如图，在四棱锥P-ABCD1、利用面面平行的定义.2、利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平BC中点，过点M分别作平行于平面PAB的直线交AC、PC于点E、F.(1)求直线PM与平面ABC所成的角的正切值；(2)证明：平面MEF//平面PAB,并求直线ME到平面PAB的距离.【典例2】(2025-河南·模拟预测)如图所示，正六棱柱ABCDEF-AB₁C₁DEF(2)求平面ADF₁与平面A₁BC间的距离.【典例3】(2025-河南·模拟预测)如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四边形ABCD是正方形，E,F,G分别是棱BB₁,B₁C₁,CC₁的中点.(1)证明：平面A₁EF//平面AD₁G;(2)若点A₁在底面ABCD的投影是四边形ABCD的中心，A₁A=2AB=4,求三棱锥A₁-AD₁G的体积.方法技巧06证明线线垂直的方法证5A1面m)BD相交于点0,平面PAD⊥平面ABCD,点E在棱PC上，AD=BD=PD=2,AB=20E=2√2.(2)再从条件①,条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面BDE与平面ABCD夹角的大小.条件①:AP//平面BDE;条件②:CE=√3.BC=DC=1,DE⊥AB于E,沿DE将VAD别是棱BC,PB的中点.(2)求平面EFN和平面PCD的夹角的余弦值.AB⊥BD,点E为AD的中点.(2)若平面ABD⊥平面BCD,求直线AC与平面BCE所成角的正弦值.方法技巧07证明线面垂直的方法2、面面垂直的性质定理：a⊥β,a∩β=l,aca,a⊥l=a⊥β.(2)若点D满足PD=2DC,求平面ABD与平面ACD的夹角的余弦值.(2)求直线PB与平面MCD所成角的正弦值.【典例3】(2025-湖南益阳·模拟预测)如图，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，BC//AD,⊥AD,连接BD,BE,BM.方法技巧08证明面面垂直的方法法1:利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面法2:利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化为证明线线底面O₂,0圆周上的一点，PQIIO₁O₂,AB=2PQ,且点P不与A,B两点重合(2)若二面角A-O₁0₂-P为60°,求直线BQ与平面PQO₁所成角的正弦值.(2)若∠AAC=60°,且P是AC的中点，求平面BA₁P和平面A₁ACC₁的夹角的正弦值.与四边形BEFC是全等的等腰梯形，平面ADFC⊥平面BEFC,AD=4,CF=AC=2,点G,H,L分别为AD,CF,BC的中点.(2)求直线AE与平面ABC所成角的正弦值.方法技巧09面面垂直性质的应用面面垂直性质的应用(1)在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.首先在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.易错点：性质定理运用时要注意“线在面内”.(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面(不能直接作为证明依据).PBD⊥平面ABCD,平面PAC⊥平面ABCD.(2)若PA=PC=AB=AC=2,点M满足PB=3PM,求直线AP与平面ACM所成角的正弦值.方法技巧10异面直线所成角的求法平移法求异面直线所成角的步骤第一步平移：平移的方法一般有三种类型：(1)利用图中已有的平行线平移；(2)利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；(3)补形平移第二步证明：证明所作的角是异面直线所成的角或其补角第三步寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之第四步取舍：因为异面直线所成角θ的取值范围是0°<θ≤90°,所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角【典例1】(2025-河南郑州·模拟预测)在正方体ABCD-AB₁C₁D₁中，若B₁C∩BC₁=0,P,Q分别为AC,DD₁的中点，则直线P【典例2】(2025·新疆喀什·模拟预测)已知底面边长为2的正四棱柱ABCD-A,B₁C₁D₁的体积为16,则直线AC与A₁B所成角的余弦值为()PA的中点，则异面直线BE与PC所成角的余弦值为()方法技巧11直线与平面所成角的求法1、垂线法求线面角(也称直接法):(1)先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A,过点A向平面α做垂线，确定(2)连结斜足与垂足为斜线AB在面α上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角；2、公式法求线面角(也称等体积法):用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。公式为：其中θ是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，1是斜线段的长。(1)证明：EF//平面PBC;(2)若PA=PC=2√2,求直线PC与平面PBD所成角的大小.【典例2】(2025高三·全国月考)如图，在四棱锥C-ABNM中，四边形ABNM的边长均为2,为②MB=√6