2026年高考数学知识复习（全国）：专题02 复数及其应用（原卷版）

专题02复数及其应用01理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系.02盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分.【知能解读01】复数的概念【知能解读02】复数的四则运算【知能解读03】复数的三角表示式03破·重点难点：突破重难点，冲刺高分.重难【重难点突破01】对复数概念的理解【重难点突破02】利用复数相等求解【重难点突破03】利用复数的几何意义解题【重难点突破04】复数模的求解【重难点突破05】复数的四则运算【重难点突破06】i"(n∈R)的周期性及其应用【重难点突破07】关于共轭复数的几个常用结论【重难点突破09】n个复数乘法的三角表示(棣莫弗定理)(拓展)04辨·易混：辨析易混知识点，夯实基础.【易混001】虚部概念混淆【易混002】复数的分类及辨析【易混003】复数的坐标表示【易混004】判断复数对应的点所在的象限【易混005】已知复数的类型求参数05点·方法技巧：点拨解题方法，练一题通一类【方法技巧01】复数加减法的代数运算【方法技巧02】复数代数形式的乘法运算【方法技巧03】复数的乘方【方法技巧04】复数的除法运算【方法技巧05】复数范围内方程的根【方法技巧06】根据相等条件求参数【方法技巧07】在各象限内点对应复数的特征【方法技巧08】根据复数的坐标写出对应的复数【方法技巧09】与复数模相关的轨迹(图形)问题理思维导图复数复平面内的_点Z(a,b)——对应复数复数及其应用(1)当△≥0时，方程有两个实且这两个虚数根互为2,2₂=r(cos+isine)·₂(cosθ₂+i=rr[(cose,cosθ₂-sine,sinθ₂)+i(sinθ,cosθ₂+cosθ,sinB₂)]=rr₂[cos(8+0₂)+isin(θ,..y叶z周y叶z周盘盘1.复数的引入1.复数的引入为了解决x²+1=0这样的方程在实数系中无解的问题，引入一个新数i,规定：i²=-1,即i是方程x²+1=0的根.2.复数的相关概念2.复数的相关概念(1)复数的相关概念形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).其中a叫做实全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做复数集.(2)复数的分类3.两个复数相等3.两个复数相等a+bi与c+di(a,b,c,d∈R)4.复数的几何意义4.复数的几何意义关系. 5.复数的模绝对值).(2)几何意义：|z=OZ|即点Z(a,b)与原点O的距离.一般地，|z-z₂|即为复平面内点Z₁与Z₂之间的距离.【真题演练1】(2025·广西南宁·模拟预测)在复平面内，复数z对应的点为(-2,1),则|z|=()【真题演练2】(2025·广东佛山·三模)复平面上A,B两点对应的复数分别是1+3i,-2+i,向量AB对应的复66.共轭复数(1)定义及表示：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用Z表示，即如果z=a+bi(a,b∈R),(2)几何意义：互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称.特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上.(3)共轭复数的性质：①实数的共轭复数是它本身，即①实数的共轭复数是它本身，即z=z⇔z∈R.A.5-3iB.5+3iC.3-3i知能解读02复数的四则运算1.复数的加法1.复数的加法不共线(如图),以0Z,OZ₂为邻边画平行四边形OZ,ZZ₂,则其对角线$0Z$所表示的向量OZ就是复数2.复数的减法2.复数的减法(1)减法法则：设z₁=a+bi,Z₂=c+di(a,b,c,d∈R),则(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.不共线(如图),则a+bi-(c+di)与向量OZ-OZ₂(等于Z₂Z)对应，因此，复数的减法可以按照向Z₁(x₁,y₁),Z₂(x₂,y₂),3.复数的乘法3.复数的乘法(1)乘法法则：设z₁=a+bi,Z₂=c+di(a,b,(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi²=(ac-bd)+(ad+bcA.-1B.-24.复数的除法4.复数的除法5.在复数范围内实系数一元二次方程的根5.在复数范围内实系数一元二次方程的根(1)当△≥0时，方程有两个实根(1)当△≥0时，方程有两个实根(2)当△<0时，方程有两个虚根,且这两个虚数根互为共轭复数.C的值分别为()A.b=-2,c=5B.b=2,c=5C.b=-2,c=-5复数的三角表示式一般地，任何一个复数z=a+bi(a,b∈R)都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式，其中，r是复数z的为终边的角，叫做复数z=a+bi的辐角.r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式，该式的结构特征是模非负，角相同，余弦前，加号连.辐角的主值任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值.通常记作argz,即O≤argz<2π.三角形式下的复数相等每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.特殊复数的辐角,keZ,复数0的辐角是任意的1.复,keZ,复数0的辐角是任意的复数乘法运算的三角表示已知复数z₁,z₂的三角形式为z₁=r(cosθ₁+isinθ),Z₂=r₂(cosθ₂+isinθ₂),则r(cosθ₁+isinθ₁)·r₂(cosθ₂+isinθ₂)=rr₂[cos(θ₁+θ₂)+isin(θ₁+θ₂)],即两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.Z₁Z₂=r(cosθ₁+isinθ)·r₂(cosθ₂+isinθ₂)=rr₂[(cosθ₁cosθ₂-sinθ₁sinθ₂)+i(sinθ₁cosθ₂+cosθ₁sinθ₂)]=rr₂[cos(θ₁+θ₂)+isin(θ₁+θ₂)].复数乘法的几何意义如图，复数z₁,Z₂对应的向量分别为OZ,OZ₂,把向量OZ绕点O按逆时针方向旋转角θ₂(如果θ₂<0,3.复数除法运算的三角表示及其几何意义3.复数除法运算的三角表示及其几何意义设z₁=r(cosθ₁+isinθ₁),Z₂=r₂(cosθ₂+isinθ₂),且Z₂≠0,如图，复数z,Z₂对应的向量分别为OZ,OZ₂,把OZ绕点O按顺时针方向旋转角θ₂(如果θ₂<0, 复数三角形式的乘除法公式记忆口诀复数三角形式的乘除法公式记忆口诀积的模等于模的积，积的辐角等于辐角的和，商的模等于模的商，商的辐角等于辐角的差.(其中0为原点),则下列命题正确的是()破重点难点重难点突破01对复数概念的理解处理复数的相关概念的问题时，首先要把复数化为处理复数的相关概念的问题时，首先要把复数化为z=a+bi(a,b∈R)的形式，进而确定复数的实部和虚部，再根据复数表示实数、虚数、纯虚数的充要条件构造关系式求解.C.z₁·Z<Z₂·Z₂【典例2】(2025·河北秦皇岛·三模)下列关于复数的说法，正确的是()A.复数i的任何偶数次幂都不小于零B.若实数a=b,则z=a-b+(a+b)i是纯虚数C.在复平面内，虚轴上的点对应的复数均为纯虚数D.若复数z,z₂满足z>Z₂,则Z,z₂均为实数B.z²=3C.z²=z²1)分别确定复数的实部与虚部；2)利用实部与实部、虚部与虚部分别相等，列方程(组)求解；2)利用实部与实部、虚部与虚部分别相等，列方程(组)求解；3)写出结果.A.a=1,b=-1B.a=-1,b=1C.a=-1,b=-1D.a=1,b=1【典例3】(2025·辽宁·模拟预测)已知复数z=a+bi(a,b∈R),若集合A={(a,b)|z²+2z+2=0},则A的子当遇到已知复数在复平面内的坐标，求复数中参数的当遇到已知复数在复平面内的坐标，求复数中参数的问题时：1.先对给定复数进行化简，利用复数的运算法则(如除法运算中分母实数化),将其化为z=m+ni(m,n∈R)的标准形式.2.再根据复数z=m+ni与复平面内坐标(m,n)的一一对应关系，结合已知坐标，列出关于参数的方程，进而求解参数的值.【典例1】(2025·山东日照·二模)已知复数在复平面内对应的点的坐标为(1,-2),则实数a=()【典例2】(2025·北京石景山·一模)在复平面内，复数对应的点坐标为(1,-2),则实数a=()A.1B.-1C.2【典例3】(2025·河南·模拟预测)正确的是()A.若z为纯虚数，则a=2B.若z在复平面内所对应的点位于第一象限，则a∈(-3,3)D.zz为定值重难点突破04复数模的求解1.1.求解复数模的问题的常用方法根据复数模的计算公式|a+bi=√a²+b²(a,b∈R)可把复数模的问题转化为实数问题解决.根据复数模的几何意义，即复数z=a+bi(a,b∈R)的模就是复数Z在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，可以把复数模的问题转化为距离问题解决.2.重要结论复数Z在复平面内对应的点为Z,r表示大于0的常数，则|z|=r(r>0)表示点Z的轨迹是以原点为圆A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A.有最小值2B.有最大值2C.有最小值D.有最大值·【典例3】(2025·上海浦东新·二模)若关于x的方程x²-x+m=0的一个虚根的模为2,则实数m的值·重难点突破05复数的四则运算复数的四则运算类似于多项式的四则运算，含有虚数单复数的四则运算类似于多项式的四则运算，含有虚数单位i的看成一类同类项，不含i的看成另一类同类项，分别合并即可.1.复数常见运算小结论2.常用公式4.常见结论：在复平面内，z₁,Z₂对应的点分别为A,B,z₁+Z₂对应的点为C,O为坐标原点(点O,A,B不共线).1)四边形OACB为平行四边形；A.4√2B.3√2【典例2】(2025·山东济南·一模)设复数z满足(i为虚数单位),则z=()A.2iB.-2iC.-2+2iA.1-i重难点突破06i"(n∈R)的周期性及其应用虚数单位虚数单位i的幂的周期性：-i4=1,i4n+¹=i,i4π+2=-1,i4n+3=-i(n∈N).其中i⁰=1,(neN)A.-iB.2i【典例2】(2025·江西吉安·模拟预测)已知复数为纯虚数，(i为虚数单位),则z₂025=()【典例3】(2025·河北石家庄·一模)已知i为虚数单位，以下选项正确的是()A.若m,n∈R,则m+ni=2+i的充要条件是m=2,n=1B.若复数z,Z₂,Z₃满足Z₁z₂=Z₂Z₃,则z₁=Z₃D.若复数z满足|z|=1,则|z-3+4i|的最大值为61.1.若z=a+bi(a,b∈R),则z·Z=|z¹²=zP²=a²+b².利用此结论，可以在复数集中将a²+b²分解为2.z∈R⇔z=Z;对于非零复数z,Z是纯虚数⇔z+Z=0.A.1+iB.1-iC.1+2i【典例3】(2024·北京·三模)已知复数,则在复平面上对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限一、设复数Z₁=a+bi,Z₂=c+di(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的点分别是Z₁(a,b),Z₂(c,d),则|ZZ₂Hz₁-z₂1,即z₁-z₂|表示复数Z,Z₂在复平面内对应的点之间的距离.-|z-z₁|=r(r>0)表示复数Z在复平面内对应的点组成的集合是以复数Z₁对应的点为圆心，r为半径的圆.-|z-z=z-z₂|(Z≠Z₂)表示复数Z在复平面内对应的点组成的集合是以复数Z,Z₂对应的点Z,Z₂为端点的线段的垂直平分线.三、复数模的性质设Z,Z₁,Z₂都是复数，n是大于1的正整数.3.|z·z₂=z₁|·|z₂|(可推广到n个复数),5.IⅡz₁I-|z₂I≤z₁+Z₂≤z₁I+|z₂I,等号成立的条件：6.IⅡz₁I-Iz₂I≤z₁-z₂≤z₁I+|z₂I,等号成立的条件：7.|z₁+z₂I²+lz₁-z₂I²=2【典例1】(2025·广东·一模)已知(i为虚数单位),则|2|=() A.|z₁|=|z₂|B.Z·Z₂=|z|·|z₂|重难点突破09n个复数乘法的三角表示(棣莫弗定理)(拓展)两个复数乘法运算的三角表示及几何意义，可以推广到两个复数乘法运算的三角表示及几何意义，可以推广到n(n≥2,且n∈N)个复数相乘的情况，即Z₁Z₂…Zn=r(cosθ₁+isinθ)·r₂(cosθ₂+isinθ₂)…r,(cosθn=rir…r[cos(θ₁+θ₂+…+θn)+isin(θ₁+θ₂+…+θn)].叫做棣莫弗定理.【典例1】已知i为虚数单位，根据棣莫弗定理，可判断下列命题正确的是()B.若,则z⁵=1+i易混易错01:虚部概念混淆1.1.对虚部概念理解不清：易错点：误将虚部认为是含i的部分，比如把z=a+bi的虚部当成bi,而实际上虚部是b(实数)。纠正：牢记虚部的定义，对于复数的代数形式z=a+bi(a,b∈R),虚部是b,是一个实数，不包含i2.复数运算错误：易错点：在对复数方程进行变形求解时，运算出错。比如在求解iz=1-i求z时，需要将z的系数化为1,即此时若分母实数化操作错误，会得到错误的z形式，进而导致虚部判断错误。纠正：熟练掌握复数的除法运算法则，分母实数化时，给分子分母同时乘以分母的共轭复数。对于,分子分母同乘-i,得到这样就能正确得到z的标准形式，进而准确判断虚部.【典例1】(2025·广东广州·一模)若复数z满足1+iz=i,则z的虚部为()【典例2】(2025·黑龙江吉林·模拟预测)若复数z满足iz=1-i,则z的虚部为()【典例3】(2025·浙江温州·三模)已知z是复数z的共轭复数，z·i=1(i为虚数单位),则z的虚部是()A.iB.-i易混易错02:复数的分类及辨析【典例1】(2025·辽宁·二模)使复数(√3+i)"为纯虚数的最小自然数n是()A.1B.2【典例2】(2024·宁夏银川·模拟预测)欧拉公式e=cosx+isinx建立起了复数、三角函数和指数函数的桥梁，eeD.若a<0且b>0,则z在复平面内对应的点位于第四象限易混易错03:复数的坐标表示1.1.复数化简与对称点易错：化简时，分母实数化算错；或忘”关于实轴对称，虚部变相反数”。避坑：分母实数化→分子分母同乘分母共轭(如);对称点直接“实部不变，虚部取反”。2.模的几何意义(|z+1|+|z-1|=4)易错：误判图形(实际是椭圆，长轴4、焦距2);分析z∈R避坑：记”|z-z|+|z-z₂|是椭圆(和为定值>|z-z₂|)”;z∈Rz实、纯虚数讨论).或z²∈R时漏情况。【典例1】(2025·湖北·模拟预测)在复平面内，复数z₁对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则A.1+iB.-1-i【典例2】(2025·江苏南通·一模)在复平面内，复数z=(sinα-2sinβ)+(cosα-2cosβ)i(i为虚数单位)与点Z(√3,1)对应，则cos(α-β)=()A.|z|≤2易混易错04:判断复数对应的点在复平面内，复数在复平面内，复数z=a+bi(a,b∈R)与点(a,b)——对应，根据a(实部，对应横坐标)和b(虚部，对应纵坐标)的正负可判断点所在象限：第二象限：a<0且b>0第三象限：a<0且b<0第四象限：a>0且b<0A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【典例2】(2025·黑龙江哈尔滨·一模)复数,则z在复平面内对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【典例3】(2025·湖北黄冈·二模)复数的共轭复数在复平面内对应的点位()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限易混易错05:已知复数的类型求参数×易错警示对于复数对于复数z=a+bi(a,b∈R),有以下分类：虚数：b≠0已知复数类型求参数时，需根据上述定义，结合复数运算(如乘法、除法等),列出关于参数的方程(组)求解，同时要注意对参数取值的检验，避免出现增根.【典例1】(2025·山东泰安·一模)已知i为虚数单位，若(1-i)(2+ai)是纯虚数，则实数a=()A.-4B.-2C.1D.2【典例2】(2025·浙江·二模)已知i为虚数单位，复数z=a²-4+(a-2)i(a∈R)是纯虚数，则)【典例3】(2024·上海·高考真题)已知虚数z,其实部为1,且,则实数m为点一：复数加减法的代数运算对于复数z=a+对于复数z=a+bi(a,b∈R),其共轭复数z=a-bi。复数的加减运算，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，即(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i。在涉及Z与Z的运算问题中，通常设z=a+bi,将其代入等式，利用复数相等的条件(实部相等、虚部相等)列方程求解.A.1+3iB.3+iC.3-i二：复数代数形式的乘法运算复数代数形式的乘法运算，遵循多项式乘法法则，即对于复数复数代数形式的乘法运算，遵循多项式乘法法则，即对于复数Z₁=a+bi,z₂=c+di(a,b,c,d∈R),Z₁·Z₂=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi²,再根据i²=-1,整理为(ac-bd)+(ad+bc)i的形式，实部为ac-bd,虚部为ad+bc。【典例1】(2025·广东广州·模拟预测)已知复数z在复平面内对应的点的坐标是(1,-2),则i运=()A.2-iB.-2-iC.1-2i三：复数的乘方复数乘方运算可通过两种方式解决：复数乘方运算可通过两种方式解决：2.三角形式+棣莫弗定理：若复数为三角形式z=r(cosθ+isinθ),则z”=r”(cosnθ+isinn0)(n∈N),,适用于高次幂运算。A.1+iA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A.iB.-i四：复数的除法运算对于复数除法,设Z=a+bi,z₂=c+di(a,b,c,d∈R),运算步骤：1.1.分子分母同乘分母的共轭复数：分母c+di的共轭复数为c-di,即2.化简分母：利用平方差公式(c+di)(c-di)=c²+d²(实数),即分母=分母实部的平方+分母虚部的平方3.展开分子：按多项式乘法展开，再用i²=-1化简，最后合并实部和虚部。若分母为纯虚数di(如2i),可直接乘i化简(因i·i=-1):若分母为1±i,乘其共轭1干i后分母为2,可简化计算：【典例1】(2025·江西【典例1】(2025·江西·一模)设i为虚数单位，复数z的共轭复数为z,若,则z在复平面内对应的点位于第()象限五：复数范围内方程的根1.判别式法(实系数一元二次方程)当a,b,c∈R时，先计算判别式△=b²-4ac。△≥0时：方程有两个实根，根据求根公式求解。△<0时：方程有两个共轭虚根，同样使用求根公式2.配方法与公式法(复系数一元二次方程)对于复系数一元二次方程，判别式法不再适用，可采用配方法或直接使用公式(这里√b²-4ac是对复数开方，要考虑复数的多值性)。3.韦达定理的应用无论方程的根是实数还是复数，韦达定理始终成立，即若x₁,x₂是方程ax²+bx+c=0的两根，则【典例2】(多选)(2025·吉林长春·一模)在复数范围内，方程z²+z+2=0的两个根分别为z₁,Z₂,)C.z=Z₂【典例3】(2025·山东·模拟预测)已知z是方程3x²+2x+1=0的一个复数根，则|2|=()六：根据相等条件求参数1.复数运算化简：对含复数的表达式、i”幂运算、方程根),先通过复数运算法则(除法分母实数化、i”周期性)化简，转化为化简，转化为a+bi(a,b∈R)形式。参数。参数。3.结合共轭复数/方程根性质：实系数方程虚根成对(共轭虚根);共轭复数Z与Z实部相同、虚部相反。A.-1B.-4C.1【典例2】(2025·陕西宝鸡·二模)已知关于x的实系数方程x²-2x+k=0的一个虚根为1-i,则另外一个根七：在各象限内点对应复数