单元1函数及其应用（1-1）

单元1函数及其应用(1-1)教学内容索引【引例导入】【引例1-1】计算网上购书金额【引例1-2】计算正方形的面积【概念认知】1．常量与变量的概念2．集合的概念3．函数的概念【知识疏理】1.1函数的三要素1.2函数的表示方法1.3函数的性质1.4基本初等函数【实例精讲】【实例1-1】求函数的定义域【实例1-2】求函数的值【教学导航】知识目标（1）理解常量、变量、集合的概念；（2）理解函数的概念；（3）掌握函数的三要素，熟悉函数的表示方法，掌握函数的基本性质技能目标（1）会求函数的定义域及函数值（2）会判断函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性素养目标培养学生的计算能力、逻辑思维能力和自我学习能力，为学习专业课程打下良好的基础，并能用函数知识解决实际问题教学重点函数的概念、函数的三要素、函数的基本性质教学难点求函数的定义域、判断函数的有界性【引例导入】【引例1-1】计算网上购书金额【引例描述】张珊同学上京东商城购买了一本图书《社交礼仪》，该书原价为29.8元，购书优惠为7折，即购一本图书实际价格为20.86，如果购买x本该书，计算应付的金额．【引例求解】购买一本书，应付金额为1×29.8×0.7=1×20.86，购买2本书，应付金额为2×20.86，购买3本书，应付金额为3×20.86，由此可以推断购x本书，应付金额为x×20.86．即在集合N={0,1,2,3,…}中任取一个值，按照乘以20.86的法则，在集合M={0,20.86,41.72,62.58,…}中有唯一的一个值与之对应，如果用x表示N中的任意一个值，用y表示M中相对应的值，那么y=20.86x，反映了实际问题中购买数量x和应付金额y之间的函数关系．【引例1-2】计算正方形的面积【引例描述】已知正方形的边长为x，求该正方形的面积y．【引例求解】对于边长为1的正方形，其面积为=1对于边长为2的正方形，其面积为=2对于边长为3的正方形，其面积为=9对于边长为4的正方形，其面积为=16对于边长为x的正方形，其面积为

．【引例求解】

在集合L={1,2,3,4,…}中任取一个值，按照其平方的法则，在集合A={1,4,9,16,…}中有唯一的一个值与之相对应．

如果用x表示L中的任意一个值，y表示A中相对应的值，那么y=反映了正方形的边长x与正方形面积y之间的函数关系．1．常量与变量的概念【概念认知】【定义1.1】：变量在某一过程中始终保持一定数值的量称为常量；在某一过程中可以取不同数值的量称为变量．（1）常量一般用a、b、c、…等英文字母表示，变量用x、y、z、u、t、…等英文字母表示．（2）常量为一定值，在数轴上可用定点表示，变量代表该量可能取的任一值，在数轴上表示一个动点．（3）常量与变量是相对而言的，同一量在不同场合下，可能是常量，也可能是变量．2．集合的概念

【定义1.2】：集合

集合是具有某种特定性质的事物所组成的全体，通常用大写英文字母A、B、C、…等来表示，组成集合的各个事物称为该集合的元素．形式为A={x|x所具有的特征}．若事物a是集合M的一个元素，就记aM（读a属于M）若事物a不是集合M的一个元素，就记aM或aM（读a不属于M）（1）集合的特点①对于任何一个事物或元素，能够判断它属于或不属于给定的集合，二者必居其一．②对于一个给定的集合，同一个元素在同一个集合里不能重复出现．③若一集合只有有限个元素，就称为有限集；否则称为无限集．（2）集合的基本关系①子集，若集合A的元素都是集合B的元素，就称A为B的子集，记为AB或BA(读B包含A)．②等集，若AB，同时BA，就称A、B相等，记为A=B．③空集，不含任何元素的集称为空集,记为

．②描述法，设P(a)为某个与a有关的条件或法则，把满足P(a)的所有元素a构成的集合A表示为A={a|P(a)}，这种方法称为描述法．例如，全体实数构成的集合表示为R={x|-∞<x<+∞}．例如，由不等式x-3>2的解构成的集合A可表示为：A={x|x>5}．（3）集合的表示方法表示集合的方法，常见的有列举法和描述法两种．①列举法，按任意顺序列出集合的所有元素，并用花括号{}括起来，这种方法称为列举法．例如，引例1-2中的正方形边长的集合表示为L={x|x=1,2,3,4…}（4）应用区间表示集合区间是介于两个实数之间的全体实数．设a和b都是实数，且a<b，数集{x|a<x<b}称为开区间，记作(a,b)，即(a,b)={x|a<x<b}．a和b称为开区间(a,b)的端点，这里a（a,b)，b(a,b)．

数集{x|a}称为闭区间，记作[a,b]，即[a,b]={x|a}．a和b称为闭区间[a,b]的端点，这里a∈[a,b]，b∈[a,b]．类似地可以说明：[a,b)=={x|a≤x<b}，(a,b]={x|a<x≤b}，[a,b)和(a,b]都称为半开区间．无限区间：[a,+∞)={x|a≤x}，(-∞,b)={x|x<b}，全体实数的集合也可记作（-∞，+∞），它也是无限区间．

常见的区间类型有及其表示方法如表1-1所示．表1-1常见的区间类型及其表示方法区间类型开区间闭区间半开区间无限区间范围表示法(a,b)[a,b](a,b]、[a,b）(-∞,+∞)不等式表示法a<x<ba≤x≤ba<x≤b、a≤x<b-∞<x<+∞（5）应用邻域表示集合设δ是任一正数，a为某一实数，把数集{x||x-a|<δ}称为点a的δ邻域，记作U（a,δ），即U(a,δ)={x||x-a|<δ}点a称为这邻域的中心，δ称为这邻域的半径，如图1-1所示．图1-1邻域的中心与半径例如：|x-2|<1，即为以点a=2为中心，以1为半径的邻域，也就是开区间(1,3)．因变量自变量

其中x称为自变量，y称为函数或因变量，数集D称为该函数的定义域，其示意图如图1-2所示．3．函数的概念【定义1.3】：函数

设在某一变化过程中有两个变量x和y，当变量x在一个给定的非空数集D内任意取某一个数值时，按照一定的对应法则f，变量y总有唯一确定的数值与之对应，则称为变量y为变量x的函数，记作图1-2函数关系示意图

在函数定义中，若对每一个x∈D，如果自变量取定值时，对应的函数值y=f(x)是唯一的，那么这样的函数叫单值函数，

例如y=cosx是单值函数；

如果自变量取定值时对应的函数值y有两个或两个以上，那么这样的函数叫多值函数，

例如

是多值函数．【知识疏理】1.1函数的三要素

图1-3简明地标注了函数的自变量、因变量、对应法则、定义域、值域等基本要素．图1-3函数的基本要素1．对应法则符号“f”表示自变量x与函数y的某种对应关系，例如y=f(x)=5x2+3x-1．2．定义域使函数y=f(x)有意义的自变量x的取值范围即集合D称为函数f(x)的定义域．函数的定义域就是自变量所能取的，使算式有意义的一切实数值的全体．通常要考虑以下几个方面：①分式的分母不为零．②偶次根式中被开方式大于等于0．③对数的真数大于零，底大于零且不等于1．④正切符号下的式子不等于kπ+（k∈Z）．⑤余切符号下的式子不等于kπ（k∈Z）．⑥反正弦、反余弦符号下的式子的绝对值

小于或等于1．

如果函数由若干部分组合而成，则该函数的定义域为各组成部分定义域的交集．

例如：对于函数y=，由于分母不能为零，即x≠0，所以其定义域为D=(-∞,0)∪(0,+∞)．

对于函数y=，由于偶次根式中被开方式不能小于零，即

≥0，所以其定义域为D=[-3,+3]．

对于函数y=，由于该算式同时要满足分母不为零和偶次根式中被开方式大于等于0，即：

，所以其定义域为（-3,+3）．3．值域

如果x取数值

，那么函数f(x)在

处有定义，与

对应的数值

称为函数f(x)在点

处的函数值，记作

或

．

所有函数值组成的集合

称为函数y=f(x)的值域，记号为M．函数的值域可由定义域和对应法则来确定．

对于函数y=，由于其分母最大为3，此时自变量x为0，所以其值域为[}．1.2函数的表示方法

函数常见的表示法有三种：解析法、列表法和图形法，其中解析法较为普遍，它是借助于数学式子来表示对应法则．（1）解析法

解析法的表示形式如如图1-4所示：图1-4函数的解析法的表示形式（2）列表法

函数关系也可以采用列表法来表示，例如银行利率表、一天中各个时间点气温变化等．（3）图形法

函数关系还可采用图形法来表示，例如天气预报图、心电图等．1.3函数的性质1．函数的单调性图1-5函数的单调递增示意图图1-6函数的单调递减示意图

单调增加函数的图形沿着x轴的正向而上升，单调递减函数的图形沿着x轴的正向而下降．

判断函数单调性的方法一般可用“作差法”或“作商法”．2．函数的奇偶性

如果函数f(x)对于定义域内的任意x都有（1）f(-x)=f(x)恒成立，就称f(x)为偶函数，偶函数示意图如图1-8所示．（2）f(-x)=-f(x)恒成立，就称f(x)为奇函数，奇函数示意图如图1-9所示．图1-8偶函数示意图奇函数的图形关于原点对称，偶函数的图形关于y轴对称．特别地,函数y=0既是奇函数也是偶函数．两个偶函数和为偶函数；两个奇函数和为奇函数；两个偶函数的积为偶函数；两个奇函数的积也为偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．3．函数的周期性图1-10函数的周期性示意图通常所说的周期是指最小正周期，并且用T表示．4．函数的有界性

设函数y=f(x)在区间I上有定义，如果存在正数M，使得对于区间I上的任何x值，对应函数值f(x)都满足不等式