材料表征基础 课件 1.2 倒易空间

§1.2倒易空间讲授人：XXX《材料表征基础》战略性新兴领域“十四五”高等教育系列教材内容提要01020304倒易点阵的定义倒易点阵基矢倒易点阵和晶格点阵晶带与晶带定律05度量张量06系统消光厄瓦尔德(Ewαld.P.P)在1921年提出倒易点阵的概念。在分析晶体几何关系时，使用倒易点阵比正点阵更便捷，因此倒易点阵已经成为电子衍射工作中不可缺少的分析工具，是学习晶体的电子衍射几何学的入门向导，在晶体的衍射物理中也有重要意义。每一种晶体结构，都有2个点阵与其相联系，一个是晶体点阵，另一个是倒易点阵。倒易点阵是正点阵的傅里叶变换；正点阵则是倒易点阵的傅里叶逆变换。因此，正点阵与倒易点阵是一对矛盾的统一体，它们互为倒易而共存。正点阵反映了构成原子在三维空间做周期排列的图像；倒易点阵反映了周期结构物理性质的基本特征。正格子的量纲是长度，称作坐标空间，倒格子的量纲是长度的倒数，称作波矢空间。12正点阵中一个一维的点阵方向与倒易点阵中一个二维的倒易点阵平面对应，正点阵中一个二维的点阵平面又与倒易点阵中一个一维的倒易点阵方向对应。31.倒易点阵的定义2.倒易点阵基矢

其中，V是晶体点阵的单胞体积。

正空间与倒易空间初基基矢的相互关系

正空间与倒易空间初基基矢的相互关系如图所示：2.倒易点阵基矢

上式表明，倒易空间基矢与正空间同名基矢的点乘为1，与正空间异名基矢的点乘为0。前者决定了倒易基矢的长度（模），后者决定了倒易矢量的方向。倒易空间单胞的体积为：

由此可知，倒易空间的单胞体积与晶格点阵的单胞体积互为倒数。从量纲上来看，晶格点阵和倒易点阵也是互为倒数的。如果晶格点阵的长度单位为nm，则倒易空间的长度单位为nm-1，晶格点阵的体积单位为nm3，则倒易空间的体积单位为nm-3。2.倒易点阵基矢晶系立方六方四方正交正点阵单胞参数α=b=cα=β=γ=90°α=b≠cα=β=90°,γ=120°α=b≠cα=β=γ=90°α≠b≠cα=β=γ=90°正点阵单胞体积α3α2cαbc倒易点阵单胞

a*1/α1/α1/αb*1/α1/α1/bc*1/α1/c1/c1/cα*90°90°90°90°β*90°90°90°90°γ*90°60°90°90°特征α*=b*=c*α*=β*=γ*=90°α*=b*≠c*α*=β*=90°,γ*=60°α*=b*≠c*α*=β*=γ*=90°α*≠b*≠c*α*=β*=γ*=90°倒易点阵单胞的基本参数3.倒易点阵和晶格点阵的关系晶格点阵的单胞基矢与倒易点阵的单胞基矢完全是对称的，且两者还有倒易关系。倒易点阵在晶体几何方面的重要意义也就在于它与晶格点阵间存在有一系列的倒易关系。

3.倒易点阵和晶格点阵的关系点阵平面与点阵方向之间的关系

0102034.晶带与晶带定律晶带定律：晶体上的任一晶面至少同时属于两个晶带，或者说，平行于两个相交晶带的公共平面必为一可能晶面。根据晶带定律可知：由任意两个互不平行的晶面即可决定一个晶带，而由任意两个晶带又可决定一个晶面。属于同一晶带轴[uvw]的所有晶面的面指数(hkl)满足：hu+kv+lw=0据两个已知晶面(h1

k1

l1)和(h2

k2

l2)指数，计算出其晶带轴[uvw]u:v:w=(k1l2-k2l1):(l1h2-l2h1):(h1k2-h2k1)

其计算也可以用下面的行列式来表示

晶带定律计算晶带轴确定共带面5.度量张量将晶格点阵的基矢行矢量和列矢量相乘，就是晶格点阵的度量张量[t]

晶格点阵和倒易点阵的度量张量也是倒易的，从而倒易点阵的度量张量可以写为[t]-1

正空间和倒空间的基矢之间可以通过度量张量关联起来:

5.度量张量七大晶系的度量张量晶系正点阵标量积矩阵

[t]倒点阵标量积矩阵

[t]-1立方六方四方三方正交单斜三斜5.度量张量

不同晶系的晶面间距晶系点阵平面间距，d立方六方四方三方正交单斜5.度量张量

不同晶系的点阵平面夹角晶系立方六方三方四方正交单斜5.度量张量晶体点阵的方向长度也可以通过密勒指数计算获得不同晶系的点阵方向长度晶系点阵方向长度立方六方三方四方正交单斜6.系统消光晶体的衍射强度有规律地、系统地为零的现象称为系统消光。系统消光的出现，是由于某些类型衍射的结构振幅数值为0，因此衍射的强度为零。系统消光是因为结构中存在螺旋轴、滑移面和带心点阵形式等晶体结构的微观对称元素所引起。通过了解晶体的系统消光现象，可以测定在晶体结构中存在的螺旋轴、滑移面和带心点阵形式。非初基胞包含有两个以上的阵点，如每个体心立方单胞中有2个阵点，它的体积相当于初基单胞的两倍，根据倒易原理，相应的倒易单胞也应该减小一半。如果按缩小的倒易单胞来标定倒易阵点的指数，就会发现有些指数的倒易阵点是不存在的，这一类消光称为点阵消光。点阵消光不是实质意义上的消光，只是由于选择了非初基胞，对倒易点阵进行重新标定的结果。起源于晶体结构中存在含平移的复合对称动作对应的对称元素，即螺旋轴或滑移面，如晶体结构在b轴方向有滑移面n存在，则

h0l类衍射中，h+l=奇数的衍射将系统消失，这一类消光称为结构消光。点阵消光结构消光系统消光6.系统消光常见系统消光和对称性衍射指数消光条件消光解释带心型式和对称元素记号hklh+k+l=奇数体心点阵Ih+k=奇数C心点阵Ch+l=奇数B心点阵Bk+l=奇数A心点阵Ah、k、l奇偶混杂面心点阵F-h+k+l

不为

3的倍数R心点阵R（六方晶胞）0klk=奇数{100}滑移面、滑移量bl=奇数ck+l=奇数nk+l不